定常状態誤差とは何か？（定常ゲイン、値および公式）

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フィールド: 基本電気

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定常状態誤差とは

定常状態誤差は、システム出力の希望値と実際の値の差を、時間無限大の極限において（つまり制御システムの応答が定常状態に達したとき）で定義されます。

定常状態誤差は線形システムの入力/出力応答の特性です。一般的に、良い制御システムは定常状態誤差が低いものと言えます。

まず最初に、一次転送関数における定常状態誤差についてその定常状態応答を分析してみましょう。以下の転送関数を考えてみます。

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

これは単純な一次転送関数であり、ゲインが1で時間定数が0.7秒です。「s」の分母の最高次数が「1」であるため、一次転送関数と呼ばれます。もし代わりに $0.7s^2 + 1$ であれば、二次転送関数となります。

この転送関数の定常状態入力に対する応答は図1に示されています。定常状態では、出力は入力と完全に一致しています。従って、定常状態誤差はゼロです。

一次伝達関数に対するステップ入力の時間応答。 — 図1：これは一次伝達関数に対するステップ入力の時間応答です。定常状態誤差がゼロであることがわかります。

この関数に対する単位ランプ入力の応答は図2に示されています。定常状態では入力と出力の間に差があることがわかります。したがって、単位ランプ入力に対して定常状態誤差が存在します。

一次伝達関数に対するランプ入力の時間応答。 — 図2：これは一次伝達関数に対するランプ入力の時間応答です。この場合、定常状態誤差が存在することがわかります。

多くの制御システムの書籍で、ランプ入力に対する一次伝達関数の定常状態誤差は時間定数に等しいと説明されています。上記の図2を観察すると、これが正しいことがわかります。t=3秒で、入力は3であり、出力は2.3です。したがって、定常状態誤差は0.7となり、これはこの一次伝達関数の時間定数に等しいです。

以下の重要なポイントに注意してください：

入力が放物線の場合、定常状態誤差は最も高く、ランプ入力では一般的に低く、ステップ入力ではさらに低くなります。上記の説明のように、ステップ入力に対する定常状態誤差はゼロであり、ランプ入力に対する定常状態誤差は0.7であり、放物線入力に対する定常状態誤差は∞です。
定常状態誤差は入力に依存するが、安定性は入力には依存しないことに注意してください。

閉ループ制御システムを考え、その伝達関数を

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

ここで記号は通常の意味を持つ。システムの安定性は分母つまり‘1+G(s)H(s)’に依存する。‘1+G(s)H(s) = 0’は特性方程式と呼ばれる。その根がシステムの安定性を示す。定常状態誤差はR(s)に依存する。

閉ループ制御システムでは、誤差信号は $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ 定常状態誤差は ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ として求められる。ここでの定常状態誤差は、定常状態における誤差信号の値である。これにより、定常状態誤差がR(s)に依存することがわかる。

上記のように、安定性は分母つまり1 + G(s)H(s)に依存する。ここで‘1’は定数であり、したがって安定性はG(s)H(s)に依存し、これは変化可能な部分である。そのため、Bode図やNyquist図はG(s)H(s)を使用して描画されるが、これらは $\frac{C(s)}{R(s)}$ の安定性を示す。

G(s)H(s)はオープンループ伝達関数と呼ばれ、 $\frac{C(s)}{R(s)}$ はクローズドループ伝達関数と呼ばれます。オープンループ伝達関数であるG(s)H(s)の解析を通じて、Bode図とNyquist図を使用してクローズドループ伝達関数の安定性を見つけることができます。

定常状態誤差の例

単位ステップ入力に対する定常状態誤差

次に、クローズドループ制御システムにおける定常状態誤差をいくつかの数値例を使って説明します。単位ステップ入力を持つ制御システムから始めます。

例1：

図3に示すように、次の制御システム（システム1）を考えます：

基準入力‘Rs’は単位ステップ入力です。

システム1の様々な定常状態の値は図4に示されています。

エラーシグナルの定常状態値は0.5であるため、定常状態誤差も0.5となります。システムが安定し、各種信号が一定であれば、以下のように様々な定常状態値を得ることができます。

