Error Status: Quid est? (Ganancia in Statu Stabilis, Valorem & Formula)

Campus: Electrica Elementaria

China

Quid est Error Stabilis?

Error stabilis definitur ut differentia inter valorem desideratum et valorem realem exitus systematis in limite quando tempus ad infinitum tendit (i.e. quando responsio systematis controlis stabilitatem attingit).

Error stabilis est proprietas responsionis input/output pro systemate lineari. In generali, bonum systema controlis erit id quod parvum errorem stabilis habet.

Primum, de errore stabilis in functione transferentiae primi ordinis per analysin responsum stabilis eius disseremus. Consideremus functionem transferentiae subiectam:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Haec est simpliciter functio transferentiae primi ordinis, habens gain aequale uni et constantem temporalem 0.7 secundorum. Notandum est quod nominatur functio transferentiae primi ordinis quia 's' in denominatore habet maximam potentiam '1'. Si esset potius $0.7s^2 + 1$ , esset functio transferentiae secundi ordinis.

Responsum huius functionis transferentiae ad input stabilis monstratur in Figura-1. Videtur quod in statu stabilis, exitus exacte aequalis est input. Itaque error stabilis est nullus.

Tempus responsus ordinis primi Functionis transferentiae contra inputum step. — Figura-1: Hic est tempus responsus Functionis transferentiae ordinis primi contra inputum step. Videtur quod error in statu stacionario est nullus

Responsus huius functionis ad inputum rampam unitariam monstratur in Figura-2. Videtur quod in statu stacionario existit differentia inter inputum et outputum. Ergo pro inputu rampae unitaria, existit error in statu stacionario.

Tempus responsus ordinis primi Functionis transferentiae contra inputum rampam. — Figura-2: Hic est tempus responsus Functionis transferentiae ordinis primi contra inputum rampam. Videtur quod error in statu stacionario existit in hoc casu

Notandum est quod in multis libris de systemate controllo potest inveniri quod contra inputum rampam, error in statu stacionario Functionis transferentiae ordinis primi est aequalis constanti temporali. Ex observando Figura-2 supra, videtur quod hoc verum est. Ad t=3 secundis, inputus est 3 dum outputus est 2.3. Ergo error in statu stacionario est 0.7, qui est aequalis constanti temporali pro hac Functione transferentiae ordinis primi.

Nota quaesita sunt sequentes consilia importantia:

Error in statu stacionario est maximus si inputus est parabolicus, est generaliter minor pro inputu rampae, et est etiam minor pro inputu step. Sicut in explanatione suprascripta, error in statu stacionario est nullus contra inputum step, et 0.7 contra inputum rampae et potest inveniri quod est ∞ contra inputum parabolicum.
Debet notari quod error in statu stacionario dependet ab inputu, dum stabilitas non dependet ab inputu.

Consideremus systema controlis circuiti clausi habens functionem transferendi

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Ubi symbola habent suum usualem significatum. Stabilitas systematis pendet a denominatore, id est '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' dicitur aequatio characteristica. Radices eius indicant stabilitatem systematis. Error in statu permanente pendet a R(s).

In systema controlis circuiti clausi signum erroris potest calculari ut $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Error in statu permanente potest inveniri ut ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , ubi error in statu permanente est valor signi erroris in statu permanente. Ex hoc videmus quod error in statu permanente pendet a R(s).

Ut supra dictum est, stabilitas pendet a denominatore, id est 1 + G(s)H(s). Hic '1' est constans, ergo stabilitas pendet a G(s)H(s), quae est pars aequationis quae mutari potest. Ita, potes intellegere Bode plot, Nyquist plot descriptus est cum adiutorio G(s)H(s), sed indicant stabilitatem $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) dicitur functio transferendi aperti circuiti et $\frac{C(s)}{R(s)}$ dicitur functio transferendi clausi circuiti. Per analysin functionis transferendi aperti circuiti, id est G(s)H(s), possumus invenire stabilitatem functionis transferendi clausi circuiti per diagrammata Bode et Nyquist.

Exempla Erroris Stabilis Status

Error Stabilis Status pro Input Unitario Graduali

Nunc, explicabimus error stabiilis status in systemate controllo clausi circuiti cum paucis exemplis numeris. Incipiemus cum systemate controllo cum input unitario graduali.

Exemplum-1:

Considera systema controllo sequens (systema-1) ut ostenditur in Figura-3:

Figura-3: Systema Controllo Clausi Circuiti

Input referentia ‘Rs’ est input unitarius graduali.

Diversae valores stabilis status Systematis-1 ostenduntur in Figura-4.

