Stalni greška: Šta jeste? (Stalni dobit, Vrednost i Formula)

Polje: Osnovna elektronika

China

Šta je Steady State Error

Šta je Steady State Error?

Steady-state error definiše se kao razlika između željene vrednosti i stvarne vrednosti izlaza sistema u granici kada vreme teži beskonačnosti (tj. kada odziv kontrolesnog sistema dostigne stabilno stanje).

Steady-state error je osobina ulaz/izlaz odgovora za linearni sistem. Uopšteno, dobar kontrolesni sistem bi trebao biti onaj koji ima niski steady-state error.

Prvo, raspravljati ćemo o steady-state error-u u prvorednom transfer funkciji analizirajući njegov stabilni odziv. Posmatrajmo sledeću transfer funkciju:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Ovo je jednostavna prvoredna transfer funkcija, sa poboljšanjem jednako jedan i vremenskom konstantom od 0.7 sekundi. Naučite da se naziva prvoredna transfer funkcija zato što 's' u imeniocu ima najveću snagu '1'. Ako bi umesto toga bilo $0.7s^2 + 1$ , to bi bila drugoredna transfer funkcija.

Odziv ove transfer funkcije na stabilni ulaz prikazan je na Slici-1. Može se videti da u stabilnom stanju izlaz je tačno jednak ulazu. Stoga je steady-state error nula.

Vremenska odziv prveg reda transfer funkcije na step ulaz. — Slika-1: Ovo je vremenski odziv prveg reda transfer funkcije na step ulaz. Može se videti da je stabilno stanje greške nula

Odziv ove funkcije na jedinični ramp ulaz prikazan je na Slici-2. Može se videti da postoji razlika između ulaza i izlaza u stabilnom stanju. Stoga za jedinični ramp ulaz postoji stabilna greška.

Vremenska odziv prveg reda transfer funkcije na ramp ulaz. — Slika-2: Ovo je vremenski odziv prveg reda transfer funkcije na ramp ulaz. Može se videti da u ovom slučaju postoji stabilna greška

Napomena: U mnogim knjigama o kontrolnim sistemima možete pronaći da je stabilna greška prveg reda transfer funkcije protiv ramp ulaza jednaka vremenskoj konstanti. Gledajući sliku-2 iznad, možemo videti da je to tačno. Na t=3 sekunde, ulaz je 3 dok je izlaz 2.3. Stoga je stabilna greška 0.7, što je jednako vremenskoj konstanti za ovu prvu rednu transfer funkciju.

Molimo Vas da imate na umu sledeće važne savete:

Stabilna greška je najveća ako je ulaz paraboličan, općenito manja za ramp ulaz, a još manja za step ulaz. Kao što je objašnjeno iznad, stabilna greška je nula protiv step ulaza, a 0.7 protiv ramp ulaza, a može se utvrditi da je beskonačna protiv paraboličnog ulaza.
Trebalo bi napomenuti da stabilna greška zavisi od ulaza, dok stabilnost ne zavisi od ulaza.

Razmotrimo zatvoreni kontrolni sistem sa prenosnom funkcijom

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Gde simboli imaju svoje obične značenje. Stabilnost sistema zavisi od imenioca, tj. '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' se naziva karakteristična jednačina. Njene koreni pokazuju stabilnost sistema. Steady-state greška zavisi od R(s).

U zatvorenom kontrolnom sistemu grešku signala može se izračunati kao $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Steady state greška može se naći kao ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , gde steady-state greška predstavlja vrednost greške signala u stacionarnom stanju. Odatle vidimo da steady-state greška zavisi od R(s).

