Tasapainotila virhe: Mikä se on? (Tasapainotilan kerroin arvo & kaava)

Kenttä: Perus sähkötiede

China

Mikä on tasapainotila-virhe

Tasapainotila-virhe määritellään halutun arvon ja järjestelmän tuloksen todellisen arvon välisenä erotuna, kun aika lähestyy ääretöntä (toisin sanoen, kun ohjausjärjestelmän vastaus on saavuttanut tasapainotilan).

Tasapainotila-virhe on lineaarisen järjestelmän syöte/tuloste-vastauksen ominaisuus. Yleisesti ottaen hyvä ohjausjärjestelmä on sellainen, jolla on pieni tasapainotila-virhe.

Ensimmäiseksi tarkastelemme ensimmäisen asteen siirtofunktion tasapainotila-virhettä analysoimalla sen tasapainotila-vastetta. Käytetään seuraavaa siirtofunktiota esimerkkinä:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Tämä on yksinkertainen ensimmäisen asteen siirtofunktio, jonka kerroin on yksi ja aikavakio 0.7 sekuntia. Huomaa, että sitä kutsutaan ensimmäisen asteen siirtofunktioksi, koska 's' nimittäjässä on korkein potenssi '1'. Jos se olisi sen sijaan $0.7s^2 + 1$ , se olisi toisen asteen siirtofunktio.

Tämän siirtofunktion vastaus tasapainotilan syötteeseen on näkyvissä kuvassa 1. Siitä voidaan nähdä, että tasapainotilassa tulosteen arvo on täsmälleen sama kuin syötteen arvo. Siksi tasapainotila-virhe on nolla.

Ensimmäisen asteen siirtofunktion aikavastaus askelkyselyyn. — Kuva-1: Tämä on ensimmäisen asteen siirtofunktion aikavastaus askelkyselyyn. Voidaan nähdä, että vakiotilavirhe on nolla.

Tämän funktion vastaus yksikköramppikyselyyn on kuvattu Kuva-2:ssa. Voidaan nähdä, että vakiotilassa on ero syötteessä ja ulostulossa. Siksi yksikköramppikyselyyn liittyy vakiotilavirhe.

Ensimmäisen asteen siirtofunktion aikavastaus ramp-kyselyyn. — Kuva-2: Tämä on ensimmäisen asteen siirtofunktion aikavastaus ramp-kyselyyn. Voidaan nähdä, että vakiotilavirhe on olemassa tässä tapauksessa.

Huomaa, että monissa ohjausjärjestelmäkirjoissa voidaan lukea, että ramp-kyselyyn vastaavan ensimmäisen asteen siirtofunktion vakiotilavirhe on sama kuin aikavakio. Katsomalla Kuva-2:ta ylhäältä nähdään, että tämä on totta. Kun t = 3 sekuntia, syöte on 3, kun taas ulostulo on 2.3. Siksi vakiotilavirhe on 0.7, joka on sama kuin aikavakio tämän ensimmäisen asteen siirtofunktion käsittelimällä.

Huomioi seuraavat tärkeät vinkit:

Vakiotilavirhe on suurimmillaan, jos syöte on paraabelinen, yleensä pienempi ramp-kyselylle ja vielä pienempi askelkyselylle. Kuten edellisessä selityksessä, vakiotilavirhe on nolla askelkyselyyn, 0.7 ramp-kyselyyn ja se on ∞ paraabeliseen syötteeseen.
On huomattava, että vakiotilavirhe riippuu syötteestä, kun taas vakaus ei riipu syötteestä.

Oletetaan suljettu säätöjärjestelmä, jolla on siirtofunktio

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Merkinnät ovat niiden tavallisia merkityksiä. Järjestelmän vakaus riippuu nimittäjästä eli '1+G(s)H(s)'. Yhtälö '1+G(s)H(s) = 0' kutsutaan ominaisyhtälöksi. Sen juuret ilmaisevat järjestelmän vakaudesta. Vakiotila-ero riippuu R(s):stä.

Suljetussa säätöjärjestelmässä virhesignaali voidaan laskea seuraavasti $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Vakiotila-erro voidaan määrittää seuraavasti ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , missä vakiotila-erro on virhesignaalin arvo vakiotilassa. Tästä nähdään, että vakiotila-erro riippuu R(s):stä.

