Durağan Durum Hatası: Nedir? (Durağan Durum Kazancı Değer ve Formülü)

Alan: Temel Elektrik

China

Durağan Durum Hatası Nedir

Durağan Durum Hatası Nedir?

Durağan durum hatası bir sistemin çıktı değeri ile istenen değer arasındaki fark olarak tanımlanır ve bu fark zamanın sonsuzluğa gittiği sınırlarda (yani kontrol sisteminin yanıtı durağan duruma ulaştığında) hesaplanır.

Durağan durum hatası doğrusal bir sistemin giriş/çıkış tepkisine ait bir özelliktir. Genel olarak, iyi bir kontrol sistemi düşük durağan durum hatasına sahip olmalıdır.

Öncelikle, birinci derece aktarım fonksiyonunda durağan durum hatasını onun durağan durum tepkisi analiz ederek tartışacağız. Aşağıdaki aktarım fonksiyonunu ele alalım:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Bu basit bir birinci derece aktarım fonksiyonudur, kazancı bir ve zaman sabiti 0.7 saniye olan bir fonksiyondur. 'S' paydasındaki en yüksek kuvveti '1' olduğu için birinci derece aktarım fonksiyonu olarak bilinir. Eğer bunun yerine $0.7s^2 + 1$ olsaydı, ikinci derece aktarım fonksiyonu olacaktı.

Bu aktarım fonksiyonunun durağan durum girdiye tepkisi Şekil-1'de gösterilmiştir. Durağan durumda, çıkış tam olarak girişe eşit olduğundan durağan durum hatası sıfırdır.

Birinci derece aktarım fonksiyonunun adım girişine karşı zaman yanıtı. — Şekil-1: Birinci derece aktarım fonksiyonunun adım girişine karşı zaman yanıtıdır. Durağan hata sıfır olduğu görülebilir.

Bu fonksiyonun birim rampa girişine olan tepkisi Şekil-2'de gösterilmiştir. Durağan halde giriş ve çıkış arasında bir fark olduğu görülebilir. Bu nedenle, birim rampa girişinde durağan hata mevcuttur.

Birinci derece aktarım fonksiyonunun rampa girişine karşı zaman yanıtı. — Şekil-2: Birinci derece aktarım fonksiyonunun rampa girişine karşı zaman yanıtıdır. Bu durumda durağan hata mevcut olduğu görülebilir.

Çoğu kontrol sistem kitaplarında, rampa girişine karşı birinci derece aktarım fonksiyonunun durağan hata değerinin zaman sabitine eşit olduğunu bulabilirsiniz. Yukarıdaki Şekil-2'yi incelediğimizde bu doğruluğun görüldüğünü görebiliriz. t=3 saniyede, giriş 3 iken çıkış 2.3'tür. Bu nedenle, durağan hata 0.7'dir, ki bu birinci derece aktarım fonksiyonunun zaman sabitiyle eşittir.

Aşağıdaki önemli ipuçlarını unutmayın:

Giriş parabolik olduğunda durağan hata en yüksek seviyededir, rampa girişinde genellikle daha düşük olur ve adım girişinde daha da düşüktür. Yukarıdaki açıklamada, adım girişine karşı durağan hata sıfır, rampa girişine karşı 0.7 ve parabolik girişte ∞ olduğu görülebilir.
Durağan hata, girişe bağlı olarak değişir, ancak istikrarlılık girişe bağlı değildir.

Kapalı döngü kontrol sisteminin aktarım fonksiyonunu düşünelim

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Sembollerin normal anlamları vardır. Sistemin istikrarlı olması paydada yani ‘1+G(s)H(s)’ de bağlıdır. ‘1+G(s)H(s) = 0’ ifadesi karakteristik denklem olarak adlandırılır. Kökleri sistemin istikrarını gösterir. Durağan hata R(s) değerine bağlıdır.

Kapalı döngü kontrol sistemlerinde hata sinyali $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ şeklinde hesaplanabilir. Durağan hata ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ şeklindedir, burada durağan hata, hata sinyalinin durağan haldeki değeri demektir. Bu ifadeye göre durağan hata R(s) değerine bağlıdır.

