Tiyak na Pagkakamali: Ano ito? (Tiyak na Tubo, Halaga & Pormula)

Larangan: Pangunahing Elektrikal

China

Ano ang Steady State Error

Ano ang Steady State Error?

Ang steady-state error ay inilalarawan bilang ang pagkakaiba sa pagitan ng kinakailangang halaga at ang aktwal na halaga ng output ng isang sistema sa limit ng oras habang lumalapit ito sa walang hanggang (i.e. kapag ang tugon ng kontrol na sistema ay naiabot na ang steady-state).

Ang steady-state error ay isang katangian ng input/output response para sa isang linear na sistema. Sa pangkalahatan, ang isang mabuting kontrol na sistema ay isang sistema na may mababang steady-state error.

Una, ipaglaban natin ang steady-state error sa isang unang-order transfer function sa pamamagitan ng pagsusuri ng kanyang steady state response. Isaalang-alang natin ang sumusunod na transfer function:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Ito ay isang simple na unang order transfer function, na may gain na equal sa isa at time constant na 0.7 segundo. Tandaan na ito ay kilala bilang unang order transfer function dahil ang 's' sa denominator ay may pinakamataas na power na '1'. Kung ito ay $0.7s^2 + 1$ , ito ay magiging ikalawang order transfer function.

Ang tugon ng transfer function na ito sa isang steady-state input ay ipinapakita sa Figure-1. Makikita na sa steady-state, ang output ay eksaktong kapareho ng input. Kaya ang steady-state error ay sero.

Sagot ng unang paglipas ng oras ng Function ng Pagsasalin laban sa step Input. — Larawan-1: Ito ang sagot ng unang paglipas ng oras ng Function ng Pagsasalin laban sa step Input. Makikita na ang steady state error ay zero

Ang tugon ng function na ito sa isang unit ramp input ay ipinapakita sa Larawan-2. Makikita na may pagkakaiba sa steady-state sa pagitan ng input at output. Kaya para sa isang unit ramp input, may umiiral na steady-state error.

Sagot ng unang paglipas ng oras ng Function ng Pagsasalin laban sa Ramp Input. — Larawan-2: Ito ang sagot ng unang paglipas ng oras ng Function ng Pagsasalin laban sa ramp Input. Makikita na umiiral ang steady state error sa kasong ito

Tandaan na sa maraming mga libro ng control system, makikita na ang steady-state error ng unang order transfer function laban sa ramp input ay katumbas ng time constant. Sa pamamagitan ng pagsusuri sa Larawan-2 sa itaas, makikita natin na ito ay totoo. Sa t = 3 segundo, ang input ay 3 habang ang output ay 2.3. Kaya ang steady-state error ay 0.7, na katumbas ng time constant para sa unang order transfer function na ito.

Mangyaring tandaan ang mga sumusunod na mahalagang tip:

Ang steady-state error ay pinakamataas kung ang input ay parabolic, mas mababa sa pangkalahatan para sa ramp input, at mas mababa pa para sa step input. Tulad ng nabanggit sa itaas, ang steady-state error ay zero laban sa step input, at 0.7 laban sa ramp input, at maaaring makita na ito ay ∞ laban sa parabolic input.
Dapat tandaan na ang steady-state error ay depende sa input, habang ang stability ay hindi depende sa input.

Tingnan natin ang isang saradong loop na sistema ng kontrol na may transfer function

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Kung saan ang mga simbolo ay may kanilang karaniwang kahulugan. Ang estabilidad ng sistema ay depende sa denominator o '1+G(s)H(s)'. Ang '1+G(s)H(s) = 0' ay tinatawag na characteristics equation. Ang mga ugat nito ay nagpapakita ng estabilidad ng sistema. Ang steady-state error ay depende sa R(s).

Sa isang saradong loop na sistema ng kontrol, ang error signal ay maaaring makalkula bilang $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Ang steady state error ay maaaring makalkula bilang ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , kung saan ang steady-state error ay ang halaga ng error signal sa steady state. Mula dito, makikita natin na ang steady-state error ay depende sa R(s).

