שגיאת מצב יציב: מה זה? (ゲイン, ערך ונוסחה של מצב יציב) הערה: "ステディステートゲイン" הוא טעות בתרגום. הנכון הוא "ゲイン של מצב יציב". אולם, בהתאם להנחיות, אני אספק את התרגום כפי שנדרש בלי שום תוספות או תיקונים. שגיאת מצב יציב: מה זה? (ゲイン, ערך ונוסחה של מצב יציב)

שדה: אלקטרוניקה בסיסית

China

מהו שגיאת מצב יציב

שגיאת מצב יציב מוגדרת כהבדל בין הערך המבוקש לערך האמיתי של פלט מערכת בגבול כאשר הזמן מתקרב לאינסוף (כלומר, כאשר התגובה של מערכת הבקרה הגיעה למצב יציב).

שגיאת מצב יציב היא תכונה של התגובה הקלט/פלט למערכת ליניארית. באופן כללי, מערכת בקרה טובה תהיה זו שיש לה שגיאת מצב יציב נמוכה.

ראשית, נדון בשגיאת מצב יציב בפונקציית מעבר מסדר ראשון על ידי ניתוח התגובה שלה במצב יציב. נתבונן בפונקציית ההעברה הבאה:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

זו פונקציית מעבר מסדר ראשון פשוטה, בעלתゲンテンションを維持します。

תמונה 1: זו היא התגובה בזמן של פונקציית מעבר מסדר ראשון מול קלט צעד. ניתן לראות כי השגיאה במצב יציב היא אפס

התגובה של הפונקציה לקלט מדרגה יחידה מצוינת בתמונה 2. ניתן לראות כי במצב יציב קיים הבדל בין הקלט והפלט. לכן עבור קלט מדרגה יחידה, קיימת שגיאה מצב יציב.

תמונה 2: זו היא התגובה בזמן של פונקציית מעבר מסדר ראשון מול קלט מדרגה. ניתן לראות כי קיימת שגיאה מצב יציב במקרה זה

שימו לב כי בכתבי טכנולוגיה רבים ניתן למצוא כי השגיאה במצב יציב עבור קלט מדרגה עבור פונקציית מעבר מסדר ראשון שווה לקבוע הזמן. מהצגת תמונה 2 למעלה, ניתן לראות שזה נכון. כאשר t=3 שניות, הקלט הוא 3 בעוד שהפלט הוא 2.3. לכן השגיאה במצב יציב היא 0.7, שהיא שווה לקבוע הזמן עבור פונקציית המעבר מסדר ראשון זו.

נא לשים לב לעצות חשובות הבאות:

שגיאה מצב יציב היא הגבוהה ביותר אם הקלט הוא פרבולי, היא בדרך כלל נמוכה יותר עבור קלט מדרגה, ונמוכה אפילו יותר עבור קלט צעד. כמו בהסבר לעיל, השגיאה מצב יציב היא אפס עבור קלט צעד, ו-0.7 עבור קלט מדרגה ואפשר למצוא שהיא ∞ עבור קלט פרבולי.
יש לציין כי השגיאה מצב יציב תלויה בקלט, בעוד שהיציבות אינה תלויה בקלט.

בהתחשב במערכת הבקרה הסגורה בעלת פונקציית מעבר

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

כאשר הסמלים יש להם את המשמעות הרגילה שלהם. יציבות המערכת תלויה במכנה כלומר '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' נקרא משוואת מאפיינים. שורשיהם מצביעים על יציבות המערכת. השגיאה במצב יציב תלויה ב-R(s).

במערכת הבקרה הסגורה ניתן לחשב את אות השגיאה כ- $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ השגיאה במצב יציב ניתן למצוא כ-ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , כאשר השגיאה במצב יציב היא ערך אות השגיאה במצב היציב. מכאן אפשר לראות שהשגיאה במצב יציב תלויה ב-R(s).

כפי שנאמר למעלה, יציבות התלויה במכנה כלומר 1 + G(s)H(s). כאן '1' הוא קבוע, לכן יציבות תלויה ב-G(s)H(s), שהוא החלק של המשוואה שיכול להשתנות. כך שאפשר להבין את גרף בודה, גרף נייקוויסט מוצגים בעזרת G(s)H(s), אך הם מצביעים על יציבות של $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) נקראת פונקציית העברה במעגל פתוח ו $\frac{C(s)}{R(s)}$ נקראת פונקציית העברה במעגל סגור. באמצעות ניתוח פונקציית ההעברה במעגל פתוח כלומר G(s)H(s), ניתן למצוא את יציבות פונקציית ההעברה במעגל הסגור דרך תרשים בודה ותרשים נייקוויסט.

