स्थिर अवस्था त्रुटि: यह क्या है? (स्थिर-अवस्था गेन, मान और सूत्र)

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स्थिर अवस्था त्रुटि क्या है

स्थिर अवस्था त्रुटि क्या है?

स्थिर अवस्था त्रुटि एक प्रणाली के वास्तविक मान और इच्छित मान के बीच का अंतर होता है, जब समय अनंत की ओर बढ़ता है (यानी जब नियंत्रण प्रणाली का प्रतिक्रिया स्थिर अवस्था पर पहुंच जाता है)।

स्थिर अवस्था त्रुटि एक रैखिक प्रणाली के इनपुट/आउटपुट प्रतिक्रिया की एक विशेषता है। सामान्य रूप से, एक अच्छी नियंत्रण प्रणाली उसी होगी जिसमें स्थिर अवस्था त्रुटि कम होगी।

पहले, हम पहले क्रम के ट्रांसफर फंक्शन में स्थिर अवस्था त्रुटि के बारे में चर्चा करेंगे और इसकी स्थिर अवस्था प्रतिक्रिया का विश्लेषण करेंगे। आइए नीचे दिए गए ट्रांसफर फंक्शन को ध्यान में रखें:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

यह एक सरल पहले क्रम का ट्रांसफर फंक्शन है, जिसका गेन एक के बराबर है और समय नियतांक 0.7 सेकंड है। ध्यान दें कि इसे पहले क्रम का ट्रांसफर फंक्शन कहा जाता है क्योंकि भाजक में 's' की उच्चतम घात '1' है। यदि यह इसके बजाय $0.7s^2 + 1$ होता, तो यह दूसरे क्रम का ट्रांसफर फंक्शन होता।

इस ट्रांसफर फंक्शन का स्थिर अवस्था इनपुट पर प्रतिक्रिया आकृति-1 में दिखाई गई है। यह देखा जा सकता है कि स्थिर अवस्था में, आउटपुट इनपुट के बराबर है। इसलिए स्थिर अवस्था त्रुटि शून्य है।

प्रथम क्रम स्थानांतरण फ़ंक्शन का स्टेप इनपुट के विरुद्ध समय प्रतिक्रिया। — आकृति-1: यह प्रथम क्रम स्थानांतरण फ़ंक्शन की स्टेप इनपुट के विरुद्ध समय प्रतिक्रिया है। यह देखा जा सकता है कि स्थिरावस्था त्रुटि शून्य है

इस फ़ंक्शन की एकक रैंप इनपुट पर प्रतिक्रिया आकृति-2 में दिखाई गई है। यह देखा जा सकता है कि स्थिरावस्था में इनपुट और आउटपुट के बीच अंतर है। इसलिए एकक रैंप इनपुट के लिए स्थिरावस्था त्रुटि मौजूद होती है।

प्रथम क्रम स्थानांतरण फ़ंक्शन का रैंप इनपुट के विरुद्ध समय प्रतिक्रिया। — आकृति-2: यह प्रथम क्रम स्थानांतरण फ़ंक्शन की रैंप इनपुट के विरुद्ध समय प्रतिक्रिया है। यह देखा जा सकता है कि इस मामले में स्थिरावस्था त्रुटि मौजूद है

ध्यान दें कि कई नियंत्रण प्रणाली की किताबों में आप यह पाएंगे कि रैंप इनपुट के विरुद्ध, प्रथम क्रम स्थानांतरण फ़ंक्शन की स्थिरावस्था त्रुटि समय नियतांक के बराबर होती है। ऊपर दिखाई गई आकृति-2 को देखकर, हम देख सकते हैं कि यह सच है। t=3 सेकंड पर, इनपुट 3 है जबकि आउटपुट 2.3 है। इसलिए स्थिरावस्था त्रुटि 0.7 है, जो इस प्रथम क्रम स्थानांतरण फ़ंक्शन के लिए समय नियतांक के बराबर है।