Gayunpaman, ang estabilidad ay depende sa denominator o 1 + G(s)H(s). Dito, ang '1' ay constant, kaya ang estabilidad ay depende sa G(s)H(s), na ang bahagi ng equation na maaaring magbago. Kaya, maaari mong maintindihan ang Bode plot, Nyquist plot ay ginuhit sa tulong ng G(s)H(s), ngunit ito ay nagpapakita ng estabilidad ng $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
Tinatawag na open-loop transfer function ang G(s)H(s) at tinatawag naman na closed-loop transfer function ang $\frac{C(s)}{R(s)}$ . Sa pamamagitan ng pagsusuri sa open-loop transfer function o G(s)H(s), maaari nating matukoy ang estabilidad ng closed-loop transfer function gamit ang Bode plot & Nyquist plot.

Mga Halimbawa ng Steady State Error

Steady State Error para sa Unit Step Input

Ngayon, ipaliwanag natin ang steady-state error sa isang closed-loop control system gamit ang ilang mga halimbawa ng numero. Sisimulan natin ito sa isang control system na may unit step input.

Halimbawa-1:

Isaalang-alang ang sumusunod na control system (system-1) na ipinapakita sa Figure-3:

Ang reference input ‘Rs’ ay isang unit step input.

Ang iba't ibang steady-state values ng System-1 ay ipinapakita sa Figure-4.

Steady State Value Block Diagram — Larawan-4: Iba't ibang Halagang Steady State sa isang Control System

Maaaring makita na ang halagang steady state ng error signal ay 0.5, kaya ang steady state error ay 0.5. Kung ang sistema ay matatag at ang iba't ibang mga signal ay constant, maaaring makamit ang iba't ibang halagang steady state tulad nito:

Sa transfer function bilang $s\rightarrow 0$ , maaaring makamit ang steady state gain ng transfer function.

Maaaring ikalkula ang output tulad nito:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Tandaan na $R(s)$ = unit step input = $\frac{1}{s}$ , maaari nating baguhin ito sa:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Ang halagang steady state ng output ay:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Maaari nating gamitin ang paraan sa itaas upang kalkulahin ang halagang steady state ng anumang signal. Halimbawa:

Ang input ay $R(s)= \frac{1}{s}$ (Ang input ay unit step input)

Ang halagang steady state nito ay $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Sa parehong paraan, maaaring makalkulahin ang error signal bilang:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Ang halagang steady state ng signal ng error (o ang steady state error) ay:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Maaari rin itong makita mula sa Figure-4 na ang pagkakaiba sa pagitan ng input at output ay 0.5. Kaya ang steady state error ay 0.5.

Isang ibang paraan upang kalkulahin ang steady state error ay ang paghahanap ng mga error constants, tulad nito:

Kalkulahin ang koepisyenteng posisyon ng error Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Makikita mo na Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Makikita mo ang parehong sagot.

Kung ang input ay isang step input, halimbawa $R(s)=\frac{3}{s}$ (ito ay isang step input, pero hindi ito isang unit step input), kung gayon ang steady state error ay ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Kung ang input ay isang unit ramp input, kung gayon Kalkulahin, Velocity error coefficient Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Kung ang input ay unit parabolic input, kalkulahin ang Coefficient ng Acceleration Error (Ka)= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Sa pamamagitan ng pag-aanalisa sa mga constant ng error na Kp, Kv at Ka, maaari kang maintindihan kung paano umaasa ang steady state error sa input.

PI Controller at Steady State Error

Ang isang PI controller (o higit pang proportional controller plus integral controller) ay nagbabawas ng steady state error (ess), ngunit may negatibong epekto sa estabilidad.

Ang mga PI controller ay may pakinabang na nagbabawas ng steady-state error ng sistema, habang may kadahilanan rin ito ng pagbawas ng estabilidad ng sistema.

Nagbabawas ang PI controller ng estabilidad. Ito ang nangangahulugan na bumababa ang damping; tumataas ang peak overshoot at settling time dahil sa PI controller; Ang mga ugat ng characteristics equation (poles ng closed-loop transfer function) sa left-hand side ay lalapit sa imaginary axis. Tumataas din ang order ng sistema dahil sa PI controller, na may tendensyang mabawasan ang estabilidad.

Isaalang-alang ang dalawang characteristics equations, isa ay s3+ s2+ 3s+20=0, ang isa pa ay s2+3s+20=0. Sa pamamagitan lamang ng pagsusuri, maaari naming sabihin sa iyo na mas mababa ang estabilidad ng sistema na may kaugnayan sa unang equation kumpara sa ikalawang equation. Maaari mong i-verify ito sa pamamagitan ng paghahanap ng mga ugat ng equation. Kaya, maaari kang maintindihan na ang mas mataas na order ng characteristics equations ay may mas mababang estabilidad.

