Staatfout: Wat is het? (Staategain, Waarde & Formule)

Veld: Basis Elektrotechniek

China

Wat is Statische Fout

Wat is Statische Fout?

Statische fout wordt gedefinieerd als het verschil tussen de gewenste waarde en de werkelijke waarde van de systeemuitvoer in de limiet als de tijd naar oneindig gaat (d.w.z. wanneer de respons van het regelsysteem de statische toestand heeft bereikt).

Statische fout is een eigenschap van de ingang/uitgangsrespons voor een lineair systeem. In het algemeen zal een goed regelsysteem een laag statisch foutniveau hebben.

Eerst zullen we de statische fout in een overdrachtsfunctie van de eerste orde bespreken door de statische respons te analyseren. Laten we de volgende overdrachtsfunctie beschouwen:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Dit is een eenvoudige overdrachtsfunctie van de eerste orde, met een versterking gelijk aan één en een tijdsconstante van 0,7 seconden. Merk op dat het bekend staat als een overdrachtsfunctie van de eerste orde omdat de 's' in de noemer de hoogste macht van '1' heeft. Als het in plaats daarvan $0.7s^2 + 1$ was, zou het een overdrachtsfunctie van de tweede orde zijn.

De respons van deze overdrachtsfunctie op een statische invoer is weergegeven in figuur-1. Het kan worden gezien dat in de statische toestand, de uitvoer precies gelijk is aan de invoer. Daarom is de statische fout nul.

Tijdsrespons van Eerste orde Overdrachtsfunctie tegenover stap Invoer. — Figuur-1: Dit is de tijdsrespons van de Eerste orde Overdrachtsfunctie tegenover stap Invoer. Het kan worden gezien dat de steady-state fout nul is

De respons van deze functie op een eenheidsrampinvoer wordt weergegeven in Figuur-2. Het kan worden gezien dat er in de steady-state een verschil bestaat tussen invoer en uitvoer. Daarom bestaat er voor een eenheidsrampinvoer een steady-state fout.

Tijdsrespons van Eerste orde Overdrachtsfunctie tegenover Ramp Invoer. — Figuur-2: Dit is de tijdsrespons van de Eerste orde Overdrachtsfunctie tegenover ramp Invoer. Het kan worden gezien dat er in dit geval een steady-state fout bestaat

Let op dat in veel boeken over regelsystemen te vinden is dat de steady-state fout van een eerste-orde overdrachtsfunctie bij een rampinvoer gelijk is aan de tydconstante. Uit het observeren van Figuur-2 hierboven kunnen we zien dat dit waar is. Op t=3 seconden is de invoer 3 terwijl de uitvoer 2,3 is. Dus de steady-state fout is 0,7, wat gelijk is aan de tydconstante voor deze eerste-orde overdrachtsfunctie.

Let op de volgende belangrijke tips:

De steady-state fout is het grootst als de invoer parabolisch is, meestal lager bij een rampinvoer, en nog lager bij een stapinvoer. Zoals in de bovenstaande uitleg, is de steady-state fout nul bij stapinvoer, en 0,7 bij rampinvoer, en kan worden gevonden dat hij ∞ is bij parabolische invoer.
Het moet worden opgemerkt dat de steady-state fout afhankelijk is van de invoer, terwijl stabiliteit niet afhankelijk is van de invoer.

Laten we een gesloten lus regelsysteem met overdrachtsfunctie beschouwen

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Waarbij de symbolen hun gebruikelijke betekenis hebben. De stabiliteit van het systeem hangt af van de noemer, d.w.z. '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' wordt de karakteristieke vergelijking genoemd. De wortels ervan geven aan of het systeem stabiel is. De stationaire fout hangt af van R(s).

In een gesloten lus regelsysteem kan het foutsignaal worden berekend als $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ De stationaire fout kan worden gevonden als ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , waarbij de stationaire fout de waarde van het foutsignaal in stationaire toestand is. Hieruit kunnen we zien dat de stationaire fout afhankelijk is van R(s).

