Помилка стаціонарного стану: що це? (Зміна стаціонарного стану, значення та формула)

Поле: Основи електротехніки

China

Що таке стаціонарна похибка

Стаціонарна похибка визначається як різниця між бажаним значенням і фактичним значенням виходу системи в границях, коли час прямує до нескінченності (тобто, коли відгук системи керування досягає стаціонарного стану).

Стаціонарна похибка є властивістю відгуку вход-вихід для лінійної системи. Загалом, хороша система керування буде та, яка має низьку стаціонарну похибку.

Спочатку ми обговоримо стаціонарну похибку у першого порядку передавальної функції, аналізуючи її стаціонарний відгук. Розглянемо наступну передавальну функцію:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Це проста передавальна функція першого порядку, що має коефіцієнт підсилення, рівний одиниці, і часову константу 0.7 секунди. Зауважте, що це відомо як передавальна функція першого порядку, оскільки 's' в знаменнику має найвищий степінь '1'. Якщо б це було замість $0.7s^2 + 1$ , це була б передавальна функція другого порядку.

Відгук цієї передавальної функції на стаціонарний вхід показано на рисунку 1. Видно, що у стаціонарному стані вихід точно дорівнює входу. Тому стаціонарна похибка дорівнює нулю.

Часова відповідь першого порядку передавальної функції на ступінчастий вхід. — Рисунок-1: Це часова відповідь першого порядку передавальної функції на ступінчастий вхід. Видно, що постійна помилка дорівнює нулю.

Відповідь цієї функції на одиничний лінійний вхід показано на рисунку-2. Видно, що у стаціонарному стані існує різниця між вхідним та вихідним сигналами. Тому для одиничного лінійного входу існує постійна помилка.

Часова відповідь першого порядку передавальної функції на лінійний вхід. — Рисунок-2: Це часова відповідь першого порядку передавальної функції на лінійний вхід. Видно, що у цьому випадку існує постійна помилка.

Зверніть увагу, що у багатьох книгах з теорії керування можна знайти, що проти лінійного входу, постійна помилка першого порядку передавальної функції дорівнює часовій константі. Спостерігаючи за рисунком-2 вище, можна побачити, що це правда. О 3 секунди, вхід становить 3, а вихід — 2.3. Тому постійна помилка становить 0.7, що дорівнює часовій константі для цієї передавальної функції першого порядку.

Будь ласка, зверніть увагу на такі важливі поради:

Постійна помилка найвища, якщо вхід параболічний, загалом нижча для лінійного входу, і ще нижча для ступінчастого входу. Як пояснено вище, постійна помилка дорівнює нулю при ступінчастому вході, 0.7 при лінійному вході, і виявляється, що вона дорівнює ∞ при параболічному вході.
Слід зазначити, що постійна помилка залежить від входу, тоді як стабільність не залежить від входу.

Розглянемо замкнуту систему керування з передавальною функцією

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Де символи мають своє звичне значення. Стабільність системи залежить від знаменника, тобто '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' називається характеристичним рівнянням. Його корені вказують на стабільність системи. Статична похибка залежить від R(s).

У замкнутій системі керування сигнал похибки можна обчислити як $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Статичну похибку можна знайти як ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , де статична похибка - це значення сигналу похибки у стаціонарному стані. З цього ми бачимо, що статична похибка залежить від R(s).

Як зазначено вище, стабільність залежить від знаменника, тобто 1 + G(s)H(s). Тут '1' - це константа, тому стабільність залежить від G(s)H(s), яке є частиною рівняння, яка може змінюватися. Тому ви можете зрозуміти, що діаграма Боде, діаграма Найквіста малюються за допомогою G(s)H(s), але вони вказують на стабільність $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) називається відкритою перехідною функцією, а $\frac{C(s)}{R(s)}$ називається замкнутою перехідною функцією. Через аналіз відкритої перехідної функції, тобто G(s)H(s), ми можемо знайти стабільність замкнутої перехідної функції за допомогою діаграм Боде і Найквіста.

Приклади стаціонарних помилок

Стаціонарна помилка для одиничного ступінчастого входу

Тепер ми пояснимо, що таке стаціонарна помилка в замкнутій системі керування, на прикладах з числовими значеннями. Ми почнемо з системи керування з одиничним ступінчастим входом.

Приклад-1:

Розглянемо наступну систему керування (система-1), яка показана на рисунку-3:

Вхідне спостереження 'Rs' є одиничним ступінчастим входом.

Різні стаціонарні значення системи-1 показані на рисунку-4.

Стан стаціонарності блок-схеми — Рисунок-4: Різні значення стану стаціонарності в системі керування

Можна побачити, що стаціонарне значення сигналу помилки становить 0,5, отже, стаціонарна помилка також становить 0,5. Якщо система стабільна і різні сигнали постійні, то можна отримати наступні стаціонарні значення:

У передавальній функції при $s\rightarrow 0$ , ви отримаєте стаціонарний коефіцієнт передавальної функції.

