Error d'estat estacionari: Què és? (Guany d'estat estacionari, Valor i Fórmula)

Camp: Electricitat bàsica

China

Què és l'error d'estat estacionari

L'error d'estat estacionari es defineix com la diferència entre el valor desitjat i el valor real de la sortida d'un sistema en el límit quan el temps tendeix a infinit (és a dir, quan la resposta del sistema de control ha arribat a l'estat estacionari).

L'error d'estat estacionari és una propietat de la resposta d'entrada/sortida per a un sistema lineal. En general, un bon sistema de control serà aquell que tingui un error d'estat estacionari baix.

Primer, discutirem l'error d'estat estacionari en una funció de transferència de primer ordre analitzant-ne la resposta d'estat estacionari. Considerem la funció de transferència següent:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Aquesta és una funció de transferència de primer ordre simple, amb un guany igual a u i una constant de temps de 0,7 segons. Noteu que s'anomena funció de transferència de primer ordre perquè la 's' al denominador té la major potència de '1'. Si fos en lloc d'això $0.7s^2 + 1$ , seria una funció de transferència de segon ordre.

La resposta d'aquesta funció de transferència a una entrada d'estat estacionari es mostra a la Figura-1. Es pot veure que en l'estat estacionari, la sortida és exactament igual a la entrada. Per tant, l'error d'estat estacionari és zero.

Resposta temporal de la Funció de Transferència d'ordre primer davant una entrada d'escala. — Figura-1: És la resposta temporal de la Funció de Transferència d'ordre primer davant una entrada d'escala. Es pot veure que l'error estacionari és zero

La resposta d'aquesta funció a una entrada rampa unitària es mostra a la Figura-2. Es pot veure que en estat estacionari hi ha una diferència entre l'entrada i la sortida. Per tant, per a una entrada rampa unitària, existeix un error estacionari.

Resposta temporal de la Funció de Transferència d'ordre primer davant una entrada rampa. — Figura-2: És la resposta temporal de la Funció de Transferència d'ordre primer davant una entrada rampa. Es pot veure que existeix un error estacionari en aquest cas

Noteu que en molts llibres de sistemes de control podeu trobar que davant una entrada rampa, l'error estacionari d'una funció de transferència d'ordre primer és igual a la constant de temps. Observant la Figura-2 superior, podem veure que això és cert. A t=3 segons, l'entrada és 3 mentre que la sortida és 2,3. Per tant, l'error estacionari és 0,7, que és igual a la constant de temps per a aquesta funció de transferència d'ordre primer.

Si us plau, noteu les següents indicacions importants:

L'error estacionari és el més alt si l'entrada és parabòlica, generalment més baix per a una entrada rampa, i encara més baix per a una entrada d'escala. Com s'ha explicat anteriorment, l'error estacionari és zero davant una entrada d'escala, i 0,7 davant una entrada rampa, i es pot trobar que és ∞ davant una entrada parabòlica.
Cal tenir en compte que l'error estacionari depèn de l'entrada, mentre que la stabilitat no depèn de l'entrada.

Considerem un sistema de control en bucle tancat amb funció de transferència

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

On els símbols tenen el seu significat habitual. La estabilitat del sistema depèn del denominador, és a dir, '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' s'anomena equació característica. Les seves arrels indiquen l'estabilitat del sistema. L'error estacionari depèn de R(s).

En un sistema de control en bucle tancat, el senyal d'error es pot calcular com $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ L'error estacionari es pot trobar com ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , on l'error estacionari és el valor del senyal d'error en estat estacionari. A partir d'això, podem veure que l'error estacionari depèn de R(s).

Com s'ha mencionat anteriorment, la estabilitat depèn del denominador, és a dir, 1 + G(s)H(s). Aquí, '1' és constant, per tant, la estabilitat depèn de G(s)H(s), que és la part de l'equació que pot canviar. Així, podeu entendre el diagrama de Bode, el diagrama de Nyquist es dibuixa amb l'ajuda de G(s)H(s), però indiquen l'estabilitat de $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) s'anomena funció de transferència oberta i $\frac{C(s)}{R(s)}$ s'anomena funció de transferència tancada. A través de l'anàlisi de la funció de transferència oberta, és a dir, G(s)H(s), podem trobar la estabilitat d'una funció de transferència tancada mitjançant el diagrama de Bode i el diagrama de Nyquist.

Exemples d'error en estat estacionari

Error en estat estacionari per a una entrada d'escala unitària

Ara, explicarem l'error en estat estacionari en un sistema de control tancat amb alguns exemples numèrics. Començarem amb un sistema de control amb una entrada d'escala unitària.

Exemple-1:

Considerem el següent sistema de control (sistema-1) tal com es mostra a la Figura-3:

L'entrada de referència 'Rs' és una entrada d'escala unitària.

Els diversos valors en estat estacionari del Sistema-1 es mostren a la Figura-4.