Kuten edellä mainittiin, vakaus riippuu nimittäjästä eli 1 + G(s)H(s). Tässä '1' on vakio, joten vakaus riippuu G(s)H(s):stä, joka on yhtälön osa, joka voi muuttua. Niinpä voit ymmärtää Bode-kaavion, Nyquist-kaavion piirretään G(s)H(s):n avulla, mutta ne osoittavat $\frac{C(s)}{R(s)}$ vakaudesta.
G(s)H(s) kutsutaan avoimen silmukan siirtofunktioksi ja $\frac{C(s)}{R(s)}$ kutsutaan suljetun silmukan siirtofunktioksi. Avoimen silmukan siirtofunktion G(s)H(s) analysoinnin avulla voimme löytää suljetun silmukan siirtofunktion vakaudesta Bode- ja Nyquist-kaavioilla.

Tasapainotilan virheen esimerkkejä

Yksikköaskelisyötteen tasapainotilan virhe

Selitämme nyt suljetun silmukan ohjausjärjestelmän tasapainotilan virheet muutamilla numeerisilla esimerkeillä. Aloittamme yksikköaskelisyötteen kanssa.

Esimerkki-1:

Harkitse seuraavaa ohjausjärjestelmää (järjestelmä-1), kuten kuvassa 3 on näkyvissä:

Kuva-3: Suljettu silmukka ohjausjärjestelmä

Viitearvo 'Rs' on yksikköaskelisyöte.

Järjestelmä-1:n eri tasapainotilanteet ovat näkyvissä kuvassa 4.

Vakiovaiheen arvon lohko diagrammi — Kuva-4: Eri vakiovaiheen arvot ohjausjärjestelmässä

Voidaan nähdä, että virheen vakiovaiheen arvo on 0,5, joten vakiovirhe on 0,5. Jos järjestelmä on vakaa ja eri signaalit ovat vakioita, niin eri vakiovaiheen arvot voidaan saada seuraavasti:

Siirtymäfunktiossa, kun $s\rightarrow 0$ , saat siirtymäfunktion vakiovaiheen kertoimen.

Voit laskea tuloksen seuraavasti:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Muista, että $R(s)$ = yksikköaskel = $\frac{1}{s}$ , voimme uudelleenjärjestää tämän seuraavasti:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Vakiovasteen arvo on:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Voimme käyttää yllä mainittua menetelmää minkä tahansa signaalin vakiovasteen laskemiseen. Esimerkiksi:

Syöte on $R(s)= \frac{1}{s}$ (syöte on yksikköaskelisyöte)

Sen vakiovasteen arvo on $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Samanlaisesti, virhesignaali voidaan laskea seuraavasti:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Vakiovirheen arvo (eli vakiovirhe) on:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Kuvasta 4 voidaan myös nähdä, että syöte ja ulostulo eroavat toisistaan 0,5. Siksi vakiovirhe on 0,5.

Toinen tapa laskea vakiovirhe on löytää virhevakiot seuraavasti:

Lasketaan sijaintivirhekerroin Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , löydät Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Löydät saman vastauksen.

Jos syöte on askelisyöte, sanotaan $R(s)=\frac{3}{s}$ (se on askelisyöte, mutta ei yksikköaskelisyöte), silloin vakiovirhe on ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Jos syöte on yksikkörampisyöte, lasketaan nopeusvirhekerroin Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Jos syöte on yksikköparaabeli, lasketaan kiihtyvyyden virhetermi Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Virhetermin Kp, Kv ja Ka analysoinnin avulla voit ymmärtää, miten vakiovirhe riippuu syötteestä.

PI-ohjain ja vakiovirhe

PI-ohjain (eli verrannollinen ohjain plus integroiva ohjain) vähentää vakiovirhettä (ess), mutta vaikuttaa negatiivisesti vakautta.

PI-ohjaimilla on etu vakiovirheen vähentämisessä, mutta ne heikentävät järjestelmän vakautta.

PI-ohjain heikentää vakautta. Tämä tarkoittaa, että tynnyritys vähenee; huipun ylitys ja tasapainotusajan kasvaa PI-ohjaimen vuoksi; Ominaisyhtälön juuret (suljetun silmukan siirtymäfunktion navat) vasemmalla puolella tulevat lähemmäksi imaginaariakselia. Järjestelmän aste myös kasvaa PI-ohjaimen vuoksi, mikä vähentää vakautta.