Kao što je navedeno gore, stabilnost zavisi od imenioca, tj. 1 + G(s)H(s). Ovde '1' je konstanta, stoga stabilnost zavisi od G(s)H(s), koji je deo jednačine koji se može promeniti. Dakle, možete razumeti Bode dijagram, Nyquist dijagram crta se pomoću G(s)H(s), ali oni pokazuju stabilnost C(s)/R(s).
G(s)H(s) se zove otvorena funkcija prenosa, a $\frac{C(s)}{R(s)}$ se zove zatvorena funkcija prenosa. Analizom otvorene funkcije prenosa, tj. G(s)H(s), možemo odrediti stabilnost zatvorene funkcije prenosa putem Bode-ovog i Nyquist-ovog dijagrama.

Primeri stacionarnih grešaka

Stacionarna greška za jedinični step input

Sada ćemo objasniti stacionarnu grešku u sistemu sa povratnim spregom kroz nekoliko numeričkih primera. Početi ćemo sa sistemom sa jediničnim step inputom.

Primer-1:

Razmotrimo sledeći kontrolni sistem (sistem-1) prikazan na Slici-3:

Referentni ulaz ‘Rs’ je jedinični step input.

Različite stacionarne vrednosti Sistema-1 su prikazane na Slici-4.

Stabilna vrednost blok dijagrama — Slika-4: Različite stabilne vrednosti u sistemu kontrole

Može se videti da je stabilna vrednost signala greške 0,5, stoga je stabilna greška 0,5. Ako je sistem stabilan i različiti signali su konstantni, onda se različite stabilne vrednosti mogu dobiti na sledeći način:

U prijenosnoj funkciji kao $s\rightarrow 0$ , dobijate stabilni pojačani prijenosne funkcije.

Izlaz možete izračunati na sledeći način:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Pametajući da je $R(s)$ = jedinični stepeni ulaz = $\frac{1}{s}$ , ovo možemo rearranjirati na:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stalna vrednost izlaza je:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Gornju metodu možemo koristiti za izračunavanje stalne vrednosti bilo kog signala. Na primer:

Ulaz je $R(s)= \frac{1}{s}$ (ulaz je jedinični stepen ulaza)

Njegova stalna vrednost= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Slično tome, greška signala se može izračunati kao:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stalna vrednost signala greške (tj. stalna greška) je:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Takođe, može se videti iz Slike-4 da je razlika između ulaza i izlaza 0.5. Stoga je stalna greška 0.5.

Još jedan metod za izračunavanje stalone greške uključuje pronalaženje konstanti greške, kako sledi:

Izračunajte koeficijent pozicionog greške Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , pronaći ćete da je Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Dobićete isti odgovor.

Ako je ulaz korak, recimo $R(s)=\frac{3}{s}$ (to je korak, ali ne i jedinični korak), tada je stacionarna greška ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Ako je ulaz jedinična rampa, tada izračunajte, koeficijent brzinske greške Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Ако је улаз параболични појединични улаз, онда израчунајте коефицијент грешке убрзања Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Анализом коефицијената грешке Kp, Kv и Ka, можете разумети како зависи грешка у стационарном стању од улаза.

PI контролер и грешка у стационарном стању

PI контролер (тј. пропорционални контролер плюс интегрални контролер) смањује грешку у стационарном стању (ess), али има негативан ефекат на стабилност.

PI контролери имају предност смањења грешке у стационарном стању система, док имају недостатак смањења стабилности система.

PI контролер смањује стабилност. То значи да се пригушивање смањује; максимално прекорачење и време успостављања се повећавају због PI контролера; корени карактеристичне једначине (полови функције преноса затворене петље) на левој страни долазе ближе имагинарној оси. Ред система се такође повећава због PI контролера, што има тенденцију смањења стабилности.

Посматрајмо две карактеристичне једначине, једна је s3+ s2+ 3s+20=0, друга је s2+3s+20=0. Само посматрањем, можемо вам рећи да систем повезан са првом једначином има нижу стабилност у поређењу са другом једначином. Можете то проверити проналажењем корена једначине. Дакле, можете разумети да је код карактеристичних једначина вишег реда стабилност нижа.