कृपया निम्नलिखित महत्वपूर्ण सुझावों को ध्यान में रखें:

यदि इनपुट परवलयिक है, तो स्थिरावस्था त्रुटि सबसे अधिक होती है, रैंप इनपुट के लिए आमतौर पर कम होती है, और स्टेप इनपुट के लिए और भी कम होती है। ऊपर दिए गए विवरण के अनुसार, स्टेप इनपुट के विरुद्ध स्थिरावस्था त्रुटि शून्य है, और रैंप इनपुट के विरुद्ध 0.7 है, और यह पाया जा सकता है कि परवलयिक इनपुट के विरुद्ध यह ∞ है।
ध्यान दें कि स्थिरावस्था त्रुटि इनपुट पर निर्भर करती है, जबकि स्थिरता इनपुट पर निर्भर नहीं करती है।

आइए एक बंद लूप नियंत्रण प्रणाली को ध्यान में रखें जिसका स्थानांतरण फ़ंक्शन है

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

जहाँ प्रतीक अपने सामान्य अर्थ का व्यक्त करते हैं। प्रणाली की स्थिरता हर पर निर्भर करती है जो ‘1+G(s)H(s)’ है। ‘1+G(s)H(s) = 0’ विशेष चरित्र समीकरण कहलाता है। इसकी मूल संख्याएँ प्रणाली की स्थिरता को दर्शाती हैं। स्थिर-अवस्था त्रुटि R(s) पर निर्भर करती है।

एक बंद लूप नियंत्रण प्रणाली में त्रुटि सिग्नल की गणना की जा सकती है $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ स्थिर-अवस्था त्रुटि को ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , जहाँ स्थिर-अवस्था त्रुटि त्रुटि सिग्नल का स्थिर-अवस्था में मूल्य है। इससे हम देख सकते हैं कि स्थिर-अवस्था त्रुटि R(s) पर निर्भर करती है।

ऊपर उल्लिखित के अनुसार स्थिरता हर पर निर्भर करती है जो 1 + G(s)H(s) है। यहाँ ‘1’ एक स्थिरांक है, इसलिए स्थिरता G(s)H(s) पर निर्भर करती है, जो समीकरण का वह भाग है जो बदल सकता है। इसलिए, आप Bode ग्राफ, Nyquist ग्राफ को G(s)H(s) की मदद से बना सकते हैं, लेकिन वे C(s)/R(s) की स्थिरता को दर्शाते हैं।
G(s)H(s) को एक ओपन-लूप ट्रांसफर फंक्शन कहा जाता है और $\frac{C(s)}{R(s)}$ को एक क्लोज़-लूप ट्रांसफर फंक्शन कहा जाता है। ओपन-लूप ट्रांसफर फंक्शन अर्थात G(s)H(s) के विश्लेषण से हम बोडे प्लॉट और नाइक्विस्ट प्लॉट के माध्यम से क्लोज़-लूप ट्रांसफर फंक्शन की स्थिरता ज्ञात कर सकते हैं।

स्थिर अवस्था त्रुटि के उदाहरण

एकक चरण इनपुट के लिए स्थिर अवस्था त्रुटि

अब, हम कुछ संख्यात्मक उदाहरणों के साथ एक क्लोज़-लूप नियंत्रण प्रणाली में स्थिर अवस्था त्रुटि की व्याख्या करेंगे। हम एकक चरण इनपुट वाले नियंत्रण प्रणाली से शुरू करेंगे।
उदाहरण-1:
नीचे दिए गए नियंत्रण प्रणाली (प्रणाली-1) को देखें, जैसा कि आकृति-3 में दिखाया गया है:

आकृति-3: क्लोज़-लूप नियंत्रण प्रणाली

संदर्भ इनपुट ‘Rs’ एक एकक चरण इनपुट है।
प्रणाली-1 के विभिन्न स्थिर अवस्था मान आकृति-4 में दिखाए गए हैं।