Yukarıda belirtildiği gibi, istikrar payda yani 1 + G(s)H(s) ile ilişkilidir. Burada ‘1’ sabit bir değer olduğundan, istikrar G(s)H(s) üzerinde bağlıdır, bu da denklemde değişebilecek olan kısım olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, Bode grafiği, Nyquist grafiği, G(s)H(s) yardımıyla çizilir, ancak bunlar $\frac{C(s)}{R(s)}$ nin istikrarını gösterir.
G(s)H(s) bir açık döngü transfer fonksiyonu olarak adlandırılır ve $\frac{C(s)}{R(s)}$ kapalı döngü transfer fonksiyonu olarak adlandırılır. Açık döngü transfer fonksiyonu yani G(s)H(s) analiz edilerek, Bode grafiği ve Nyquist grafiği aracılığıyla kapalı döngü transfer fonksiyonunun kararlılığı bulunabilir.

Sabit Durum Hata Örnekleri

Birim Adım Giriş için Sabit Durum Hatası

Şimdi, birkaç sayısal örnek ile kapalı döngü kontrol sistemlerindeki sabit durum hatasını açıklayacağız. Birim adım girişine sahip bir kontrol sistemiyle başlayacağız.

Örnek-1:

Şekil-3'te gösterildiği gibi aşağıdaki kontrol sistemini (sistem-1) ele alalım:

Referans girişi ‘Rs’ birim adım girişidir.

Sistem-1'in çeşitli sabit durum değerleri Şekil-4'te gösterilmiştir.

Durağan Hal Değerleri Blok Diyagramı — Şekil-4: Bir Kontrol Sistemindeki Çeşitli Durağan Hal Değerleri

Hata sinyalinin durağan hal değeri 0.5 olduğu görülebilir, bu nedenle durağan hata 0.5'tir. Eğer sistem kararlı ve çeşitli sinyaller sabitse, aşağıdaki gibi çeşitli durağan hal değerleri elde edilebilir:

Transfer fonksiyonunda $s\rightarrow 0$ olarak, transfer fonksiyonunun durağan hal kazancını elde edersiniz.

Çıkışı aşağıdaki gibi hesaplayabilirsiniz:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Birim adım girişi $R(s)$ = $\frac{1}{s}$ olduğunu hatırlayarak, bunu şu şekilde yeniden düzenleyebiliriz:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Çıktının durağan değerini şu şekilde ifade edebiliriz:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Bu yöntemi herhangi bir sinyalin durağan değerinin hesaplanmasında kullanabiliriz. Örneğin:

Giriş $R(s)= \frac{1}{s}$ (Giriş birim adım girişidir)

Durağan değeri= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Benzer şekilde, hata sinyali şu şekilde hesaplanabilir:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Hata sinyalinin durağan durum değeri (yani durağan durum hatası):

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Ayrıca, Şekil-4'ten girdi ve çıkış arasındaki farkın 0.5 olduğunu görebiliriz. Bu nedenle durağan durum hatası 0.5'tir.

Durağan durum hatasını hesaplamak için başka bir yöntem de hata sabitlerini bulmaktır, şu şekilde:

Pozisyon hata katsayısı Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Aynı cevabı bulacaksınız.

Eğer girdi adım girdisi ise, diyelim ki $R(s)=\frac{3}{s}$ (bu bir adım girdisi, ancak birim adım girdisi değildir), o zaman durağan durum hatası ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Eğer girdi birim rampa girdisi ise, Hız hata katsayısı Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Eğer giriş birim parabolik giriş ise, Hızlanma hata katsayısı Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Hata sabitleri Kp, Kv ve Ka analizi ile, durağan hata durumunun girdiye nasıl bağlı olduğunu anlayabilirsiniz.

PI Kontrolörü ve Durağan Hata Durumu

Bir PI kontrolörü (yani bir oransal kontrolör ve entegral kontrolör) durağan hata (ess) değerini azaltır, ancak istikrar üzerinde olumsuz bir etkiye sahiptir.

PI kontrolörleri, sistemin durağan hata değerini azaltma avantajına sahipken, sistemin istikrarını azaltma dezavantajına da sahiptir.

Bir PI kontrolörü, istikrarı azaltır. Bu, sönümün azalması; zirve aşımı ve ayarlanma süresinin artması anlamına gelir. Karakteristik denklemin kökleri (kapalı çevrim aktarım fonksiyonunun kutupları), sol tarafta daha yakın hayali eksenin yanına gelir. Sistem sırası da PI kontrolörü nedeniyle artar, bu da istikrara olumsuz etki eder.

İki karakteristik denklemi düşünün, biri s3+ s2+ 3s+20=0, diğeride s2+3s+20=0. Sadece gözlemle bile, ilk denklemle ilgili sistem ikinci denklemle kıyaslandığında daha düşük istikrara sahip olduğunu söyleyebiliriz. Denklemlerin köklerini bularak bunu doğrulayabilirsiniz. Yani, daha yüksek mertebedeki karakteristik denklemlerin daha düşük istikrara sahip olduğunu anlayabilirsiniz.