Diagrama de blocs del valor estacionari — Figura-4: Diferents valors estacionaris en un sistema de control

Es pot veure que el valor estacionari del senyal d'error és 0,5, per tant, l'error estacionari és 0,5. Si el sistema és estable i diversos senyals són constants, es poden obtenir diversos valors estacionaris com segueix:

En la funció de transferència quan $s\rightarrow 0$ , obtindreu el guany estacionari de la funció de transferència.

Podeu calcular la sortida com segueix:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Recordant que $R(s)$ = entrada d'escala unitària = $\frac{1}{s}$ , podem reorganitzar-ho així:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

El valor estacionari de la sortida és:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Podem utilitzar el mètode anterior per calcular el valor estacionari de qualsevol senyal. Per exemple:

L'entrada és $R(s)= \frac{1}{s}$ (l'entrada és un pas unitari)

El seu valor estacionari= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

De manera similar, es pot calcular el senyal d'error com:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

El valor estacionari del senyal d'error (és a dir, l'error estacionari) és:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

També es pot veure de la Figura-4 que la diferència entre la entrada i la sortida és 0,5. Per tant, l'error estacionari és 0,5.

Un altre mètode per calcular l'error estacionari implica trobar les constants d'error, com segueix:

Calculeu el coeficient d'error posicional Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , trobareu Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Trobareu la mateixa resposta.

Si l'entrada és una entrada de pas, diguem $R(s)=\frac{3}{s}$ (és una entrada de pas, però no una entrada de pas unitari), llavors l'error estacionari és ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Si l'entrada és una entrada de rampa unitària, llavors calculeu, el coeficient d'error de velocitat Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Si la entrada és una entrada parabòlica unitària, llavors Calculeu, el coeficient d'error d'acceleració Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Amb l'anàlisi de les constants d'error Kp, Kv i Ka, podeu entendre com l'error estacionari depèn de la entrada.

Controlador PI i error estacionari

Un controlador PI (és a dir, un controlador proporcional més un controlador integral) reduïx l'error estacionari (ess), però té un efecte negatiu sobre la estabilitat.

Els controladors PI tenen l'avantatge de reduir l'error estacionari del sistema, mentre que tenen l'inconvenient de reduir la estabilitat del sistema.

Un controlador PI reduix la estabilitat. Això vol dir que disminueix l'amortiment; el sobresalt màxim i el temps de convergència augmenten degut al controlador PI; Les arrels de l'equació característica (polos de la funció de transferència tancada) al costat esquerre es trobaran més properes a l'eix imaginari. L'ordre del sistema també augmenta degut al controlador PI, el que tendeix a reduir la estabilitat.

Considerem dues equacions característiques, una és s3+ s2+ 3s+20=0, l'altra és s2+3s+20=0. Només amb l'observació, podem dir-vos que el sistema relacionat amb la primera equació té una estabilitat inferior en comparació amb la segona equació. Podeu verificar-ho trobant les arrels de l'equació. Així, podeu entendre que les equacions característiques d'ordre superior tenen una estabilitat inferior.

Ara, afegirem un controlador PI (controlador proporcional més integral) al sistema-1 (Figura-3) i examinarem els resultats. Després d'afegir el controlador PI al sistema-1, diversos valors estacionaris es mostren a la Figura-5, Es pot veure que la sortida és exactament igual a la entrada de referència. És l'avantatge del controlador PI, que minimitza l'error estacionari de manera que la sortida intenta seguir la entrada de referència.

PI Controller Block Diagram — Figura-5: En aquest diagrama es pot veure l'efecte del controlador PI

La funció de transferència del controlador PI es pot calcular com $Kp+\frac{Ki}{s}$ o bé $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Una pregunta que es pot fer és si la entrada de qualsevol funció de transferència és zero, llavors la seva sortida també hauria de ser zero. Així doncs, en el cas actual, la entrada al controlador PI és zero, però la sortida del controlador PI és un valor finit (és a dir, 1). Aquesta explicació no es dóna en cap llibre de sistemes de control, per tant, ho explicarem aquí:

(1) L'error estacionari no és exactament zero, tendeix a zero, de manera similar, 's' no és igual a zero, tendeix a zero. Per tant, suposem que en qualsevol instant l'error estacionari és 2x10-3, en el mateix temps 's' (especialment parlem de 's' en el denominador del controlador PI) també és igual a 2x10-3, per tant, la sortida del controlador PI és '1'.

Considerem ara un altre sistema de control mostrat a la Figura-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Figura-6: Un exemple de sistema de control tancat amb un controlador PI

En aquest cas, podem dir, en qualsevol instant, suposem que l'error estacionari és 2x10-3, en el mateix temps 's' és igual a 4×10-3; per tant, la sortida del controlador PI és '0.5'. Això significa que tant 'ess' com 's' tendeixen a zero, però la seva relació és un valor finit.

Als llegeu en els llibres de sistemes de control, mai trobareu s=0 o t=∞; sempre trobareu
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) La segona explicació és que l'error estacionari és zero, 's' també és zero en l'estat estacionari. La funció de transferència del controlador PI és $\frac{Kps+Ki}{s}$ . En els llibres de matemàtiques, trobareu que $\frac{0}{0}$ no està definit, per tant, pot ser qualsevol valor finit (vegeu la Figura-7).