伝達関数において $s\rightarrow 0$ の場合、伝達関数の定常状態ゲインを得ることができます。

出力を次のように計算できます。

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

ここで $R(s)$ = 単位ステップ入力 = $\frac{1}{s}$ とすると、これを以下のように変形できます。

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

出力の定常状態値は以下の通りです。

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

上記の方法を使用して、任意の信号の定常状態値を計算することができます。例えば：

入力が $R(s)= \frac{1}{s}$ （入力は単位ステップ入力）

その定常状態値= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1。

同様に、誤差信号は以下の通り計算されます。

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

誤差信号の定常値（つまり、定常誤差）は以下の通りです。

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

また、図4から入力と出力の差が0.5であることがわかります。したがって、定常誤差は0.5です。

定常誤差を計算する別の方法には、以下の誤差定数を見つけることがあります。

位置誤差係数 Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ 、Kp = 1、ess= $\frac{1}{1+Kp}$ となります。同じ答えを得ることができます。

入力がステップ入力である場合、例えば $R(s)=\frac{3}{s}$ （これは単位ステップ入力ではなくステップ入力です）、その場合の定常誤差は ess= $\frac{3}{1+Kp}$

入力が単位ランプ入力の場合、速度誤差係数 Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ 、ess= $\frac{1}{Kv}$

入力が単位放物線入力である場合、加速度誤差係数Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ 、ess= $\frac{1}{Ka}$ 。

誤差定数Kp、Kv、およびKaの分析により、定常状態誤差が入力にどのように依存するかを理解できます。

PI制御器と定常状態誤差

PI制御器（比例制御器と積分制御器）は、定常状態誤差（ess）を減らしますが、安定性に悪影響があります。

PI制御器は、システムの定常状態誤差を減らす利点がありますが、安定性を低下させるという欠点があります。

PI制御器は安定性を低下させます。これは、減衰が減少し、ピークオーバーシュートと収束時間がPI制御器によって増加することを意味します。特性方程式の根（閉ループ伝達関数の極）が虚軸に近づきます。また、PI制御器によりシステムの次数も増加し、これが安定性を低下させる傾向があります。

2つの特性方程式を考えると、1つ目はs3+ s2+ 3s+20=0、もう1つ目はs2+3s+20=0です。単純な観察から、最初の方程式に関連するシステムの方が2番目の方程式よりも安定性が低いことがわかります。方程式の根を見つけることで確認できます。したがって、高次の特性方程式ほど安定性が低いことが理解できます。

次に、システム-1（図3）に1つのPI制御器（比例積分制御器）を追加し、結果を検討します。PI制御器をシステム-1に挿入すると、図5に示すように、様々な定常状態値が得られます。出力が参照入力と正確に等しいことがわかります。これは、PI制御器の利点であり、定常状態誤差を最小限に抑えることで、出力が参照入力を追跡しようとします。

PIコントローラのブロック図 — 図-5: PIコントローラの効果はこの図で見ることができます

PIコントローラの伝達関数は次のように計算できます $Kp+\frac{Ki}{s}$ または $\frac{Kps+Ki}{s}.$ ある質問として、もし伝達関数の入力がゼロならその出力もゼロになるはずだと言われることがあります。しかし、現在の場合ではPIコントローラへの入力はゼロですが、PIコントローラの出力は有限値（つまり1）です。この説明は制御システムの教科書には載っていないため、ここで説明します：

(1) 定常誤差は完全にゼロではなく、ゼロに近づくように設計されています。同様に、's' もゼロではなく、ゼロに近づきます。例えば、ある瞬間に定常誤差が2×10-3であるとすると、同時に's'（特にPIコントローラの分母の's'）も2×10-3であり、そのためPIコントローラの出力は'1'となります。

別の制御システムを図-6に示します：

この場合、ある瞬間に定常誤差が2×10-3であり、同時に's'が4×10-3であるとすると、PIコントローラの出力は'0.5'になります。つまり、'ess'と's'はどちらもゼロに近づきますが、その比率は有限値となります。