आंकड़ा-4: एक नियंत्रण प्रणाली में विभिन्न स्थिर अवस्था मान

देखा जा सकता है कि त्रुटि सिग्नल का स्थिर अवस्था मान 0.5 है, इसलिए स्थिर अवस्था त्रुटि 0.5 है। यदि प्रणाली स्थिर है और विभिन्न सिग्नल स्थिर हैं, तो निम्नलिखित तरीके से विभिन्न स्थिर अवस्था मान प्राप्त किए जा सकते हैं:
संकलन फ़ंक्शन में $s\rightarrow 0$ , आप संकलन फ़ंक्शन का स्थिर अवस्था लाभ प्राप्त कर सकते हैं।
आप निम्नलिखित तरीके से आउटपुट की गणना कर सकते हैं:

   $\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

याद रखें कि $R(s)$ = एकक चरण इनपुट = $\frac{1}{s}$ , हम इसे निम्नलिखित तरीके से व्यवस्थित कर सकते हैं:

   $\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

आउटपुट का स्थिर-अवस्था मान है:

   $\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

हम ऊपर दी गई विधि का उपयोग किसी भी सिग्नल के स्थिर-अवस्था मान की गणना करने के लिए कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:
इनपुट $R(s)= \frac{1}{s}$ (इनपुट इकाई स्टेप इनपुट है)
इसका स्थिर-अवस्था मान= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.
इसी प्रकार, त्रुटि सिग्नल की गणना की जा सकती है:

   $\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

त्रुटि सिग्नल (यानी अंतिम स्थिति में त्रुटि) का स्थिरावस्था मूल्य है:

   $\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

इसके अलावा, आकृति-4 से देखा जा सकता है कि इनपुट और आउटपुट के बीच का अंतर 0.5 है। इस प्रकार, स्थिरावस्था त्रुटि 0.5 है।
स्थिरावस्था त्रुटि की गणना करने की एक और विधि त्रुटि स्थिरांकों को खोजने से होती है, निम्नलिखित रूप से:
स्थितिज त्रुटि गुणांक Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , आप Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ पाएंगे। आप समान उत्तर पाएंगे।
यदि इनपुट एक स्टेप इनपुट है, कहलाता है $R(s)=\frac{3}{s}$ (यह एक स्टेप इनपुट है, लेकिन यह एक इकाई स्टेप इनपुट नहीं है), तो स्थिर अवस्था त्रुटि ess= $\frac{3}{1+Kp}$
यदि इनपुट एक इकाई रैंप इनपुट है, तो गणना करें, वेग त्रुटि गुणांक Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$
यदि इनपुट एकांक परबोलिक इनपुट है, तो गणना करें, त्वरण त्रुटि गुणांक Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ ।
त्रुटि स्थिरांक Kp, Kv और Ka के विश्लेषण से, आप समझ सकते हैं कि स्थिरावस्था त्रुटि इनपुट पर कैसे निर्भर करती है।