Zoals hierboven vermeld, hangt de stabiliteit af van de noemer, d.w.z. 1 + G(s)H(s). Hierbij is '1' constant, dus de stabiliteit hangt af van G(s)H(s), wat het deel van de vergelijking is dat kan veranderen. Dus, je kunt begrijpen dat de Bode plot, Nyquist plot wordt getekend met behulp van G(s)H(s), maar ze geven de stabiliteit aan van $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) wordt een openlusoverdrachtsfunctie genoemd en $\frac{C(s)}{R(s)}$ wordt een geslotenlusoverdrachtsfunctie genoemd. Door de analyse van de openlusoverdrachtsfunctie, d.w.z. G(s)H(s), kunnen we de stabiliteit van een geslotenlusoverdrachtsfunctie door middel van een Bode-diagram en Nyquist-diagram bepalen.

Voorbeelden van stationaire fout

Standaardfout voor een eenheidsstap-ingang

Nu zullen we, met behulp van enkele numerieke voorbeelden, de standaardfout in een geslotenlusregelsysteem uitleggen. We beginnen met een regelsysteem met een eenheidsstap-ingang.

Voorbeeld-1:

Overweeg het volgende regelsysteem (systeem-1) zoals getoond in Figuur-3:

Closed Loop Control System — Figuur-3: Geslotenlusregelsysteem

Referentie-ingang ‘Rs’ is een eenheidsstap-ingang.

De verschillende standaardwaarden van Systeem-1 worden getoond in Figuur-4.

Steady State Value Block Diagram — Figuur-4: Verschillende Statische Waarden in een Regelstelsel

Het kan worden waargenomen dat de statische waarde van het foutsignaal 0,5 is, dus de statische fout is 0,5. Als het systeem stabiel is en de verschillende signalen constant zijn, kunnen de volgende statische waarden worden verkregen:

In de overdrachtsfunctie als $s\rightarrow 0$ , krijg je de statische versterking van de overdrachtsfunctie.

Je kunt de uitvoer als volgt berekenen:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Met in gedachten dat $R(s)$ = eenheidsstap-ingang = $\frac{1}{s}$ , kunnen we dit herschikken tot:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

De stationaire waarde van de uitvoer is:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

We kunnen deze methode gebruiken om de stationaire waarde van elk signaal te berekenen. Bijvoorbeeld:

Invoer is $R(s)= \frac{1}{s}$ (invoer is eenheidsstap invoer)

De stationaire waarde ervan is $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Op dezelfde manier kan het foute signaal worden berekend als:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

De stationaire waarde van het fouteken (d.w.z. de stationaire fout) is:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Uit figuur 4 kan ook worden afgeleid dat het verschil tussen de invoer en uitvoer 0,5 is. Dus de stationaire fout is 0,5.

Een andere methode om de stationaire fout te berekenen, is door de foutconstanten te bepalen, als volgt:

Bereken de positie foutcoëfficiënt Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , U zult vinden dat Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . U zult hetzelfde antwoord vinden.

Als de invoer een stap invoer is, bijvoorbeeld $R(s)=\frac{3}{s}$ (het is een stap invoer, maar geen eenheidstap invoer), dan is de stationaire fout ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Als de invoer een eenheidsrampinvoer is, bereken dan de snelheidsfoutcoëfficiënt Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Als de invoer een eenheidsparabolische invoer is, dan bereken je de versnellingseffectcoëfficiënt Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Door de analyse van de foutconstanten Kp, Kv en Ka kun je begrijpen hoe de stabiele toestandfout afhankelijk is van de invoer.

PI-regelaar en stabiele toestandfout

Een PI-regelaar (dat wil zeggen, een proportionele regelaar plus integrale regelaar) vermindert de stabiele toestandfout (ess), maar heeft een negatief effect op de stabiliteit.

PI-regelaars hebben het voordeel dat ze de stabiele toestandfout van een systeem verminderen, terwijl ze het nadeel hebben dat ze de stabiliteit van het systeem verminderen.

Een PI-regelaar vermindert de stabiliteit. Dit betekent dat de demping afneemt; piekoverschot en instelingsduur nemen toe door de PI-regelaar; Wortels van de karakteristieke vergelijking (polen van de geslotenlusoverdrachtsfunctie) aan de linkerkant komen dichter bij de imaginaire as. De orde van het systeem neemt ook toe door de PI-regelaar, wat de stabiliteit neigt te verminderen.