Ви можете обчислити вихід так:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Пам'ятайте, що $R(s)$ = одиничний ступінчатий вхід = $\frac{1}{s}$ , ми можемо перетворити це на:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Станова вартість виходу:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Ми можемо використовувати вищезазначену методику для обчислення станової вартості будь-якого сигналу. Наприклад:

Вхідний сигнал $R(s)= \frac{1}{s}$ (вхідний сигнал є одиничним кроком)

Його станова вартість= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Аналогічно, сигнал помилки можна обчислити як:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Станова (постійна) величина сигналу помилки (тобто постійна помилка) дорівнює:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Також з малюнка 4 видно, що різниця між входом і виходом становить 0,5. Тому постійна помилка дорівнює 0,5.

Інший метод обчислення постійної помилки полягає у знаходженні констант помилок, як показано нижче:

Порахуйте коефіцієнт позиційної помилки Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Ви знайдете Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Ви отримаєте таку саму відповідь.

Якщо вхідний сигнал є ступінчастим, наприклад $R(s)=\frac{3}{s}$ (це ступінчастий сигнал, але не одиничний ступінчастий сигнал), то стаціонарна помилка становить ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Якщо вхідний сигнал є одиничним лінійним, то розрахуйте, коефіцієнт швидкості помилки Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Якщо вхідний сигнал є параболічним, то обчислюється коефіцієнт похибки прискорення Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Аналізуючи сталі похибок Kp, Kv та Ka, можна зрозуміти, як статична похибка залежить від входу.

Керування PI та статична похибка

Керувач PI (тобто пропорційний керувач плюс інтегральний керувач) зменшує статичну похибку (ess), але має негативний вплив на стійкість.

Керувачі PI мають перевагу у зменшенні статичної похибки системи, але мають недолік у зменшенні стійкості системи.

Керувач PI зменшує стійкість. Це означає, що демпфування зменшується; перебільшення піку та час встановлення збільшуються через керувач PI; Корені характеристичного рівняння (полюси замкнутої системи передавання) зліва наближуться до уявної осі. Порядок системи також збільшується через керувач PI, що супроводжується зменшенням стійкості.

Розгляньте два характеристичних рівняння, одне з них s3+ s2+ 3s+20=0, інше s2+3s+20=0. Просто за спостереженням можна сказати, що система, пов'язана з першим рівнянням, має нижчу стійкість порівняно з другим рівнянням. Ви можете перевірити це, знайшовши корені рівняння. Таким чином, ви можете зрозуміти, що характеристичні рівняння більшого порядку мають нижчу стійкість.

Зараз ми додаємо один керувач PI (пропорційний плюс інтегральний керувач) до системи-1 (Рисунок-3) та аналізуємо результати. Після вставки керувача PI в систему-1, різні статичні значення показані на Рисунку-5, можна побачити, що вихід точно дорівнює вхідному сигналу. Це перевага керувача PI, що він мінімізує статичну похибку, щоб вихід намагався слідувати за вхідним сигналом.

Блок-схема PI-регулятора — Рисунок-5: Вплив PI-регулятора можна побачити на цьому діаграмі

Передаточну функцію PI-регулятора можна обчислити як $Kp+\frac{Ki}{s}$ або $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Може виникнути питання, що якщо вхід будь-якої передаточної функції дорівнює нулю, то його вихід також повинен дорівнювати нулю. Отже, у даному випадку вхід до PI-регулятора дорівнює нулю, але вихід PI-регулятора є скінченним значенням (тобто 1). Це пояснення не надається в жодній книзі з систем керування, тому ми пояснимо це тут:

(1) Статична помилка не дорівнює точно нулю, вона прямує до нуля, аналогічно 's' не дорівнює нулю, воно прямує до нуля. Нехай в деякий момент статична помилка становить 2x10-3, одночасно 's' (особливо ми говоримо про 's' в знаменнику PI-регулятора) також дорівнює 2x10-3, отже, вихід PI-регулятора становить '1'.

Розглянемо іншу систему керування, показану на Рисунку-6:

Закрита система керування з PI-регулятором — Рисунок-6: Приклад закритої системи керування з PI-регулятором

У цьому випадку, ми можемо сказати, що в деякий момент, припустимо, статична помилка становить 2x10-3, одночасно 's' дорівнює 4×10-3; отже, вихід PI-регулятора становить '0.5'. Це означає, що як 'ess' так і 's' прямують до нуля, але їх співвідношення є скінченним значенням.

У книгах з систем керування ви ніколи не знайдете s=0 або t=∞; ви завжди знайдете
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Друге пояснення полягає в тому, що помилка в усталеному режимі дорівнює нулю, 's' також дорівнює нулю в усталеному режимі. Передавальна функція ПІ-регулятора має вигляд $\frac{Kps+Ki}{s}$ . У математичних книгах ви дізнаєтеся, що $\frac{0}{0}$ є невизначеним, тому це може бути будь-яке скінченне значення (див. малюнок-7).