PI कंट्रोलर और स्थिरावस्था त्रुटि

एक PI कंट्रोलर (यानी एक अनुपातिक कंट्रोलर प्लस समाकलनीय कंट्रोलर) स्थिरावस्था त्रुटि (ess) को कम करता है, लेकिन स्थिरता पर नकारात्मक प्रभाव डालता है।
PI कंट्रोलर निकाय की स्थिरावस्था त्रुटि को कम करने का लाभ देता है, जबकि इसका निकाय की स्थिरता को कम करने का दोष होता है।
PI कंट्रोलर स्थिरता को कम करता है। इसका अर्थ है कि डैम्पिंग कम हो जाती है; चोटी की ओवरशूट और सेटलिंग समय PI कंट्रोलर के कारण बढ़ जाता है; विशेषताओं समीकरण (बंद लूप ट्रांसफर फंक्शन के ध्रुव) के मूल बाएं ओर आते हैं और काल्पनिक अक्ष के नजदीक आते हैं। निकाय का क्रम भी PI कंट्रोलर के कारण बढ़ जाता है, जो स्थिरता को कम करने की प्रवृत्ति दिखाता है।
दो विशेषताओं समीकरणों को देखें, एक s3+ s2+ 3s+20=0, दूसरा s2+3s+20=0। बस देखकर हम आपको बता सकते हैं कि पहले समीकरण से संबंधित निकाय दूसरे समीकरण की तुलना में कम स्थिर है। आप इसे समीकरण के मूल खोजकर सत्यापित कर सकते हैं। इसलिए, आप समझ सकते हैं कि उच्च क्रम वाले विशेषताओं समीकरणों की स्थिरता कम होती है।
अब, हम एक PI कंट्रोलर (अनुपातिक प्लस समाकलनीय कंट्रोलर) को प्रणाली-1 (आकृति-3) में जोड़ेंगे और परिणामों की जाँच करेंगे। PI कंट्रोलर को प्रणाली-1 में जोड़ने के बाद, विभिन्न स्थिरावस्था मान आकृति-5 में दिखाए गए हैं, यह देखा जा सकता है कि आउटपुट ठीक रेफरेंस इनपुट के बराबर है। यह PI कंट्रोलर का लाभ है, कि यह स्थिरावस्था त्रुटि को कम करता है ताकि आउटपुट रेफरेंस इनपुट का पीछा करने की कोशिश करे।

आकृति-5: इस आरेख में PI नियंत्रक का प्रभाव देखा जा सकता है

PI नियंत्रक के स्थानांतरण फलन की गणना की जा सकती है $Kp+\frac{Ki}{s}$ या $\frac{Kps+Ki}{s}.$ एक प्रश्न पूछा जा सकता है कि यदि किसी स्थानांतरण फलन का इनपुट शून्य हो तो उसका आउटपुट भी शून्य होना चाहिए। इसलिए, वर्तमान मामले में PI नियंत्रक का इनपुट शून्य है, लेकिन PI नियंत्रक का आउटपुट एक परिमित मान (यानी 1) है। यह व्याख्या किसी भी नियंत्रण प्रणाली की पुस्तक में नहीं दी गई है, इसलिए हम यहाँ इसकी व्याख्या करेंगे:
(1) स्थायी अवस्था त्रुटि बिल्कुल शून्य नहीं है, यह शून्य की ओर अग्रसर होती है, इसी तरह 's' शून्य के बराबर नहीं है, यह शून्य की ओर अग्रसर होता है, इसलिए किसी भी समय पर स्थायी अवस्था त्रुटि 2x10-3 है, उसी समय 's' (विशेष रूप से हम PI नियंत्रक के हर में 's' के बारे में बात कर रहे हैं) भी 2x10-3 के बराबर है, इसलिए PI नियंत्रक का आउटपुट '1' है।
चलिए एक और नियंत्रण प्रणाली को ध्यान में रखें जो आकृति-6 में दिखाई गई है:

आकृति-6: PI नियंत्रक के साथ एक बंद लूप नियंत्रण प्रणाली का उदाहरण

इस मामले में, हम कह सकते हैं, किसी भी समय पर मान लीजिए, स्थायी अवस्था त्रुटि 2x10-3 है, उसी समय 's' 4×10-3 के बराबर है; इसलिए PI नियंत्रक का आउटपुट '0.5' है। इसका अर्थ है दोनों 'ess' और 's' दोनों शून्य की ओर अग्रसर हैं, लेकिन उनका अनुपात एक परिमित मान है।
नियंत्रण प्रणाली की किताबों में आपको कभी नहीं मिलेगा s=0 या t=∞; आपको हमेशा मिलेगा
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$
(2) दूसरी व्याख्या यह है कि स्थिरावस्था त्रुटि शून्य है, 's' भी स्थिरावस्था में शून्य है। PI नियंत्रक का स्थानांतरण फ़ंक्शन है $\frac{Kps+Ki}{s}$ . गणित की किताबों में आपको मिलेगा कि $\frac{0}{0}$ अपरिभाषित है, इसलिए यह कोई भी परिमित मान हो सकता है (देखें चित्र-7)।