Şimdi, sisteme-1 (Şekil-3) bir PI kontrolörü (Oransal Plus Entegral kontrolörü) ekleyeceğiz ve sonuçları inceleyeceğiz. PI kontrolörü sisteme-1'ye eklenmesinden sonra, çeşitli durağan hata değerleri Şekil-5'te gösterilmiştir. Çıkışın referans girdiye tam olarak eşit olduğu görülebilir. Bu, PI kontrolörünün durağan hata değerini minimize ederek çıkışın referans girdiyi takip etmeye çalıştığı avantajıdır.

PI Controller Block Diagram — Şekil-5: PI Kontrolörünün Etkisi Bu Şemada Gözlemlenebilir

PI kontrolörünün aktarım fonksiyonu şu şekilde hesaplanabilir $Kp+\frac{Ki}{s}$ veya $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Bir soru sorulabilir: Eğer herhangi bir aktarım fonksiyonunun girişi sıfır ise, çıkışı da sıfır olmalı. Bu durumda, PI kontrolörünün girişi sıfır, ancak PI kontrolörünün çıkışı sonlu bir değerdir (yani 1). Bu açıklama hiçbir kontrol sistem kitabı tarafından verilmemiştir, bu yüzden burada açıklayacağız:

(1) Durağan hata tam olarak sıfır değil, sıfıra yaklaşır, benzer şekilde 's' de sıfıra yaklaşır, sıfır değildir. Örneğin, herhangi bir anda durağan hata 2×10-3 olsun, aynı zamanda 's' (özellikle PI kontrolörünün paydasındaki 's') de 2×10-3 olsun, bu durumda PI kontrolörünün çıkışı '1' olur.

Şimdi Şekil-6'da gösterilen başka bir kontrol sistemi düşünelim:

Closed Loop Control System with PI Controller — Şekil-6: PI Kontrolörü ile Kapalı Döngü Kontrol Sistemi Örneği

Bu durumda, herhangi bir anda, durağan hata 2×10-3 olsun, aynı zamanda 's' 4×10-3 olsun; bu durumda PI kontrolörünün çıkışı '0.5' olur. Yani hem 'ess' hem de 's' sıfıra yaklaşıyor, ancak oranı sonlu bir değerdir.

Kontrol sistemi kitaplarında s=0 veya t=∞ ifadelerini asla bulamazsınız; her zaman şunu göreceksiniz
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) İkinci açıklama, durağan hata sıfır olduğunda, 's' de durağan halde sıfırdır. PI kontrolcünün aktarım fonksiyonu $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Matematik kitaplarında, $\frac{0}{0}$ tanımsız olduğu için, bu herhangi bir sonlu değer olabilir (Bakınız Şekil-7).

PI Controller — Şekil-7: Aktarım Fonksiyonuna Girdi Sıfır Ama Çıktı Sonlu Bir Değer

(3) Üçüncü açıklama, $\frac{1}{s}$ bir entegre edici olduğunu belirtir. Girdi sıfır olduğunda, sıfırın entegrasyonu tanımsızdır. Bu nedenle, PI kontrolörünün çıktısı herhangi bir sonlu değer olabilir.

Açık döngü kontrol sistemi ve kapalı döngü kontrol sistemi arasındaki temel fark

Yukarıdaki açıklamaya dayanarak, açık döngü kontrol sistemi ve kapalı döngü kontrol sistemi arasındaki temel farkı açıklayacağız. Açık döngü kontrol sistemi ve kapalı döngü kontrol sistemi arasındaki farklılıkları herhangi bir kontrol sistemleri kitabı*nda bulabilirsiniz, ancak yukarıdaki açıklamayla ilgili temel fark burada verilmiştir ve okuyucular için kesinlikle faydalı olacağını umuyoruz.

Açık döngü kontrol sistemi şu şekilde gösterilebilir:

Şekil-8: Standart Açık Döngülü Kontrol Sisteminin Şemasıdır

Kapalı döngülü kontrol sistemi (geribildirimli kontrol sistemi) şu şekilde temsil edilebilir:

Sistem transfer fonksiyonu sabittir (sistem transfer fonksiyonu çevresel değişimler, pertürbasyonlar vb. nedeniyle otomatik olarak değişebilir). Tüm tartışmalarımızda H(s)=1 olduğunu varsaymışızdır; bir operatör kontrolcünün transfer fonksiyonunu (yani Kp, Kd, Ki) gibi parametrelerini kontrol edebilir.

