Постоянная ошибка: Что это такое? (Постоянный коэффициент усиления, значение и формула)

Поле: Основы электротехники

China

What Is Steady State Error

Что такое установившаяся ошибка?

Установившаяся ошибка определяется как разница между желаемым значением и фактическим значением выхода системы в пределе при стремлении времени к бесконечности (т.е. когда реакция системы управления достигает установившегося состояния).

Установившаяся ошибка — это свойство входной/выходной характеристики линейной системы. В общем случае хорошей системой управления будет та, у которой установившаяся ошибка мала.

Сначала мы рассмотрим установившуюся ошибку в передаточной функции первого порядка, проанализировав её установившийся отклик. Рассмотрим следующую передаточную функцию:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Это простая передаточная функция первого порядка, имеющая коэффициент усиления, равный единице, и постоянную времени 0,7 секунды. Обратите внимание, что она называется передаточной функцией первого порядка, потому что переменная «s» в знаменателе имеет наибольшую степень «1». Если бы вместо этого было $0.7s^2 + 1$ , это была бы передаточная функция второго порядка.

Отклик этой передаточной функции на установившийся вход показан на рисунке 1. Можно видеть, что в установившемся режиме выход точно равен входу. Следовательно, установившаяся ошибка равна нулю.

Ответ на ступенчатый вход первого порядка передаточной функции. — Рисунок 1: Это временная реакция передаточной функции первого порядка на ступенчатый вход. Можно видеть, что ошибка установившегося состояния равна нулю.

Реакция этой функции на единичный входной сигнал в виде пилообразного сигнала показана на рисунке 2. Можно видеть, что в установившемся состоянии существует разница между входом и выходом. Следовательно, для единичного пилообразного входа существует ошибка установившегося состояния.

Ответ на пилообразный вход первого порядка передаточной функции. — Рисунок 2: Это временная реакция передаточной функции первого порядка на пилообразный вход. Можно видеть, что в данном случае существует ошибка установившегося состояния.

Заметьте, что во многих книгах по теории управления можно найти, что ошибка установившегося состояния передаточной функции первого порядка при пилообразном входе равна постоянной времени. Из наблюдения за рисунком 2 выше, мы можем увидеть, что это верно. В момент t=3 секунды, вход равен 3, а выход равен 2.3. Следовательно, ошибка установившегося состояния составляет 0.7, что равно постоянной времени для этой передаточной функции первого порядка.

Пожалуйста, обратите внимание на следующие важные советы:

Ошибка установившегося состояния максимальна, если вход параболический, обычно ниже для пилообразного входа и еще ниже для ступенчатого входа. Как объяснялось выше, ошибка установившегося состояния равна нулю для ступенчатого входа, 0.7 для пилообразного входа, и она бесконечна для параболического входа.
Следует отметить, что ошибка установившегося состояния зависит от входа, тогда как устойчивость не зависит от входа.

Рассмотрим замкнутую систему управления с передаточной функцией

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Где символы имеют свои обычные значения. Устойчивость системы зависит от знаменателя, то есть от '1+G(s)H(s)'. Уравнение '1+G(s)H(s) = 0' называется характеристическим уравнением. Его корни указывают на устойчивость системы. Стационарная ошибка зависит от R(s).

В замкнутой системе управления сигнал ошибки можно вычислить как $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Стационарная ошибка может быть найдена как ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , где стационарная ошибка — это значение сигнала ошибки в установившемся состоянии. Из этого видно, что стационарная ошибка зависит от R(s).

Как упоминалось выше, устойчивость зависит от знаменателя, то есть от 1 + G(s)H(s). Здесь '1' — это константа, поэтому устойчивость зависит от G(s)H(s), которая является изменяемой частью уравнения. Таким образом, можно понять, что диаграмма Боде, диаграмма Найквиста строятся с помощью G(s)H(s), но они указывают на устойчивость $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) называется передаточной функцией открытой цепи, а $\frac{C(s)}{R(s)}$ называется передаточной функцией замкнутой цепи. Анализируя передаточную функцию открытой цепи, то есть G(s)H(s), мы можем определить устойчивость передаточной функции замкнутой цепи с помощью диаграммы Боде и диаграммы Найквиста.

Примеры стационарных ошибок

Стационарная ошибка для единичного ступенчатого входа

Теперь мы объясним стационарную ошибку в системе управления с обратной связью на нескольких числовых примерах. Мы начнем с системы управления с единичным ступенчатым входом.

Пример-1:

Рассмотрим следующую систему управления (система-1), показанную на рисунке-3:

Справочное входное воздействие ‘Rs’ является единичным ступенчатым входом.

Различные стационарные значения системы-1 показаны на рисунке-4.

Диаграмма блока стационарных значений — Рисунок 4: Различные стационарные значения в системе управления

Можно видеть, что стационарное значение сигнала ошибки составляет 0,5, следовательно, стационарная ошибка также составляет 0,5. Если система устойчива и различные сигналы постоянны, то различные стационарные значения можно получить следующим образом:

В передаточной функции при $s\rightarrow 0$ вы получите стационарный коэффициент усиления передаточной функции.