Diagramma Valoris Stabilis — Figura IV: Diversi Valores Stabiles in Systemate Controlis

Videtur valor stabilis signali erroris esse 0.5, ergo error stabilis est 0.5. Si systema est stabilis et diversa signala sunt constantia, tunc diversi valores stabiles obtineri possunt sicut sequitur:

In functione transferentiae ut $s\rightarrow 0$ , obtinebis incrementum stabilis functionis transferentiae.

Potestis calculare exitum sicut sequitur:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Memorans quod $R(s)$ = input unitatis gradus = $\frac{1}{s}$ , hoc possumus rearrangere ad:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Valorem stacionarii output est:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Methodum supra possumus ad valorem stacionarium cuiusque signali calculandi. Exempli gratia:

Input est $R(s)= \frac{1}{s}$ (Input est unit step input)

Valorem stacionarium eius est = $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Similiter, signum erroris potest calculari ut:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Valorem constantis erroris signali (i.e. valorem constantis erroris in statu stacionario) est:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Item, ex Figura-IV videtur differentia inter input et output esse 0.5. Ergo valorem constantis erroris in statu stacionario est 0.5.

Alia methodus ad calculandum valorem constantis erroris in statu stacionario involvit inveniendi constantes erroris, ut sequitur:

Coefficiens erroris positionalis Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , invenies Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Invenies idem responsum.

Si input est input gradus, dic $R(s)=\frac{3}{s}$ (est input gradus, sed non input gradus unitatis), tunc error status stabilis est ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Si input est input rampae unitatis, tunc calcula, coefficiens erroris velocitatis Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Si input est unit parabolicus, tunc Calcula, Coefficientem accelerationis erroris Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Cum analysi constantium erroris Kp, Kv et Ka, potes intellegere quomodo error status stabilis dependet ab input.

PI Controller Et Error Status Stabilis

A PI controller (id est, controller proportionalis plus integralis) reducit errorem status stabilis (ess), sed habet effectum negativum super stabilitatem.

Controllers PI habent adventagium reducendi errorem status stabilis systematis, dum tamen habeant disadventagium reducendi stabilitatem systematis.

Controller PI stabilitatem reducit. Hoc significat quod dampening decrescit; overshoot peak et settling time crescunt propter controller PI; Radices aequationis characteristicarum (poli functionis transferendi clausi circuiti) in latere sinistro venient propius ad axem imaginariam. Ordo systematis quoque crescit propter controller PI, quod tendit ad reducendum stabilitatem.

Considera duas aequationes characteristicas, una est s3+ s2+ 3s+20=0, altera est s2+3s+20=0. Iusto per observationem, possumus dicere quod systema relatum ad primam aequationem habet stabilitatem minorem comparata ad secundam aequationem. Potest verificari hoc inveniendo radices aequationis. Ita, potes intellegere aequationes characteristicas ordinis superioris habere stabilitatem minorem.

Nunc, addemus unum controller PI (Proportional Plus Integral controller) in systema-1 (Figura-3) et examinabimus resultata. Post insertionem controller PI in systema-1, variae valores status stabilis ostenduntur in Figura-5, videtur quod output exacte aequalis est referenti input. Hoc est adventagium controller PI, quod minimizat errorem status stabilis ut output conetur sequi referentem input.

PI Controller Block Diagram — Figura-5: Effectus PI controller hanc diagramma ostendit

Functio transferentia PI controller hanc ratione calculari potest $Kp+\frac{Ki}{s}$ vel $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Quaestio una posse dicitur, si input functionis transferentiae nulla sit, tunc output eius nullum esse debet. Itaque, in casu praesenti, input PI controller nullus est, at output PI controller valor finitus (id est, 1) est. Haec explicatio in libro control system non traditur, ergo hic eam explicabimus:

(1) Error steady state non exacte nullus est, ad nullum tendit, similiter ‘s’ non aequatur nulli, ad nullum tendit, itaque, ut exempli gratia, error steady state in quodam momento 2x10-3, idem tempore ‘s’ (de specialiter ‘s’ in denominatore PI controller loquimur) quoque 2x10-3 aequatur, itaque output PI controller ‘1’ est.

Consideremus nunc alium systema controlatum, quem in Figura-6 ostendimus:

Closed Loop Control System with PI Controller — Figura-6: Exemplum Systematis Controlati Clausi cum PI Controller

In hoc casu, dicere possumus, ut exempli gratia, error steady state 2x10-3, idem tempore ‘s’ 4×10-3 aequatur; itaque output PI controller ‘0.5’ est. Id significat, et ‘ess’ et ‘s’ ad nullum tendunt, sed ratio earum valor finitus est.

In libris de systemate controlis numquam invenies s=0 vel t=∞; semper invenies
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Altera explicatio est quod error in statu stabilis est nullus, 's' quoque in statu stabilis est nullum. Functio transferentia controller PI est $\frac{Kps+Ki}{s}$ . In libris mathematicis, invenies quod $\frac{0}{0}$ est indefinitum, itaque potest esse omnis valor finitus (vide Figura-7).