Kontrolçüler orantılı kontrolçü (P kontrolçüsü), PI kontrolçüsü, PD kontrolçüsü, PID kontrolçüsü, bulanık mantık kontrolçüsü olabilir. Bir kontrolçünün iki amacı vardır: (i) istikrarlı olmayı sağlamak, yani sönümleme 0.7-0.9 civarında, zirve aşırı yükseklik ve yerleşme süresi düşük olmalı (ii) durağan hata en aza indirilmeli (sıfır olması gerekir).

Ancak, sönümlemeyi artırmaya çalışırsak, durağan hata artabilir. Bu nedenle, kontrolçünün tasarımı her iki özelliğin (istikrar ve durağan hata) kontrol altında kalacak şekilde yapılmalıdır. Optimal kontrolçü tasarımı geniş bir araştırma konusudur.

Daha önce belirtildiği gibi, PI kontrolçüsü durağan hata (ess) değerini büyük ölçüde azaltır, ancak istikrara olumsuz etkileri vardır.

Şimdi, açık döngülü kontrol sistemi ile kapalı döngülü kontrol sistemi arasındaki temel bir farkı açıklamak istiyoruz, bu yukarıdaki açıklamayla ilgilidir.

Şekil-10'ı inceleyelim; bu bir açık döngülü kontrol sistemidir.

Şekil-10: Bir Açık Döngü Kontrol Sistemi

Girişin birim adım giriş olduğunu varsayalım. Bu nedenle, girişin durağan değeri '1' olur. Çıkışın durağan değeri '2' olduğu hesaplanabilir. Herhangi bir nedenle tesisin aktarım fonksiyonu [G(s)]'de bir değişiklik olduğunda, bu değişikliğin giriş ve çıkış üzerindeki etkisi nedir? Cevap, tesebin girişi değişmeyecek, tesebin çıkışı değişecektir.

Şimdi Şekil-11 ve 12'ye bakalım

Kapalı döngü sistemi — Şekil-12: Kapalı Döngü Sistemi, Tesis çıkışı aynı kalırken tesis girişi aktarım fonksiyonundaki değişikliğe bağlı olarak değişmiştir

Her ikisi de kapalı döngü kontrol sistemleridir. Şekil-11'de, herhangi bir nedenle tesisin aktarım fonksiyonunda bir değişiklik olduğunda, bu değişikliğin giriş ve çıkış üzerindeki etkisi nedir? Bu durumda, tesebin girişi değişecektir, tesebin çıkışı değişmeyecektir. Tesis çıkışı, referans girdiyi takip etmeye çalışır.

Şekil-12, tesis parametrelerindeki yeni değişiklikleri göstermektedir. Tesis girişi 0.5'ten 0.476'ya değiştiği görülebilirken, çıkış değişmemiştir. Her iki durumda da PI denetleyicisine giren sinyal sıfırdır, PI denetleyicisinin özellikleri aynıdır ancak PI denetleyicisinin çıkışı farklıdır.

Böylece, açık döngü kontrol sistemlerinde tesis çıkışı değişirken, kapalı döngü kontrol sistemlerinde tesis girişi değiştiğini anlayabilirsiniz.

Kontrol sistemleri kitaplarında aşağıdaki ifadeyi bulabilirsiniz:

"Bitki transfer fonksiyonunun parametre değişikliği durumunda, kapalı döngü kontrol sistemi açık döngü kontrol sistemine kıyasla daha az hassastır" (yani, kapalı döngü kontrol sisteminin çıkışı, açık döngü kontrol sisteminin çıkışına göre daha az değişir).

Üstteki ifadenin bu makalede verilen örneklerle daha anlaşılır olması umulur.

___________________________________________________________________

*Sayın Electrical4U okuyucuları, bu makalenin amacı kitaplarda zaten mevcut olan konuları tekrar üretmek değil; amaçımız, Kontrol Mühendisliği'nin çeşitli karmaşık konularını sayısal örneklerle basit bir dilde sunmaktır. Umarız ki bu makale, sizin için sürekli hata ve PI kontrolörleri hakkında çeşitli karmaşıklıkları anlamada yardımcı olur.

Açıklama: Orijinali saygıya değer, iyi makaleler paylaşmaya değer, eğer telif hakkı ihlali varsa lütfen silme isteyin.

Yazarı Ödüllendir ve Cesaretlendir

Konular:

Güç Sistemleri

Kontrol Sistemleri

Uzmanlar hakkında

Electrical4u

China