Вы можете рассчитать выход следующим образом:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Помните, что $R(s)$ = единичный ступенчатый вход = $\frac{1}{s}$ , мы можем переставить это следующим образом:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Устойчивое значение выходного сигнала:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Мы можем использовать вышеуказанный метод для расчета устойчивого значения любого сигнала. Например:

Входной сигнал $R(s)= \frac{1}{s}$ (входной сигнал — единичный ступенчатый вход)

Его устойчивое значение = $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Аналогично, сигнал ошибки можно рассчитать как:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Установившееся значение сигнала ошибки (т.е. установившаяся ошибка) равно:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Также из рисунка 4 видно, что разница между входом и выходом составляет 0,5. Следовательно, установившаяся ошибка равна 0,5.

Другой метод расчета установившейся ошибки включает определение коэффициентов ошибки следующим образом:

Вычислите коэффициент позиционной ошибки Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , вы обнаружите, что Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Вы получите тот же ответ.

Если входной сигнал является ступенчатым, например $R(s)=\frac{3}{s}$ (это ступенчатый вход, но не единичный ступенчатый вход), то ошибка в установившемся режиме ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Если входным сигналом является единичный линейный вход, то вычислите коэффициент скоростной ошибки Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Если входной сигнал представляет собой параболическую функцию, то вычисляется коэффициент ошибки ускорения Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Анализируя постоянные ошибок Kp, Kv и Ka, можно понять, как стационарная ошибка зависит от входного сигнала.

PI-регулятор и стационарная ошибка

PI-регулятор (то есть пропорциональный регулятор плюс интегральный регулятор) уменьшает стационарную ошибку (ess), но оказывает негативное влияние на устойчивость.

PI-регуляторы имеют преимущество в виде уменьшения стационарной ошибки системы, однако они также имеют недостаток в виде снижения устойчивости системы.

PI-регулятор снижает устойчивость. Это означает, что демпфирование уменьшается; пиковая перерегулировка и время установления увеличиваются из-за PI-регулятора; корни характеристического уравнения (полюса передаточной функции замкнутой системы) в левой полуплоскости приближаются к мнимой оси. Порядок системы также увеличивается из-за PI-регулятора, что способствует снижению устойчивости.

Рассмотрим два характеристических уравнения: одно — s3+ s2+ 3s+20=0, другое — s2+3s+20=0. Просто по наблюдению можно сказать, что система, связанная с первым уравнением, имеет меньшую устойчивость по сравнению со вторым уравнением. Вы можете проверить это, найдя корни уравнений. Таким образом, можно понять, что характеристические уравнения более высокого порядка имеют меньшую устойчивость.

Теперь добавим один PI-регулятор (пропорциональный плюс интегральный регулятор) в систему-1 (Рисунок-3) и рассмотрим результаты. После вставки PI-регулятора в систему-1 различные стационарные значения показаны на Рисунке-5. Можно видеть, что выход точно равен входному сигналу. Это преимущество PI-регулятора, который минимизирует стационарную ошибку, чтобы выход стремился следовать за входным сигналом.

Блок-схема PI-регулятора — Рисунок 5: Влияние PI-регулятора можно увидеть на этой схеме

Передаточная функция PI-регулятора может быть рассчитана как $Kp+\frac{Ki}{s}$ или $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Можно задать вопрос: если вход любой передаточной функции равен нулю, то ее выход также должен быть равен нулю. Однако, в данном случае вход PI-регулятора равен нулю, но выход PI-регулятора является конечным значением (т.е. 1). Это объяснение не дается ни в одной книге по теории управления, поэтому мы объясним это здесь:

(1) Стационарная ошибка не равна точно нулю, она стремится к нулю, аналогично ‘s’ не равно нулю, оно стремится к нулю. Допустим, в какой-то момент стационарная ошибка равна 2x10-3, в то же время ‘s’ (особенно говоря о ‘s’ в знаменателе PI-регулятора) также равно 2x10-3, следовательно, выход PI-регулятора равен ‘1’.

Рассмотрим другую систему управления, показанную на рисунке 6:

Замкнутая система управления с PI-регулятором — Рисунок 6: Пример замкнутой системы управления с PI-регулятором

В этом случае можно сказать, что в какой-то момент, допустим, стационарная ошибка равна 2x10-3, в то же время ‘s’ равно 4×10-3; следовательно, выход PI-регулятора равен ‘0.5’. Это означает, что как ‘ess’ так и ‘s’ стремятся к нулю, но их отношение является конечным значением.

В книгах по системам управления вы никогда не найдете s=0 или t=∞; вы всегда найдете
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Второе объяснение заключается в том, что ошибка установившегося состояния равна нулю, ‘s’ также равно нулю в установившемся состоянии. Передаточная функция PI-регулятора $\frac{Kps+Ki}{s}$ . В книгах по математике вы найдете, что $\frac{0}{0}$ не определено, поэтому оно может быть любым конечным значением (см. Рисунок-7).