चित्र-7: स्थानांतरण फ़ंक्शन के इनपुट शून्य है लेकिन आउटपुट एक परिमित मान है

(3) तीसरी व्याख्या यह है, $\frac{1}{s}$ एक समाकलक है। इनपुट शून्य है, शून्य का समाकलन अपरिभाषित है। इसलिए PI नियंत्रक का आउटपुट कोई भी परिमित मान हो सकता है।
खुले लूप नियंत्रण प्रणाली और बंद लूप नियंत्रण प्रणाली में एक मूलभूत अंतर
उपरोक्त व्याख्या के संदर्भ में, हम खुले लूप नियंत्रण प्रणाली और बंद लूप नियंत्रण प्रणाली में एक मूलभूत अंतर समझाएंगे। खुले लूप नियंत्रण प्रणाली और बंद लूप नियंत्रण प्रणाली में अंतर, आप किसी भी नियंत्रण प्रणाली की किताब में पा सकते हैं*, लेकिन उपरोक्त व्याख्या से संबंधित एक मूलभूत अंतर यहाँ दिया गया है और हम आशा करते हैं कि यह निश्चित रूप से पाठकों के लिए उपयोगी होगा।
एक खुले लूप नियंत्रण प्रणाली को निम्नलिखित रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है:

आकृति-8: यह मानक खुला लूप नियंत्रण प्रणाली का आरेख है

बंद लूप नियंत्रण प्रणाली (प्रतिक्रिया नियंत्रण प्रणाली) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

आकृति-9: यह मानक बंद लूप नियंत्रण प्रणाली का आरेख है

प्लांट का ट्रांसफर फंक्शन निश्चित होता है (प्लांट का ट्रांसफर फंक्शन पर्यावरणीय परिवर्तन, विक्षेपण आदि के कारण स्वचालित रूप से बदल सकता है)। हमारी सभी चर्चा में, हमने H(s)=1 माना है; एक ऑपरेटर प्रोग्रामर को नियंत्रक के ट्रांसफर फंक्शन (जैसे Kp, Kd, Ki) आदि को नियंत्रित कर सकता है।
नियंत्रक प्रोपोर्शनल नियंत्रक (P नियंत्रक), PI नियंत्रक, PD नियंत्रक, PID नियंत्रक, फज़ी लॉजिक नियंत्रक आदि हो सकता है। नियंत्रक के दो उद्देश्य होते हैं (i) स्थिरता बनाए रखना, अर्थात् डैम्पिंग 0.7-0.9 के आसपास होना चाहिए, पीक ओवरशूट और सेटलिंग टाइम कम होना चाहिए (ii) स्थिर-अवस्था त्रुटि कम होनी चाहिए (यह शून्य होनी चाहिए)।
लेकिन अगर हम डैम्पिंग बढ़ाने की कोशिश करेंगे तो स्थिर-अवस्था त्रुटि बढ़ सकती है। इसलिए नियंत्रक का डिजाइन ऐसा होना चाहिए कि दोनों (स्थिरता और स्थिर-अवस्था त्रुटि) नियंत्रण में रहें। नियंत्रक का ऑप्टिमल डिजाइन एक विशाल शोध विषय है।
पहले लिखा गया है, PI नियंत्रक स्थिर-अवस्था त्रुटि (ess) को तेजी से कम करता है, लेकिन स्थिरता पर नकारात्मक प्रभाव डालता है।
अब, हम खुला लूप नियंत्रण प्रणाली और बंद लूप नियंत्रण प्रणाली के बीच एक मूल अंतर समझाएंगे, जो ऊपर दिए गए विवरण से संबंधित है।
आकृति-10 को देखें; यह एक खुला लूप नियंत्रण प्रणाली है।