制御システムの本では、s=0 または t=∞ を見つけることはありません。常に
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) 第二の説明は、定常状態誤差がゼロの場合、's' も定常状態でゼロになります。PI コントローラーの伝達関数は $\frac{Kps+Ki}{s}$ です。数学の本では、 $\frac{0}{0}$ は不定であり、任意の有限値（図-7参照）になる可能性があります。

PI Controller — 図-7: 伝達関数への入力はゼロですが、出力は有限値

(3) 第三の説明は、 $\frac{1}{s}$ は積分器です。入力がゼロの場合、ゼロの積分は不定です。したがって、PI コントローラーの出力は任意の有限値になる可能性があります。

オープンループ制御システムとクローズドループ制御システムの基本的な違い

上記の説明を参考に、オープンループ制御システムとクローズドループ制御システムの基本的な違いについて説明します。制御システムの本*では、オープンループ制御システムとクローズドループ制御システムの違いを見つけることができますが、上記の説明に関連する基本的な違いをここに示し、読者にとって役立つことを願っています。

オープンループ制御システムは以下のようになります：

閉ループ制御システム（フィードバック制御システム）は以下のようになります。

プラントの伝達関数は固定されています（環境変化や干渉などにより、プラントの伝達関数は自動的に変更される可能性があります）。私たちの議論では、H(s)=1と仮定しています。操作者はコントローラーの伝達関数を制御することができます（つまり、Kp、Kd、Kiなどのパラメータ）。

コントローラーは比例制御器（P制御器）、PI制御器、PD制御器、PID制御器、ファジィロジック制御器などがあります。コントローラーには2つの目的があります。（i）安定性を維持すること、つまり減衰比は約0.7〜0.9、ピークオーバーシュートと設定時間は低くすべきです。（ii）ステディステート誤差は最小限に抑えられるべきです（ゼロであるべきです）。

しかし、減衰比を増やすとステディステート誤差が増加する可能性があります。したがって、コントローラーの設計は両方（安定性とステディステート誤差）が制御できるように行う必要があります。最適なコントローラー設計は広範な研究テーマです。

以前に述べたように、PI制御器はステディステート誤差（ess）を大幅に減少させますが、安定性には悪影響を与えます。

次に、オープンループ制御システムとクローズドループ制御システムの基本的な違いについて説明します。これは上記の説明に関連しています。

図-10をご覧ください。これはオープンループ制御システムです。

入力が単位ステップ入力であるとします。従って、入力の定常値は‘1’です。出力の定常値が‘2’であることが計算できます。何らかの理由でプラントの伝達関数[G(s)]に変化があった場合、入力と出力にどのような影響があるでしょうか？答えは、プラントへの入力は変わらず、プラントの出力が変わるということです。

次に、図11および図12を考慮してみましょう。

図12：クローズドループシステム、プラント出力は同じですが、伝達関数の変化によりプラント入力が変わります

両方ともクローズドループ制御システムです。図11において、何らかの理由でプラントの伝達関数に変化があった場合、入力と出力にどのような影響がありますか？この場合、プラントへの入力は変わりますが、プラントの出力は変化しません。プラントの出力は基準入力を追従しようとします。

図12は新しい条件を示しており、プラントパラメータが変化しています。プラント入力が0.5から0.476に変化しているのがわかりますが、出力は変化していません。どちらの場合もPIコントローラへの入力はゼロであり、PIコントローラの仕様は同じですが、PIコントローラの出力は異なります。

したがって、オープンループ制御システムではプラントの出力が変化する一方、クローズドループ制御システムではプラントへの入力が変化することを理解することができます。

制御システムの本では、以下の記述を見つけることができます：

「プラントの伝達関数のパラメータが変化した場合、閉ループ制御システムは開ループ制御システムと比較して、その影響に対してより不感度である」（つまり、閉ループ制御システムの出力の変動は開ループ制御システムよりも少ない）。

上記の説明は、この記事で示される例を通じてより明確になることを願っています。

___________________________________________________________________

*電気工学の読者の皆様へ、この記事の目的は既に書籍で利用可能なトピックを再現することではなく、制御工学における複雑なトピックを容易な言葉で数値例を用いて提示することです。我々はこの記事があなたが定常状態誤差とPI制御器に関する様々な複雑さを理解するのに役立つことを願っています。

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