PI Controller — Figura-7: L'entrada a la funció de transferència és zero però la sortida és un valor finit

(3) La tercera explicació és, $\frac{1}{s}$ és un integrador. L'entrada és zero, la integració de zero no està definida. Per tant, la sortida del controlador PI pot ser qualsevol valor finit.

Una diferència bàsica entre el sistema de control en bucle obert i el sistema de control en bucle tancat

En referència a l'explicació anterior, explicarem una diferència bàsica entre un sistema de control en bucle obert i un sistema de control en bucle tancat. Les diferències entre un sistema de control en bucle obert i un sistema de control en bucle tancat, les podeu trobar en qualsevol llibre de sistemes de control*, però aquí es dóna una diferència bàsica relacionada amb l'explicació anterior i esperem que certament serà útil per als lectors.

Un sistema de control en bucle obert es pot representar de la següent manera:

Un sistema de control en bucle tancat (sistema de control amb retroalimentació) es pot representar de la següent manera:

La funció de transferència de la planta és fixa (la funció de transferència de la planta pot canviar automàticament degut a canvis ambientals, pertorbacions, etc.). En totes les nostres discussions, hem assumit H(s)=1; Un operador pot controlar la funció de transferència del controlador (és a dir, els paràmetres del controlador com Kp, Kd, Ki) etc.

El controlador pot ser un controlador proporcional (controlador P), controlador PI, controlador PD, controlador PID, controlador de lògica difusa, etc. Hi ha dos objectius d'un controlador (i) Mantenir la estabilitat, és a dir, l'amortigament hauria de ser al voltant de 0,7-0,9, el sobrassalt màxim i el temps de reglamentació haurien de ser baixos (ii) L'error estacionari hauria de ser mínim (hauria de ser zero).

Però si intentem augmentar l'amortigament, l'error estacionari pot augmentar. Per tant, el disseny del controlador hauria de ser tal que tant la estabilitat com l'error estacionari estiguin sota control. El disseny òptim del controlador és un ampli tema de recerca.

Com s'ha escrit anteriorment, el controlador PI redueix dràsticament l'error estacionari (ess), però té un efecte negatiu sobre la estabilitat.

Ara, explicarem una diferència bàsica entre el sistema de control en bucle obert i el sistema de control en bucle tancat, que està relacionada amb l'explicació anterior.

Considerem la Figura-10; és un sistema de control en bucle obert.

Suposem que l'entrada és una entrada d'escala unitària. Així, el valor estacionari de l'entrada és '1'. Es pot calcular que el valor estacionari de la sortida és '2'. Suposem que hi ha un canvi en la funció de transferència [G(s)] de la planta per qualsevol raó, quin serà l'efecte a l'entrada i la sortida? La resposta és que l'entrada a la planta no canviarà, la sortida de la planta canviarà.

Ara considerem les Figures-11 i 12

Figura-12: Sistema en bucle tancat, la sortida de la planta és la mateixa però l'entrada de la planta ha canviat degut al canvi en la funció de transferència

Ambdós són sistemes de control en bucle tancat. En la Figura-11, suposem que hi ha un canvi en la funció de transferència de la planta per qualsevol raó, quin serà l'efecte a l'entrada i la sortida? En aquest cas, l'entrada a la planta canviarà, la sortida de la planta romandrà inalterada. La sortida de la planta intenta seguir l'entrada de referència.

La Figura-12 mostra les noves condicions, en què els paràmetres de la planta han canviat. Pots veure que l'entrada de la planta ha canviat de 0,5 a 0,476, mentre que la sortida no ha canviat. En ambdós casos, l'entrada al controlador PI és zero, les especificacions del controlador PI són les mateixes, però la sortida del controlador PI és diferent.

Així, pots entendre que, en el sistema de control en bucle obert, la sortida de la planta canvia, mentre que en el sistema de control en bucle tancat, l'entrada a la planta canvia.

En els llibres de sistemes de control, pots trobar la següent afirmació:

"En cas de variació dels paràmetres de la funció de transferència de la planta, el sistema de control en bucle tancat és menys sensible en comparació amb el sistema de control en bucle obert" (és a dir, la variació de la sortida del sistema de control en bucle tancat és menor en comparació amb el sistema de control en bucle obert).

Esperem que la declaració anterior es pugui entendre millor amb els exemples proporcionats en aquest article.

___________________________________________________________________

*Estimats lectors d'Electrical4U, si us plau, tingueu en compte que el propòsit d'aquest article no és reproduir els temes ja disponibles en llibres; sinó que el nostre objectiu és presentar diversos temes complexos de l'Enginyeria de Control en llenguatge fàcil amb exemples numèrics. Esperem que aquest article us sigui útil per entendre diverses complexitats sobre l'error estacionari i els controladors PI.

Declaració: Respecta l'original, els bons articles meriteixen ser compartits, si hi ha infracció de drets d'autor contacteu per eliminar-lo.

Dona una propina i anima l'autor

Temes:

Sistemes elèctrics

Sistemes de control

Sobre experts

Electrical4u

China