PI Controller — Малюнок-7: Вхід до передавальної функції дорівнює нулю, але вихід є скінченним значенням

(3) Третє пояснення полягає в тому, що $\frac{1}{s}$ є інтегратором. Вхід дорівнює нулю, інтегрування нуля є невизначеним. Тому вихід ПІ-регулятора може бути будь-яким скінченним значенням.

Одна основна відмінність між розімкнутою системою керування та замкнутою системою керування

З огляду на наведене пояснення, ми пояснимо одну основну відмінність між розімкнутою системою керування та замкнутою системою керування. Відмінності між розімкнутою системою керування та замкнутою системою керування можна знайти в будь-якій книзі з систем керування*, але одна основна відмінність, пов’язана з наведеним поясненням, наведена тут, і ми сподіваємося, що вона обов’язково буде корисною для читачів.

Розімкнуту систему керування можна представити наступним чином:

Відкрита система керування — Рисунок-8: Це діаграма стандартної відкритої системи керування

Замкнена система керування (система керування зі зворотним зв'язком) може бути представлена наступним чином:

Передаточна функція об'єкта керування є фіксованою (передаточна функція об'єкта керування може змінюватися автоматично через зміни у середовищі, збурення тощо). У всіх наших розглядах ми приймаємо H(s)=1; Оператор може керувати передаточною функцією контролера (тобто параметри контролера, такі як Kp, Kd, Ki) тощо.

Контролер може бути пропорційним контролером (P контролер), PI контролером, PD контролером, PID контролером, контролером на основі нечіткої логіки тощо. Є дві мети контролера (i) Зберігати стабільність, тобто демпфування повинно бути близько 0.7-0.9, піковий перехід і час встановлення повинні бути низькими (ii) Послідовна похибка повинна бути мінімальною (вона повинна дорівнювати нулю).

Але якщо ми спробуємо збільшити демпфування, то послідовна похибка може збільшитися. Тому проектування контролера має бути таким, щоб обидва (стабільність і послідовна похибка) були під контролем. Оптимальне проектування контролера є широким науковим питанням.

Як було написано раніше, PI контролер суттєво зменшує послідовну похибку (ess), але має негативний вплив на стабільність.

Тепер ми пояснимо одну базову відмінність між відкритою системою керування і замкнутою системою керування, яка пов'язана з вище зазначеним поясненням.

Розгляньте Рисунок-10; це відкрита система керування.

Нехай вхідний сигнал є одиничним ступінчастим входом. Тоді, стаціонарне значення входу дорівнює '1'. Можна обчислити, що стаціонарне значення виходу становить '2'. Припустимо, що змінилася передавальна функція [G(s)] рослини через будь-яку причину, який буде ефект на вході та виході? Відповідь полягає в тому, що вхід до рослини не зміниться, а вихід рослини зміниться.

Тепер розглянемо Рисунки-11 і 12

Рисунок-12: Замкнута система, вихід рослини залишається таким самим, але вхід рослини змінюється через зміну передавальної функції

Обидва це замкнуті системи керування. На рисунку-11, припустимо, що змінилася передавальна функція рослини через будь-яку причину, який буде ефект на вході та виході? У цьому випадку, вхід до рослини зміниться, а вихід рослини залишиться незмінним. Вихід рослини намагається слідувати за референтним входом.

Рисунок-12 показує нові умови, при яких параметри рослини змінилися. Ви можете побачити, що вхід до рослини змінився з 0.5 на 0.476, а вихід не змінився. У обох випадках вхід до ПІ-регулятора дорівнює нулю, специфікації ПІ-регулятора однакові, але вихід ПІ-регулятора різний.

Отже, ви можете зрозуміти, що в відкритій системі керування вихід рослини змінюється, а в замкнутій системі керування змінюється вхід до рослини.

У книгах з систем керування ви можете знайти таке твердження:

"У випадку зміни параметрів передавальної функції об'єкту, замкнена система керування менш чутлива порівняно з відкритою системою керування" (тобто зміна виходу замкненої системи керування менша порівняно з відкритою системою керування).

Сподіваємось, що вище зазначене твердження стане більш зрозумілим на прикладах, наведених у цій статті.

___________________________________________________________________

*Шановні читачі Electrical4U, будь ласка, зверніть увагу, що мета цієї статті не полягає в репродукції тем, які вже доступні у книгах; наша мета - представити різні складні теми інженерії керування простим мовою з числовими прикладами. Сподіваємось, що ця стаття допоможе вам зрозуміти різні складності, пов'язані з постійною похибкою та контролерами PI.

Заява: Поважайте оригінал, добри статті варті поширення, якщо є порушення прав авторства, будь ласка, зверніться для видалення.

Дайте гонорар та підтримайте автора

Теми:

Енергетичні системи

Системи керування

Про експертів

Electrical4u

China