Tutkitaan kahta ominaisyhtälöä, joista toinen on s3+ s2+ 3s+20=0, toinen on s2+3s+20=0. Pelkästään havainnoinnin perusteella voidaan sanoa, että ensimmäiseen yhtälöön liittyvä järjestelmä on epävakaa verrattuna toiseen yhtälöön. Voit tarkistaa sen löytämällä yhtälön juuret. Niinpä ymmärrät, että korkeamman asteen ominaisyhtälöillä on alhaisempi vakaus.

Nyt lisätään yksi PI-ohjain (verrannollinen plus integroiva ohjain) järjestelmään-1 (Kuva-3) ja tutkitaan tuloksia. PI-ohjaimen lisäämisen jälkeen erilaiset vakiovirhetulokset näkyvät Kuva-5:ssä. Voidaan nähdä, että ulostulo on täsmälleen sama kuin viitearvo. Se on PI-ohjaimen etu, että se vähentää vakiovirhettä siten, että ulostulo pyrkii seuraamaan viitearvoa.

PI-ohjaimen lohko diagrammi — Kuva-5: PI-ohjaimen vaikutus on nähtävissä tässä diagrammissa

PI-ohjaimen siirtofunktio voidaan laskea seuraavasti: $Kp+\frac{Ki}{s}$ tai $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Voisi kysyä, jos jokin siirtofunktion syöte on nolla, sen tulisi olla myös nolla. Nykyisessä tapauksessa PI-ohjaimen syöte on nolla, mutta PI-ohjaimen tulos on äärellinen arvo (eli 1). Tätä selitystä ei ole kirjoitettu mihinkään ohjausjärjestelmäkirjaan, joten selitämme sen tässä:

(1) Vakiotilaerhe ei ole täsmälleen nolla, se lähestyy nollaa, samoin 's' ei ole tasan nolla, se lähestyy nollaa. Joten, jos vakiotilaerhe on 2x10-3, samaan aikaan 's' (erityisesti puhumme 's':stä PI-ohjaimen nimittäjässä) on myös 2x10-3, joten PI-ohjaimen tulos on '1'.

Otetaan huomioon toinen ohjausjärjestelmä Kuva-6:ssa:

Suljettu silmukka ohjausjärjestelmä PI-ohjaimella — Kuva-6: Esimerkki suljetusta silmukasta ohjausjärjestelmällä PI-ohjaimella

Tässä tapauksessa voimme sanoa, että mikäli vakiotilaerhe on 2x10-3, samaan aikaan 's' on 4×10-3, joten PI-ohjaimen tulos on '0.5'. Tämä tarkoittaa, että sekä 'ess' että 's' lähestyvät nollaa, mutta niiden suhde on äärellinen arvo.

Ohjelmointikirjoissa et koskaan löydä s=0 tai t=∞; aina löydät
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Toinen selitys on, että vakiotilaongelma on nolla, 's' on myös nolla vakiotilassa. PI-ohjaimen siirtokuvio on $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Matematiikan kirjoissa löydät, että $\frac{0}{0}$ on määrittelemätön, joten se voi olla mikä tahansa äärellinen arvo (katso Kuva-7).

PI Controller — Kuva-7: Siirtokuvion syöte on nolla, mutta ulostulo on äärellinen arvo

(3) Kolmas selitys on, $\frac{1}{s}$ on integraattori. Syöte on nolla, nollan integrointi on määrittelemätön. Joten PI-ohjaimen ulostulo voi olla mikä tahansa äärellinen arvo.

Yksi perusero avoimessa ohjaussysteemissä ja suljetussa ohjaussysteemissä

Viitaten yllä olevaan selitykseen, selitämme yhden peruseron avoimessa ohjaussysteemissä ja suljetussa ohjaussysteemissä. Eroja avoimessa ohjaussysteemissä ja suljetussa ohjaussysteemissä löydät mistä tahansa ohjaussysteemien kirjasta*, mutta yksi perusero, joka liittyy yllä olevaan selitykseen, annetaan tässä, ja toivomme, että se on hyödyllistä lukijoille.

Avoimen ohjaussysteemin voi esittää seuraavasti:

Avauskytkentäjärjestelmä — Kuva-8: Tämä on kaavio standardista avoimesta kytkentäjärjestelmästä

Suljettu kytkentäjärjestelmä (palautejärjestelmä) voidaan esittää seuraavasti:

Laitoksen siirtokuvio on vakio (laitoksen siirtokuvio voi muuttua automaattisesti ympäristön muutosten, häiriöiden jne. vuoksi). Kaikissa keskusteluissamme oletamme, että H(s)=1; Operaattori voi ohjata ohjaimen siirtokuvion (eli ohjaimen parametreja, kuten Kp, Kd, Ki) jne.