PI Controller — Figura-7: Input ad Functionem Transferentiam est nullus sed output est valor finitus

(3) Tertia explicatio est, $\frac{1}{s}$ est integrator. Input est nullus, integratio nulli est indefinita. Itaque output controller PI potest esse omnis valor finitus.

Unum fundamentale differentium in systemate controlis aperto & systemate controlis clauso

In reference ad praecedentes explicationes, explicabimus unum fundamentale differentium in systemate controlis aperto & systemate controlis clauso. Differentiae in systemate controlis aperto & systemate controlis clauso, inveniri possunt in libro quocunque de systematis controlis*, sed unum fundamentale differentium quod pertinet ad praecedentes explicationes hic datur et speramus certe utile sit lectoribus.

Systema controlis apertum potest repraesentari sicut sequitur:

Systema Controlis Circuitus Aperti — Figura 8: Haec est diagramma Standard Systematis Controlis Circuitus Aperti

Systema controlis circuitus clausi (systema controlis feedback) sic repraesentari potest:

Functio transferendi plantae fixa est (Functio transferendi plantae propter mutationes ambientales, perturbationes etc. mutari potest). In omnibus nostris disputationibus, H(s)=1 assumptum est; Operator potest functionem transferendi controlleris (i.e. parametrum controlleris sicut Kp, Kd, Ki) etc. controlare.

Controller potest esse Proportionalis controller (P controller), PI controller, PD controller, PID controller, Fuzzy logic controller etc. Duorum sunt scopi controlleris (i) Stabilitatem conservare, i.e. damping circum 0.7-0.9 debet esse, overshoot et tempus stabilizandi parva debent esse (ii) Error steady-state minimus (nullus debet esse).

Si tamen conamur damping augmentare, error steady-state posse augmentari. Itaque designatio controlleris ita fieri debet ut ambo (stabilitas & error steady-state) sub controllo sint. Optimum design controlleris vastum est in rebus studiis.

Ut antea scriptum est, PI controller error steady-state (ess) valde reducit, sed effectum negativum stabilitati habet.

Nunc, unam differentiam basicam inter systema controlis circuitus aperti & systema controlis circuitus clausi, quae ad praecedentem explanationem pertinet, explicabimus.

Considera Figuram 10; haec est systema controlis circuitus aperti.

Figura-10: Systema Controlis Aperti Circuli

Sit input unitas gradus. Ergo, valor stabilis input est '1'. Possumus calculare quod valor stabilis output est '2'. Si sit mutatio in functione transferendi [G(s)] plantae propter quamcumque rationem, quid erit effectus in input et output? Responsum est, input ad plantam non mutabitur, output plantae mutabitur.

Nunc considera Figuras-11 et 12

Figura-11: Systema Controlis Clausi Circuli

Figura-12: Systema Clausi Circuli, Output Plantae Idem Est Sed Input Plantae Mutatur Propter Mutationem Functionis Transferendi

Ambae sunt systemata controlis clausi circuli. In Figura-11, si sit mutatio in functione transferendi plantae propter quamcumque rationem, quid erit effectus in input et output? In hoc casu, input ad plantam mutabitur, output plantae remanebit immutatus. Output plantae conatur sequi input referentialem.

Figura-12 ostendit novas conditiones, in quibus parametri plantae mutati sunt. Vides input plantae mutatum esse ad 0.476 ex 0.5, dum output non mutatur. In utroque casu input ad controller PI est nullum, specificationes controller PI idem sunt, sed output controller PI est diversus.

Itaque, potes intellegere, in systemate controlis aperti circuli output plantae mutatur, dum in systemate controlis clausi circuli input ad plantam mutatur.

In libris de systematis controlis, invenies hanc sententiam:

"In casu variationis parametri functionis transferentiae plantae, systema controlis clausi circuitus est minus sensitivum comparatum cum systemate controlis aperti circuitus" (id est, variatio in exitu systematis controlis clausi circuitus est minor comparata cum systemate controlis aperti circuitus).

Spemus ut praecedens assertio clarior sit per exempla in hoc articulo data.

___________________________________________________________________

*Carissimi lectores IEE-Business, notate quod finis huius articuli non est reproduci topica iam in libris disponibilia; sed intentio nostra est praebere varia complexa topica Ingenieriae Controlis lingua faciliori cum exemplis numerici. Spemus hunc articulum tibi utilitatem adferre ad intellegendum varias complexitates circa errorem status stabilis et controllatores PI.

Assertio: Respecte originale, boni articulos meritos participandi, si infractio est contingat contactum ad deletionem.

Donum da et auctorem hortare

Thematibus:

Systemata Electrica

Systemata Controlis

De expertis

Electrical4u

China

Area Expertiae

Basic Electrical

Articulus professionalis

607