Сада ћемо додати један PI контролер (Пропорционални плус Интегрални контролер) у систем-1 (Слика-3) и испитати резултате. Након уметања PI контролера у систем-1, различите вредности у стационарном стању приказане су на Слици-5, може се видети да је излаз потпуно једнак референтном улазу. То је предност PI контролера, да минимизира грешку у стационарном стању тако да излаз тежи да прати референтни улаз.

PI Controller Block Diagram — Slika-5: Efekat PI kontrolera može se videti na ovom dijagramu

Transferna funkcija PI kontrolera može se izračunati kao $Kp+\frac{Ki}{s}$ ili $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Može se postaviti pitanje da ako je ulaz bilo koje transferne funkcije nula, tada bi i izlaz trebao biti nula. Stoga, u ovom slučaju, ulaz za PI kontroler je nula, ali izlaz PI kontrolera je konačna vrednost (tj. 1). Ova objašnjenja nisu dati u nijednoj knjizi o kontrolnim sistemima, stoga ćemo to objasniti ovde:

(1) Steady state greška nije tačno nula, teži ka nuli, slično tome, 's' nije jednako nuli, već teži ka nuli. Dakle, nekog trenutka steady state greška je 2x10-3, istovremeno 's' (posebno govorimo o 's' u imeniocu PI kontrolera) je takođe jednako 2x10-3, stoga izlaz PI kontrolera je '1'.

Razmotrimo još jedan kontrolni sistem prikazan na Slici-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Slika-6: Primer zatvorenog petlju kontrolnog sistema sa PI kontrolerom

U ovom slučaju, možemo reći, nekog trenutka, recimo, steady state greška je 2x10-3, istovremeno 's' je jednako 4×10-3; stoga izlaz PI kontrolera je '0.5'. To znači da oba 'ess' i 's' teže ka nuli, ali njihov odnos je konačna vrednost.

U knjigama o kontrolnim sistemima nikada nećete pronaći s=0 ili t=∞; uvek ćete pronaći
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Drugo objašnjenje je da je greška u stabilnom stanju nula, ‘s’ je takođe nula u stabilnom stanju. Prenosna funkcija PI kontrolera je $\frac{Kps+Ki}{s}$ . U knjigama o matematici, možete pronaći da je $\frac{0}{0}$ neodređeno, tako da može biti bilo koja konačna vrednost (vidi Sliku-7).

PI Controller — Slika-7: Ulaz u prenosnu funkciju je nula, ali izlaz je konačna vrednost

(3) Treće objašnjenje je, $\frac{1}{s}$ je integrator. Ulaz je nula, integral od nule je neodređen. Tako da izlaz PI kontrolera može biti bilo koja konačna vrednost.

Jedna osnovna razlika između otvorenog petlju kontrolnog sistema i zatvorenog petlju kontrolnog sistema

U vezi sa gornjim objašnjenjem, objasniti ćemo jednu osnovnu razliku između otvorenog petlju kontrolnog sistema i zatvorenog petlju kontrolnog sistema. Razlike između otvorenog petlju kontrolnog sistema i zatvorenog petlju kontrolnog sistema možete pronaći u bilo kojoj knjizi o kontrolnim sistemima*, ali jedna osnovna razlika koja se odnosi na gornje objašnjenje data je ovde i nadamo se da će biti korisna čitaocima.

Otvoreni petlju kontrolni sistem može se predstaviti na sledeći način:

Otvoreni kontrolni sistem — Slika-8: Ovo je dijagram standardnog otvorenog kontrolnog sistema

Zatvoreni kontrolni sistem (sistem sa povratnim spregom) može se predstaviti na sledeći način:

Funkcija prenosa objekta je fiksna (funkcija prenosa objekta se može automatski promeniti zbog promene okruženja, perturbacija itd.). U svim našim raspravama, pretpostavljali smo da je H(s)=1; Operator može kontrolisati funkciju prenosa kontrolera (tj. parametre kontrolera kao što su Kp, Kd, Ki) itd.