Ohjain voi olla suhteellinen ohjain (P-ohjain), PI-ohjain, PD-ohjain, PID-ohjain, sumea logiikkaohjain jne. Ohjaimella on kaksi tavoitetta (i) Ylläpitää vakautta, eli vaimennus tulisi olla noin 0,7-0,9, huippuyliviritys ja tasapainottumisaika tulisi olla pieni (ii) Vakiotilaan liittyvä virhe tulisi olla minimaalinen (sen tulisi olla nolla).

Mutta jos yritämme lisätä vaimennusta, vakiotilaan liittyvä virhe saattaa kasvaa. Siksi ohjaimen suunnittelun pitäisi olla sellainen, että molemmat (vakaus ja vakiotilaan liittyvä virhe) olisivat hallinnassa. Optimaalisen ohjaimen suunnittelu on laaja tutkimusaihe.

Kuten aiemmin mainittiin, PI-ohjain vähentää vakiotilaan liittyvää virhettä (ess) drastisesti, mutta vaikuttaa negatiivisesti vakautukseen.

Nyt selitämme yhden perustavan eron avoimen kytkentäjärjestelmän ja suljetun kytkentäjärjestelmän välillä, joka liittyy yllä mainittuun selitykseen.

Katso Kuva-10; se on avoin kytkentäjärjestelmä.

Oletetaan, että syöte on yksikköaskelisyöte. Tällöin syötteen vakioarvo on '1'. Vakioarvoksi voidaan laskea, että ulostulo on '2'. Jos laitteen siirtofunktio [G(s)] muuttuu jostakin syystä, mikä vaikutus tähän on syöteeseen ja ulostuloon? Vastaus on, että laitteen syöte ei muutu, mutta laitteen ulostulo muuttuu.

Nyt harkitse kuvia -11 ja -12

Molemmat ovat suljettuja silmukka järjestelmiä. Kuva-11:ssa, jos laitteen siirtofunktio muuttuu jostakin syystä, mikä vaikutus tähän on syöteeseen ja ulostuloon? Tässä tapauksessa laitteen syöte muuttuu, mutta laitteen ulostulo pysyy muuttumattomana. Laitteen ulostulo yrittää seurata viitearvoa.

Kuva-12 näyttää uudet olosuhteet, joissa laitteen parametrit ovat muuttuneet. Voit nähdä, että laitteen syöte on muuttunut 0,476:sta 0,5:stä, kun taas ulostulo ei ole muuttunut. Molemmissa tapauksissa PI-ohjaimen syöte on nolla, PI-ohjaimen määritykset ovat samat, mutta PI-ohjaimen ulostulo on erilainen.

Joten voit ymmärtää, että avoimessa silmukassa laitteen ulostulo muuttuu, kun taas suljetussa silmukassa laitteen syöte muuttuu.

Ohjausjärjestelmien kirjoissa voi löytää seuraavan lauseen:

"Jos laitoksen siirtofunktion parametrit muuttuvat, suljettu silmukka -ohjausjärjestelmä on vähemmän herkkä kuin avoin silmukka -ohjausjärjestelmä" (eli suljetun silmukan ohjausjärjestelmän ulostulo vaihtelee vähemmän kuin avoimen silmukan ohjausjärjestelmän).

Toivomme, että yllä oleva lause tulee selvemmäksi tässä artikkelissa esitetyillä esimerkeillä.

___________________________________________________________________

*Arvoisat Electrical4U-lukijat, huomaathan, että tämän artikkelin tarkoituksena ei ole toistaa kirjoissa jo saatavilla olevia aiheita; vaan tavoitteemme on esitellä erilaisia monimutkaisia Ohjaustekniikan aiheita helpolla kielellä ja numeerisilla esimerkeillä. Toivomme, että tämä artikkeli auttaa sinua ymmärtämään erilaisia monimutkaisuuksia liittyen tilapäisvirheisiin ja PI-ohjaimiin.

Lause: Kunnioita alkuperäistä, hyviä artikkeleita on arvokasta jakaa, jos on tekijänoikeusrikkomusta ota yhteyttä poistaaksesi.

Anna palkinto ja kannusta kirjoittajaa

Aiheet:

Sähköjärjestelmät

Ohjausjärjestelmät

Asiasta asiantuntijat

Electrical4u

China

Asiantuntemusala

Basic Electrical

Ammatillinen artikkeli

607