आकृति-10: एक खुला लूप नियंत्रण प्रणाली

मान लीजिए कि इनपुट एक यूनिट स्टेप इनपुट है। तो, इनपुट का स्थिर-अवस्था मान ‘1’ है। गणना की जा सकती है कि आउटपुट का स्थिर-अवस्था मान ‘2’ है। मान लीजिए कि किसी कारण से प्लांट के ट्रांसफर फंक्शन [G(s)] में कोई परिवर्तन होता है, तो इनपुट और आउटपुट पर क्या प्रभाव पड़ेगा? उत्तर यह है कि प्लांट के इनपुट में कोई परिवर्तन नहीं होगा, प्लांट का आउटपुट बदल जाएगा।
अब आकृतियों-11 और 12 को देखें

आकृति-11: एक बंद लूप नियंत्रण प्रणाली

आकृति-12: बंद लूप प्रणाली, प्लांट आउटपुट समान है लेकिन ट्रांसफर फंक्शन में परिवर्तन के कारण प्लांट इनपुट बदल गया है

दोनों बंद लूप नियंत्रण प्रणालियाँ हैं। आकृति-11 में, मान लीजिए कि किसी कारण से प्लांट के ट्रांसफर फंक्शन में कोई परिवर्तन होता है, तो इनपुट और आउटपुट पर क्या प्रभाव पड़ेगा? इस मामले में, प्लांट के इनपुट में परिवर्तन होगा, प्लांट का आउटपुट अपरिवर्तित रहेगा। प्लांट का आउटपुट संदर्भ इनपुट का अनुसरण करने की कोशिश करता है।
आकृति-12 नए स्थितियों को दर्शाती है, जिनमें प्लांट के पैरामीटर बदल गए हैं। आप देख सकते हैं कि प्लांट इनपुट 0.5 से 0.476 हो गया है, जबकि आउटपुट नहीं बदला गया है। दोनों मामलों में PI नियंत्रक के इनपुट शून्य है, PI नियंत्रक की विशेषताएँ समान हैं लेकिन PI नियंत्रक का आउटपुट अलग-अलग है।
इसलिए, आप समझ सकते हैं, खुला लूप नियंत्रण प्रणाली में प्लांट का आउटपुट बदल जाता है, जबकि बंद लूप नियंत्रण प्रणाली में प्लांट के इनपुट में परिवर्तन होता है।
नियंत्रण प्रणाली की किताबों में आप निम्नलिखित कथन पाएंगे:
“यदि संयंत्र ट्रांसफर फंक्शन के पैरामीटर में परिवर्तन हो, तो बंद लूप नियंत्रण प्रणाली खुले लूप नियंत्रण प्रणाली की तुलना में कम संवेदनशील होती है” (अर्थात बंद लूप नियंत्रण प्रणाली के आउटपुट में खुले लूप नियंत्रण प्रणाली की तुलना में कम परिवर्तन होता है)।
हम उम्मीद करते हैं कि इस लेख में दिए गए उदाहरणों से ऊपर दिया गया कथन अधिक स्पष्ट होगा।
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*प्रिय IEE-Business पाठकों, कृपया ध्यान दें कि इस लेख का उद्देश्य पुस्तकों में उपलब्ध विषयों को पुनरुत्पादित करना नहीं है; बल्कि हमारा लक्ष्य नियंत्रण इंजीनियरिंग के विभिन्न जटिल विषयों को संख्यात्मक उदाहरणों के साथ आसान भाषा में प्रस्तुत करना है। हम उम्मीद करते हैं कि यह लेख आपको स्थिर-अवस्था त्रुटि और PI नियंत्रकों के विभिन्न जटिलताओं को समझने में मददगार साबित होगा।
कथन: वास्तविक को सम्मान दें, अच्छे लेख साझा करने योग्य हैं, यदि उल्लंघन हो तो कृपया हटाने के लिए संपर्क करें।