PI Controller — Рисунок-7: Вход в передаточную функцию равен нулю, но выход является конечным значением

(3) Третье объяснение заключается в том, что $\frac{1}{s}$ является интегратором. Вход равен нулю, интегрирование нуля не определено. Поэтому выход PI-регулятора может быть любым конечным значением.

Основное различие между открытыми и замкнутыми системами управления

С учетом вышеизложенного объяснения, мы рассмотрим основное различие между открытой и замкнутой системами управления. Различия между открытыми и замкнутыми системами управления можно найти в любой книге по системам управления*, но здесь приводится одно основное различие, связанное с вышеизложенным объяснением, и мы надеемся, что это будет полезно для читателей.

Открытую систему управления можно представить следующим образом:

Система управления с открытым контуром — Рисунок-8: Это диаграмма стандартной системы управления с открытым контуром

Замкнутую систему управления (систему управления с обратной связью) можно представить следующим образом:

Система управления с замкнутым контуром — Рисунок-9: Это диаграмма стандартной системы управления с замкнутым контуром

Передаточная функция объекта фиксирована (передача функции объекта может автоматически изменяться из-за изменения окружающей среды, помех и т.д.). Во всех наших обсуждениях мы предполагали, что H(s)=1; Оператор может контролировать передаточную функцию регулятора (т.е. параметры регулятора, такие как Kp, Kd, Ki) и т.д.

Регулятор может быть пропорциональным регулятором (P-регулятор), PI-регулятором, PD-регулятором, PID-регулятором, регулятором на основе нечеткой логики и т.д. У регулятора есть две цели: (i) поддерживать устойчивость, т.е. демпфирование должно быть около 0,7-0,9, пиковая перерегулировка и время установления должны быть низкими (ii) стационарная ошибка должна быть минимальной (она должна быть равна нулю).

Но если мы попытаемся увеличить демпфирование, то стационарная ошибка может увеличиться. Поэтому проектирование регулятора должно быть таким, чтобы и устойчивость, и стационарная ошибка находились под контролем. Оптимальное проектирование регулятора является обширной темой исследований.

Как было написано ранее, PI-регулятор значительно уменьшает стационарную ошибку (ess), но оказывает негативное влияние на устойчивость.

Теперь мы объясним одну основную разницу между системой управления с открытым контуром и системой управления с замкнутым контуром, которая связана с вышеупомянутыми объяснениями.

Рассмотрим Рисунок-10; это система управления с открытым контуром.

Предположим, что входной сигнал является единичным ступенчатым входом. Следовательно, установившееся значение входного сигнала равно '1'. Можно рассчитать, что установившееся значение выходного сигнала равно '2'. Предположим, что из-за каких-либо причин изменяется передаточная функция [G(s)] объекта, как это повлияет на вход и выход? Ответ заключается в том, что вход в объект не изменится, а выход объекта изменится.

Теперь рассмотрим Рисунки-11 и 12

Рисунок-12: Замкнутая система, выход объекта остается прежним, но вход объекта изменяется из-за изменения передаточной функции

Обе системы являются замкнутыми системами управления. На рисунке-11 предположим, что по какой-либо причине изменяется передаточная функция объекта, как это повлияет на вход и выход? В этом случае вход в объект изменится, а выход объекта останется неизменным. Выход объекта пытается следовать за эталонным входом.

На рисунке-12 показаны новые условия, при которых параметры объекта изменены. Можно увидеть, что вход объекта изменился с 0.5 до 0.476, в то время как выход не изменился. В обоих случаях вход в ПИ-регулятор равен нулю, характеристики ПИ-регулятора одинаковы, но выход ПИ-регулятора различается.

Таким образом, можно понять, что в открытой системе управления выход объекта изменяется, а в замкнутой системе управления изменяется вход в объект.

В книгах по теории управления можно найти следующее утверждение:

"В случае изменения параметров передаточной функции объекта, замкнутая система управления менее чувствительна по сравнению с разомкнутой системой управления" (то есть изменение выхода замкнутой системы управления меньше, чем у разомкнутой системы управления).

Мы надеемся, что приведенные в этой статье примеры помогут лучше понять вышесказанное.

___________________________________________________________________

*Уважаемые читатели Electrical4U, обратите внимание, что целью данной статьи не является воспроизведение тем, уже доступных в книгах; наша цель - представить различные сложные темы теории управления простым языком с числовыми примерами. Мы надеемся, что эта статья поможет вам лучше понять различные аспекты стационарной ошибки и PI-регуляторов.

Заявление: Уважайте оригинал, хорошие статьи стоят того, чтобы ими делиться, если имеет место нарушение авторских прав, пожалуйста, свяжитесь для удаления.

Оставить чаевые и поощрить автора

Темы:

Энергетические системы

Системы управления

О специалистах

Electrical4u

China

Область экспертизы

Basic Electrical

Профессиональная статья

607