Ngayon, ilalagay natin ang isang PI controller (Proportional Plus Integral controller) sa system-1 (Figure-3) at susuriin ang mga resulta. Pagkatapos magdagdag ng PI controller sa system-1, ipinapakita ang iba't ibang steady state values sa Figure-5, Makikita na eksaktong kapareho ang output sa reference input. Ito ang pakinabang ng PI controller, na ito ay nagbabawas ng steady state error upang subukan ng output na sundin ang reference input.

PI Controller Block Diagram — Larawan-5: Ang epekto ng PI Controller ay maaaring makita sa diagram na ito

Ang transfer function ng PI controller ay maaaring makalkula bilang $Kp+\frac{Ki}{s}$ o $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Isang katanungan na maaaring itanong ay kung ang input ng anumang transfer function ay zero, sana ang output nito ay zero. Kaya, sa kasalukuyang kaso, ang input sa PI controller ay zero, ngunit ang output ng PI controller ay isang may hanggang halaga (i.e. 1). Ang paliwanag na ito ay hindi ibinigay sa anumang libro ng control system, kaya ipapaliwanag namin ito dito:

(1) Ang steady state error ay hindi eksaktong zero, ito ay lumalapit sa zero, pareho rin ang 's' ay hindi equal sa zero, ito ay lumalapit sa zero, kaya pagkatapos magkaroon ng steady state error na 2x10-3, at parehong oras ang 's' (partikular na ang 's' sa denominator ng PI controller) ay equal din sa 2x10-3, kaya ang output ng PI controller ay '1'.

Isaalang-alang natin ang isa pang control system na ipinapakita sa Larawan-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Larawan-6: Isang Halimbawa ng Closed Loop Control System na may PI Controller

Sa kaso na ito, maaari nating sabihin, sa anumang oras, kung ang steady state error ay 2x10-3, at parehong oras ang 's' ay equal sa 4×10-3; kaya ang output ng PI controller ay '0.5'. Ibig sabihin, parehong ang 'ess' at 's' ay lumalapit sa zero, ngunit ang kanilang ratio ay isang may hanggang halaga.

Sa mga aklat tungkol sa sistema ng kontrol, hindi mo kailanman makikita ang s=0 o t=∞; makikita mo laging
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Ang pangalawang paliwanag ay ang pagkakamali sa patuloy na estado ay zero, ang 's' ay zero rin sa patuloy na estado. Ang PI controller transfer function ay $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Sa mga aklat sa matematika, makikita mo na ang $\frac{0}{0}$ ay hindi nakatukoy, kaya maaari itong anumang hanggang halaga (tingnan ang Figure-7).

(3) Ang pangatlong paliwanag ay, $\frac{1}{s}$ ay isang integrator. Ang input ay zero, ang integrasyon ng zero ay hindi nakatukoy. Kaya ang output ng PI controller ay maaaring anumang tiyak na halaga.

Isang pangunahing pagkakaiba sa bukas na sistema ng kontrol & saradong sistema ng kontrol

Sa sanggunian sa nabanggit na paliwanag, ipapaliwanag namin ang isang pangunahing pagkakaiba sa isang bukas na sistema ng kontrol & saradong sistema ng kontrol. Mga pagkakaiba sa bukas na sistema ng kontrol & saradong sistema ng kontrol, matatagpuan mo sa anumang aklat ng mga sistema ng kontrol*, ngunit isang pangunahing pagkakaiba na may kaugnayan sa nabanggit na paliwanag ay ibinibigay dito at umaasa kami na tiyak na magiging kapaki-pakinabang ito para sa mga mambabasa.

Maaaring katawanin ang isang bukas na sistema ng kontrol tulad ng sumusunod:

Sistema ng Kontrol na Walang Loop — Larawan-8: Ito ang diagrama ng Standard Open Loop Control System

Ang isang closed loop control system (feedback control system) ay maaaring ipakita bilang sumusunod:

Sistema ng Kontrol na May Loop — Larawan-9: Ito ang diagrama ng Standard Closed Loop Control System

Ang transfer function ng plant ay naka-set (Ang Transfer Function ng plant ay maaaring mag-iba automatiko dahil sa pagbabago ng kapaligiran, disturbance, atbp.). Sa lahat ng aming talakayan, kami ay nagsang-ayon na H(s)=1; Ang isang operator ay maaaring kontrolin ang transfer function ng controller (i.e. parameter ng controller tulad ng Kp, Kd, Ki) atbp.