Overweeg twee karakteristieke vergelijkingen, één is s3+ s2+ 3s+20=0, de andere is s2+3s+20=0. Alleen al door observatie kunnen we je vertellen dat het systeem dat bij de eerste vergelijking hoort, een lagere stabiliteit heeft in vergelijking met de tweede vergelijking. Je kunt dit controleren door de wortels van de vergelijking te vinden. Dus, je kunt begrijpen dat hogere orde karakteristieke vergelijkingen een lagere stabiliteit hebben.

Nu voegen we één PI-regelaar (Proportionele Plus Integrale regelaar) toe aan systeem-1 (Figuur-3) en onderzoeken de resultaten. Na het invoegen van de PI-regelaar in systeem-1, worden verschillende stabiele toestandswaarden getoond in Figuur-5, waaruit blijkt dat de uitvoer precies gelijk is aan de referentie-invoer. Het is een voordeel van de PI-regelaar dat deze de stabiele toestandfout minimaliseert, zodat de uitvoer de referentie-invoer probeert te volgen.

PI Controller Block Diagram — Figuur-5: Het effect van de PI-regelaar is te zien in deze diagram

De overdrachtsfunctie van de PI-regelaar kan worden berekend als $Kp+\frac{Ki}{s}$ of $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Een vraag die gesteld kan worden is dat als de invoer van elke overdrachtsfunctie nul is, dan zou de uitvoer ook nul moeten zijn. Dus, in het huidige geval is de invoer voor de PI-regelaar nul, maar de uitvoer van de PI-regelaar is een eindige waarde (d.w.z. 1). Deze uitleg wordt niet gegeven in enig boek over regelsystemen, dus we zullen het hier uitleggen:

(1) De stationaire fout is niet exact nul, het nadert naar nul, evenzo is 's' niet gelijk aan nul, het nadert naar nul. Dus stel op enig moment dat de stationaire fout 2x10-3 is, terwijl 's' (specifiek in de noemer van de PI-regelaar) ook gelijk is aan 2x10-3, waardoor de uitvoer van de PI-regelaar '1' is.

Laten we nog een regelsysteem bekijken, zoals weergegeven in Figuur-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Figuur-6: Een voorbeeld van een gesloten lus regelsysteem met PI-regelaar

In dit geval kunnen we zeggen, op enig moment, stel dat de stationaire fout 2x10-3 is, terwijl 's' gelijk is aan 4×10-3; dus de uitvoer van de PI-regelaar is '0.5'. Dit betekent dat zowel 'ess' als 's' beide naar nul neigen, maar hun verhouding is een eindige waarde.

In de boeken over besturingssystemen zul je nooit s=0 of t=∞ vinden; je zult altijd $s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) De tweede uitleg is dat de statische fout nul is, 's' is ook nul in de stabiele toestand. De overdrachtsfunctie van een PI-regelaar is $\frac{Kps+Ki}{s}$ . In de boeken over wiskunde zul je vinden dat $\frac{0}{0}$ ongedefinieerd is, dus het kan elke eindige waarde zijn (zie figuur-7).

PI Controller — Figuur-7: Input naar de overdrachtsfunctie is nul, maar de output is een eindige waarde

(3) De derde uitleg is, $\frac{1}{s}$ is een integrator. De input is nul, de integratie van nul is ongedefinieerd. Dus de output van de PI-regelaar kan elke eindige waarde zijn.

Een basisverschil tussen een open-loop besturingssysteem en een gesloten-lus besturingssysteem

Met betrekking tot de bovenstaande uitleg, zullen we een basisverschil tussen een open-loop besturingssysteem en een gesloten-lus besturingssysteem uitleggen. Verschillen tussen open-loop besturingssystemen en gesloten-lus besturingssystemen, kun je in elk boek over besturingssystemen* vinden, maar één basisverschil dat verband houdt met de bovenstaande uitleg wordt hier gegeven en we hopen zeker dat het nuttig zal zijn voor de lezers.

Een open-loop besturingssysteem kan als volgt worden weergegeven:

Open Loop Control System — Figuur-8: Dit is een diagram van een standaard open lus regelsysteem

Een gesloten lus regelsysteem (feedback regelsysteem) kan als volgt worden weergegeven:

De overdrachtsfunctie van de installatie is vast (de overdrachtsfunctie van de installatie kan automatisch veranderen door omgevingsveranderingen, storingen, enz.). In al onze discussies hebben we H(s)=1 aangenomen; Een operator kan de overdrachtsfunctie van de regelaar beheren (d.w.z. parameter van de regelaar zoals Kp, Kd, Ki) enz.