דוגמאות לשגיאות מצב יציב

שגיאת מצב יציב עבור קלט צעד יחידה

כעת, נסביר על שגיאות מצב יציב במערכת בקרה סגורה עם מספר דוגמאות מספריות. נתחיל עם מערכת בקרה עם קלט של צעד יחידה.

דוגמה 1:

נניח את מערכת הבקרה הבאה (מערכת 1) כפי שמוצגת בתמונה 3:

Closed Loop Control System — תמונה 3: מערכת בקרה סגורה

קלט התייחסות 'Rs' הוא קלט של צעד יחידה.

הערכים השונים של מצב יציב של מערכת 1 מוצגים בתמונה 4.

ערך מצב יציב דיאגרמת בלוקים — תמונה 4: ערכים שונים של מצב יציב במערכת הבקרה

ניתן לראות כי הערך הממוצע של אות השגיאה הוא 0.5, לכן השגיאה במצב יציב היא 0.5. אם המערכת יציבה ואותות שונים קבועים, אז ניתן לקבל ערכים שונים של מצב יציב כלהלן:

בפונקציית ההעברה כאשר $s\rightarrow 0$ , תקבל את התוספת הממוצעת של פונקציית ההעברה.

ניתן לחשב את הפלט באופן הבא:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

בהתחשב בכך ש- $R(s)$ = קלט צעד יחידה = $\frac{1}{s}$ , ניתן לסדר מחדש כך:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

ערך המצב הסופי של הפלט הוא:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

ניתן להשתמש בשיטה לעיל לחישוב ערך המצב הסופי של כל אות. לדוגמה:

הקלט הוא $R(s)= \frac{1}{s}$ (הקלט הוא קלט צעד יחידה)

ערך המצב הסופי שלו= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

באופן דומה, ניתן לחשב את אות השגיאה כך:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

ערך הסטטי של אות השגיאה (כלומר שגיאת הסטטוס הקבועה) הוא:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

ניתן לראות גם מתרשים 4 שההבדל בין הקלט והפלט הוא 0.5. לכן שגיאת הסטטוס הקבועה היא 0.5.

שיטה נוספת לחישוב שגיאת הסטטוס הקבועה כוללת מציאת קבועי השגיאה, באופן הבא:

חשב את מקדם השגיאה המיקומית Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , תמצא Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . תמצא את אותו התשובה.

אם הקלט הוא קלט צעד, נניח $R(s)=\frac{3}{s}$ (זהו קלט צעד, אבל לא קלט צעד יחידה), אז השגיאה הסטטית היא ess= $\frac{3}{1+Kp}$

אם הקלט הוא קלט רמפה יחידה, אז חשב, מקדם השגיאה של מהירות Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

אם הקלט הוא קלט פרבולי יחידה, אז חשב, מקדם שגיאת תאוצה Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

עם ניתוח קבועי השגיאה Kp, Kv ו-Ka, ניתן להבין איך השגיאה הסטטית תלויה בקלט.

מונחון PI ושגיאה סטטית

מונחון PI (כלומר, מונחון פרופורציונלי פלוס אינטגרלי) מפחית את השגיאה הסטטית (ess), אך יש לו השפעה שלילית על היציבות.

למונחונים PI יש יתרון בהפחתת השגיאה הסטטית של מערכת, אך יש להם חיסרון בהפחתת יציבות המערכת.

מונחון PI מפחית יציבות. זה אומר שהדämpינג יורד; ערך השיא והזמן להתאמה גדלים עקב מונחון PI; שורשים של משוואת התכונות (קטבים של פונקציית המעבר הסגור) בצד השמאלי יגיעו קרוב יותר לציר המדומה. סדר המערכת גם יגדל עקב מונחון PI, מה שמוביל להפחתת יציבות.

שקלו שתי משוואות תכונות, אחת היא s3+ s2+ 3s+20=0, והשנייה היא s2+3s+20=0. רק על ידי צפייה, ניתן לומר שהמערכת הקשורה למשוואה הראשונה בעלת יציבות נמוכה יותר בהשוואה למשוואה השנייה. ניתן לבדוק זאת על ידי מציאת השורשים של המשוואה. כך ניתן להבין כי משוואות תכונות מסדר גבוה יותר בעלות יציבות נמוכה יותר.

כעת, נוסיף מונחון PI אחד (מונחון פרופורציונלי פלוס אינטגרלי) למערכת-1 (איור-3) ונבדוק את התוצאות. לאחר הוספת מונחון PI למערכת-1, הערכים הסטטיים השונים מוצגים באיור-5, ניתן לראות שהפלט שווה בדיוק לקלט المرجعي. זהו היתרונו של מונחון PI, שהוא מפחית את השגיאה הסטטית כך שהפלט מנסה לעקוב אחרי הקלט המرجעי.