Ang controller ay maaaring Proportional controller (P controller), PI controller, PD controller, PID controller, Fuzzy logic controller atbp. Mayroong dalawang layunin ng isang controller (i) Upang panatilihin ang estabilidad, i.e. damping ay dapat nasa paligid ng 0.7-0.9, peak overshoot at settling time ay dapat mababa (ii) Steady-state error ay dapat minimum (ito ay dapat zero).

Ngunit kung susubukan nating taas ang damping, ang steady-state error ay maaaring tumaas. Kaya ang disenyo ng controller ay dapat gawin nang ang parehong (stability & steady-state error) ay nasa kontrol. Ang optimal na disenyo ng controller ay isang malaking paksa ng pagsasaliksik.

Ito ay isinulat na, ang PI controller ay nagbabawas ng Steady state error (ess) nang malaki, ngunit may negatibong epekto sa estabilidad.

Ngayon, ipapaliwanag namin ang isang pangunahing pagkakaiba sa pagitan ng open loop control system & closed loop control system, na may kaugnayan sa itaas na ipinaliwanag.

Isaalang-alang ang Larawan-10; ito ay isang open loop control system.

Hayaan ang input ay isang unit step input. Kaya, ang steady-state na halaga ng input ay '1'. Maaaring kalkulahin na ang steady state na halaga ng output ay '2'. Ipagpalagay na may pagbabago sa transfer function [G(s)] ng planta dahil sa anumang kadahilanan, ano ang epekto nito sa input at output? Ang sagot ay hindi magbabago ang input sa planta, magbabago ang output ng planta.

Ngayon isaalang-alang ang mga Figure-11 at 12

Closed loop system — Figure-12: Closed Loop System, Pareho ang output ng planta ngunit nagbago ang input ng planta dahil sa pagbabago sa Transfer Function

Pareho silang closed loop control systems. Sa Figure-11, ipagpalagay na may pagbabago sa transfer function ng planta dahil sa anumang kadahilanan, ano ang epekto nito sa input at output? Sa kasong ito, magbabago ang input sa planta, mananatiling hindi nagbabago ang output ng planta. Sinusubukan ng output ng planta na sundin ang reference input.

Ipapakita ng Figure-12 ang bagong kondisyon, kung saan nagbago ang mga parameter ng planta. Makikita mong nagbago ang input ng planta mula 0.5 patungong 0.476, habang hindi nagbago ang output. Sa parehong kaso, zero ang input sa PI controller, pareho ang mga specification ng PI controller ngunit iba ang output ng PI controller.

Kaya, maunawaan mo, sa open loop control system nagbabago ang output ng planta samantalang sa closed loop control system nagbabago ang input sa planta.

Sa mga aklat tungkol sa sistema ng kontrol, matatagpuan mo ang sumusunod na pahayag:

“Sa kaso ng pagbabago ng mga parameter ng plant transfer function, ang closed loop control system ay mas kaunti ang sensitibidad kumpara sa open loop control system” (o ang ibig sabihin, ang pagbabago ng output ng closed loop control system ay mas kaunti kumpara sa open loop control system).

Inaasahan namin na mas malinaw ang nabanggit na pahayag sa mga halimbawa na ibinigay sa artikulong ito.

___________________________________________________________________

*Mahal kong mga mambabasa ng Electrical4U, mangyaring tandaan na ang layunin ng artikulong ito ay hindi upang muling ilathala ang mga paksa na mayroon nang sa mga libro; ngunit ang aming layunin ay ipakita ang iba't ibang mahirap na paksa ng Control Engineering sa madaling wika kasama ang mga numerikal na halimbawa. Inaasahan namin na makatutulong ang artikulong ito upang maintindihan ninyo ang iba't ibang kumplikasyon tungkol sa steady-state error & PI controllers.

Pahayag: Respetuhin ang orihinal, mga artikulo na karapat-dapat na i-share, kung may labag sa copyright pakiusap ilipat ang pagkakamali.

Magbigay ng tip at hikayatin ang may-akda!

Mga Paksa:

Sistema ng Paggamit ng Kapangyarihan

Sistema ng Pagkontrol

Tungkol sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan ng Eksperto

Basic Electrical

Artikulong Propesyonal

607