De regelaar kan een proportionele regelaar (P-regelaar) zijn, PI-regelaar, PD-regelaar, PID-regelaar, Fuzzy logic regelaar enz. Er zijn twee doelen van een regelaar (i) Stabiliteit handhaven, d.w.z. demping moet rond 0,7-0,9 zijn, piekoverschot en instel tijd moeten laag zijn (ii) De stationaire fout moet minimaal zijn (het zou nul moeten zijn).

Maar als we proberen de demping te verhogen, dan kan de stationaire fout toenemen. Daarom moet de regelaar zo ontworpen zijn dat zowel (stabiliteit & stationaire fout) binnen de controle blijven. Het optimale ontwerp van de regelaar is een uitgebreid onderzoeksgebied.

Het is eerder geschreven, een PI-regelaar vermindert de stationaire fout (ess) drastisch, maar heeft een negatief effect op de stabiliteit.

Nu zullen we één basisverschil uitleggen tussen een open lus regelsysteem & gesloten lus regelsysteem, wat gerelateerd is aan bovenstaande uitleg.

Bekijk Figuur-10; het is een open lus regelsysteem.

Laat de invoer een eenheidstapinvoer zijn. Dus, de stabiele toestand van de invoer is '1'. Het kan worden berekend dat de stabiele toestand van de uitvoer '2' is. Stel dat er een verandering optreedt in de overdrachtsfunctie [G(s)] van de installatie om welke reden dan ook, wat zal het effect zijn op de invoer en uitvoer? Het antwoord is dat de invoer naar de installatie niet zal veranderen, de uitvoer van de installatie zal wel veranderen.

Overweeg nu Figuur-11 &12

Closed loop system — Figuur-12: Gesloten lus systeem, de uitvoer van de installatie is hetzelfde, maar de invoer van de installatie is veranderd door wijziging in de overdrachtsfunctie

Beide zijn gesloten lus regelsystemen. In figuur-11, stel dat er een verandering optreedt in de overdrachtsfunctie van de installatie om welke reden dan ook, wat zal het effect zijn op de invoer en uitvoer? In dit geval zal de invoer naar de installatie veranderen, de uitvoer van de installatie zal onveranderd blijven. De uitvoer van de installatie probeert de referentie-invoer te volgen.

Figuur-12 toont de nieuwe omstandigheden, waarbij de parameters van de installatie zijn gewijzigd. Je kunt zien dat de invoer van de installatie is veranderd van 0,5 naar 0,476, terwijl de uitvoer niet is veranderd. In beide gevallen is de invoer voor de PI-regelaar nul, de specificaties van de PI-regelaar zijn hetzelfde, maar de uitvoer van de PI-regelaar is verschillend.

Dus je kunt begrijpen, in het open lus regelsysteem verandert de uitvoer van de installatie, terwijl in het gesloten lus regelsysteem de invoer naar de installatie verandert.

In de boeken over regelsystemen vind je de volgende uitspraak:

"Bij variatie van de parameters van de overdrachtsfunctie van de installatie is het gesloten lus regelsysteem minder gevoelig dan een open lus regelsysteem" (d.w.z. de variatie in de uitvoer van het gesloten lus regelsysteem is kleiner vergeleken met het open lus regelsysteem).

We hopen dat bovenstaande uitspraak duidelijker wordt met de voorbeelden die in dit artikel worden gegeven.

___________________________________________________________________

*Beste lezers van Electrical4U, let op dat het doel van dit artikel niet is om onderwerpen te reproduceren die al in boeken beschikbaar zijn; maar ons doel is om diverse complexe onderwerpen van Regeltechniek in eenvoudige taal met numerieke voorbeelden te presenteren. We hopen dat dit artikel u zal helpen bij het begrijpen van de verschillende complexiteiten rondom de statische fout en PI-regelaars.

Verklaring: Respecteer het oorspronkelijke, goede artikelen zijn de moede gedeeld, indien er een inbreuk is neem contact op voor verwijdering.

Geef een fooi en moedig de auteur aan

Onderwerpen:

Energiesystemen

Besturingssystemen

Over experts

Electrical4u

China

Expertisegebied

Basic Electrical

Professioneel artikel

607