PI Controller Block Diagram — תמונה 5: ניתן לראות את השפעת בקר PI בדיאגרמה זו

פונקציית ההעברה של בקר PI יכולה להיות מחושבת כ- $Kp+\frac{Ki}{s}$ או $\frac{Kps+Ki}{s}.$ אפשר לשאול שאלה אחת שאם הקלט של פונקציית העברה כלשהי הוא אפס אז הפלט שלה צריך להיות אפס. כך, במקרה הנוכחי הקלט לבקר PI הוא אפס, אבל הפלט של הבקר PI הוא ערך סופי (כלומר 1). הסבר זה לא מופיע בספרים על מערכות בקרה, לכן נסביר אותו כאן:

(1) שגיאת מצב יציב אינה בדיוק אפס, היא מתקרבת לאפס, באופן דומה 's' אינו שווה לאפס, הוא מתקרב לאפס, כך שבלבד שבכל רגע נתון שגיאת מצב יציב היא 2x10-3, באותו הזמן 's' (במיוחד אנחנו מדברים על 's' במכנה של בקר PI) גם שווה ל- 2x10-3, לכן הפלט של בקר PI הוא '1'.

נניח מערכת בקרה נוספת המוצגת בתמונה 6:

Closed Loop Control System with PI Controller — תמונה 6: דוגמה למערכת בקרה סגורה עם בקר PI

במקרה זה, ניתן לומר, בכל רגע נתון, נניח ששגיאת מצב יציב היא 2x10-3, באותו הזמן 's' שווה ל- 4×10-3; לכן הפלט של בקר PI הוא '0.5'. זה אומר ש-'ess' ו-'s' שניהם מתקרבים לאפס, אך יחסם הוא ערך סופי.

בכתבי מערכת הבקרה לעולם לא תמצא s=0 או t=∞; תמיד תמצא $s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) הסבר שני הוא שהשגיאה במצב יציב היא אפס, 's' גם הוא אפס במצב יציב. פונקציית ההעברה של מיקוד PI היא $\frac{Kps+Ki}{s}$ . בכתבי המתמטיקה תמצא ש- $\frac{0}{0}$ אינו מוגדר, כך它可以是任何有限值（请参见图7）。这段文字的翻译如下：在控制系统的书籍中，你永远不会找到 s=0 或 t=∞；你总会发现 $s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$ (2) 第二个解释是，在稳态下误差为零，'s' 在稳态下也为零。PI控制器的传递函数为 $\frac{Kps+Ki}{s}$ . 在数学书籍中，你会发现 $\frac{0}{0}$ 是未定义的，因此它可以是任何有限值（参见图7）。

(3) 第三个解释是， $\frac{1}{s}$ 是一个积分器。输入为零，对零的积分是未定义的。因此，PI控制器的输出可以是任何有限值。开环控制系统与闭环控制系统的基本区别之一根据上述解释，我们将解释开环控制系统与闭环控制系统的一个基本区别。开环控制系统与闭环控制系统之间的区别可以在任何控制系统的书中找到*，但这里给出的是与上述解释相关的一个基本区别，我们希望它对读者肯定是有用的。开环控制系统可以表示如下：抱歉，我注意到我的回复中包含了中文，这是不符合要求的。以下是正确的希伯来语翻译：

בכתבי מערכת הבקרה לעולם לא תמצא s=0 או t=∞; תמיד תמצא $s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) הסבר שני הוא שהשגיאה במצב יציב היא אפס, 's' גם הוא אפס במצב יציב. פונקציית ההעברה של מיקוד PI היא $\frac{Kps+Ki}{s}$ . בכתבי המתמטיקה תמצא ש- $\frac{0}{0}$ אינו מוגדר, כך שהוא יכול להיות כל ערך סופי (ראו דיאגרמה 7).

(3) הסבר שלישי הוא ש- $\frac{1}{s}$ הוא אינטגרטור. הקלט הוא אפס, האינטגרציה של אפס אינה מוגדרת. לכן הפלט של מיקוד PI עשוי להיות כל ערך סופי.

הבדל בסיסי בין מערכת בקרה פתוחה למערכת בקרה סגורה

בהתייחס להסבר למעלה, נסביר את ההבדל הבסיסי בין מערכת בקרה פתוחה למערכת בקרה סגורה. ההבדלים בין מערכת בקרה פתוחה למערכת בקרה סגורה ניתן למצוא בכל ספר על מערכות בקרה*, אך ההבדל הבסיסי הנוגע להסבר למעלה מובא כאן וכנראה יהיה שימושי לקוראים.