Kontroler može biti proporcionalni kontroler (P kontroler), PI kontroler, PD kontroler, PID kontroler, kontroler neizrazitog logika itd. Postoje dve ciljeve kontrolera (i) Održavanje stabilnosti, tj. prigušenje treba da bude oko 0.7-0.9, maksimalni prekoračenje i vreme uspostavljanja treba da budu niska (ii) Steady-state greška treba da bude minimalna (treba da bude nula).

Ali ako pokušamo povećati prigušenje, tada steady-state greška može porasti. Stoga bi dizajn kontrolera trebao biti takav da oba (stabilnost i steady-state greška) budu pod kontrolom. Optimalni dizajn kontrolera je veliki istraživački teme.

Ranije je napisano, PI kontroler drastično smanjuje steady state grešku (ess), ali ima negativan uticaj na stabilnost.

Sada ćemo objasniti jednu osnovnu razliku između otvorenog kontrolnog sistema i zatvorenog kontrolnog sistema, koja je vezana za gore navedeno objašnjenje.

Razmotrite Sliku-10; to je otvoreni kontrolni sistem.

Pretpostavimo da je ulaz jedinična step funkcija. Stabilna vrednost ulaza je '1'. Može se izračunati da je stabilna vrednost izlaza '2'. Ako se zbog bilo kog razloga promeni prenosna funkcija [G(s)] sistema, kako će to uticati na ulaz i izlaz? Odgovor je da se ulaz u sistem neće promeniti, dok će se izlaz sistema promeniti.

Sada razmotrimo Slike-11 i 12

Slika-12: Zatvoreni sistem, izlaz sistema je isti, ali se ulaz u sistem promenio zbog promene prenosne funkcije

Oba su zatvorena kontrolna sistema. U Slici-11, pretpostavimo da se zbog bilo kog razloga promeni prenosna funkcija sistema, kako će to uticati na ulaz i izlaz? U ovom slučaju, ulaz u sistem će se promeniti, dok će izlaz sistema ostati nepromenjen. Izlaz sistema pokušava da prati referentni ulaz.

Slika-12 pokazuje nove uslove, gde su parametri sistema promenjeni. Možete videti da se ulaz u sistem promenio sa 0.5 na 0.476, dok se izlaz nije promenio. U oba slučaja, ulaz u PI kontroler je nula, specifikacije PI kontrolera su iste, ali je izlaz PI kontrolera različit.

Dakle, možete shvatiti da se u otvorenom kontrolnom sistemu promeni izlaz sistema, dok se u zatvorenom kontrolnom sistemu promeni ulaz u sistem.

U knjigama o kontrolnim sistemima možete naći sledeću rečenicu:

„U slučaju varijacije parametara prenosne funkcije objekta, zatvoreni kontrolni sistem je manje osetljiv u poređenju sa otvorenim kontrolnim sistemom“ (tj. varijacija na izlazu zatvorenog kontrolnog sistema je manja u poređenju sa otvorenim kontrolnim sistemom).

Nade se da će gornja iskazivanja biti jasnija kroz primerima dati u ovom članku.

___________________________________________________________________

*Dragi IEE-Business čitaoci, molimo Vas da imate na umu da cilj ovog članka nije reprodukcija tema koje su već dostupne u knjigama; već naša je namena da predstavimo različite kompleksne teme inženjerstva kontrole jednostavnim jezikom uz numeričke primere. Nade se da će vam ovaj članak pomoći da razumete različite kompleksnosti vezane za stacionarnu grešku i PI regulatore.

Izjava: Poštovanje originala, dobre članke vredi deliti, ukoliko postoji kršenje autorskih prava molimo da kontaktirate za obrisanje.

Dajte nagradu i ohrabrite autora

Teme:

Sistemi snabdevanja električnom energijom

Kontrolni sistemi

О експертима

Electrical4u

China