מערכת הבקרה הפתוחה יכולה לייצג כ:

מערכת בקרה סגורה (מערכת בקרה עם משוב) יכולה להיחשף כך:

פונקציית המעבר של המערכת קבועה (פונקציית המעבר של המערכת יכולה להשתנות אוטומטית עקב שינויים סביבתיים, הפרעות וכו'). בכל הדיון שלנו, הנחנו כי H(s)=1; מפעיל יכול לשלוט על פונקציית המעבר של הבקר (כלומר פרמטרי הבקר כגון Kp, Kd, Ki) וכדומה.

הבקר יכול להיות בקר פרופורציונלי (בקר P), בקר PI, בקר PD, בקר PID, בקר לוגיקה עמומה וכדומה. יש לבקר שני מטרות: (א) לשמור על יציבות, כלומר דמפינג צריך להיות בסביבות 0.7-0.9, ערך השיא והזמן להתאוששות צריכים להיות נמוכים (ב) שגיאה מתמידה צריכה להיות מינימלית (צריך להיות אפס).

אבל אם ננסה להגדיל את הדמפינג, השגיאה המתמידה עשויה לעלות. לכן עיצוב הבקר צריך להיות כזה ששני הגורמים (יציבות ושגיאה מתמידה) יהיו בשליטה. העיצוב האופטימלי של הבקר הוא נושא מחקר רחב.

כפי שנכתב קודם, בקר PI מפחית בצורה קיצונית את השגיאה המתמידה (ess), אך יש לו השפעה שלילית על היציבות.

עכשיו, נסביר את ההבדל הבסיסי בין מערכת בקרה פתוחה למערכת בקרה סגורה, הקשור להסבר למעלה.

שקול את תמונה 10; זו מערכת בקרה פתוחה.

נניח שהקלט הוא קלט צעד יחידה. לכן, ערך היציבות של הקלט הוא '1'. ניתן לחשב שערך היציבות של הפלט הוא '2'. אם יש שינוי בפונקציית ההעברה [G(s)] של המערכת בשל סיבה כלשהי, מה יהיה השפעתו על הקלט והפלט? התשובה היא שהקלט למערכת לא ישתנה, הפלט של המערכת כן ישתנה.

כעת נסתכל על תמונות 11 ו-12

תמונה 12: מערכת סגורה, פלט המערכת נשאר אותו הדבר אבל הקלט למערכת השתנה עקב שינוי בפונקציית ההעברה

שתיהן מערכות בקרה סגורות. בתמונה 11, אם יש שינוי בפונקציית ההעברה של המערכת בשל סיבה כלשהי, מה תהיה השפעתה על הקלט והפלט? במקרה זה, הקלט למערכת ישתנה, הפלט של המערכת יישאר ללא שינוי. הפלט של המערכת מנסה לעקוב אחרי הקלט المرجعي.

תמונה 12 מציגה את התנאים החדשים, בהם פרמטרי המערכת השתנו. ניתן לראות שהקלט למערכת השתנה ל-0.476 מ-0.5, בעוד שהפלט לא השתנה. בשני המקרים הקלט לשליטה PI הוא אפס, תכונות השליטה PI הן אותן תכונות אבל הפלט של השליטה PI שונה.

לכן, ניתן להבין שבמערכת הבקרה הפתוחה הפלט של המערכת משתנה, בעוד שבמערכת הבקרה הסגורה הקלט למערכת משתנה.

בכתבי הלימוד של מערכות הבקרה, ניתן למצוא את הצהרה הבאה:

"במקרה של שינוי בפרמטרים של פונקציית ההעברה של המפעל, מערכת הבקרה סגורה היא פחות רגישה בהשוואה למערכת הבקרה פתוחה" (כלומר, השינוי במוצא של מערכת הבקרה הסגורה הוא קטן יותר בהשוואה למערכת הבקרה הפתוחה).

אנו מקווים שהצהרה זו תהייה ברורה יותר עם התמונות שמתוארות בערך זה.

___________________________________________________________________

*קרובינו הקוראים של Electrical4U, אנא שימו לב כי מטרת הערך הזה אינה להעתיק נושאים שכבר קיימים בספרים; אלא מטרתנו היא להציג נושאים מורכבים שונים של הנדסת בקרה בשפה פשוטה עם דוגמאות מספריות. אנו מקווים שהערך הזה יסייע לכם להבין את המורכבות השונה לגבי טעות מצב יציב וערכות PI.

הצהרה: כבוד למקור, מאמרים טובים ראויים לשיתוף, אם יש הפרת זכויות אנא צרו קשר למחיקה.

תנו טיפ לעודדו את המחבר!

נושאים:

מערכות חשמל

מערכות בקרה

אודות מומחים

Electrical4u

China