Error de estado estable: ¿Qué es? (Ganancia en estado estable, Valor y Fórmula)

Campo: Electricidad Básica

China

¿Qué es el error de estado estable?

El error de estado estable se define como la diferencia entre el valor deseado y el valor real de la salida del sistema en el límite cuando el tiempo tiende al infinito (es decir, cuando la respuesta del sistema de control ha alcanzado el estado estable).

El error de estado estable es una propiedad de la respuesta de entrada/salida para un sistema lineal. En general, un buen sistema de control será aquel que tenga un bajo error de estado estable.

Primero, discutiremos el error de estado estable en una función de transferencia de primer orden analizando su respuesta en estado estable. Consideremos la función de transferencia a continuación:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Esta es una simple función de transferencia de primer orden, con una ganancia igual a uno y una constante de tiempo de 0.7 segundos. Nótese que se conoce como una función de transferencia de primer orden porque la 's' en el denominador tiene la potencia más alta de '1'. Si en su lugar fuera $0.7s^2 + 1$ , sería una función de transferencia de segundo orden en su lugar.

La respuesta de esta función de transferencia a una entrada en estado estable se muestra en la Figura-1. Se puede observar que en estado estable, la salida es exactamente igual a la entrada. Por lo tanto, el error de estado estable es cero.

Respuesta en el tiempo de la Función de Transferencia de primer orden ante una entrada escalón. — Figura-1: Es la respuesta en el tiempo de la Función de Transferencia de primer orden ante una entrada escalón. Se puede observar que el error en estado estacionario es cero.

La respuesta de esta función a una entrada rampa unitaria se muestra en la Figura-2. Se puede observar que en estado estacionario existe una diferencia entre la entrada y la salida. Por lo tanto, para una entrada rampa unitaria, existe un error en estado estacionario.

Respuesta en el tiempo de la Función de Transferencia de primer orden ante una entrada rampa. — Figura-2: Es la respuesta en el tiempo de la Función de Transferencia de primer orden ante una entrada rampa. Se puede observar que existe un error en estado estacionario en este caso.

Es importante notar que en muchos libros de sistemas de control se menciona que, ante una entrada rampa, el error en estado estacionario de una función de transferencia de primer orden es igual a la constante de tiempo. Observando la Figura-2, podemos ver que esto es cierto. A los 3 segundos, la entrada es 3 mientras que la salida es 2.3. Por lo tanto, el error en estado estacionario es 0.7, lo cual es igual a la constante de tiempo para esta función de transferencia de primer orden.

Por favor, tenga en cuenta las siguientes recomendaciones importantes:

El error en estado estacionario es máximo si la entrada es parabólica, generalmente menor para una entrada rampa y aún menor para una entrada escalón. Como se explicó anteriormente, el error en estado estacionario es cero ante una entrada escalón, 0.7 ante una entrada rampa y se puede encontrar que es ∞ ante una entrada parabólica.
Es importante tener en cuenta que el error en estado estacionario depende de la entrada, mientras que la estabilidad no depende de la entrada.

Consideremos un sistema de control en bucle cerrado con función de transferencia

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Donde los símbolos tienen su significado habitual. La estabilidad del sistema depende del denominador, es decir, '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' se llama ecuación característica. Sus raíces indican la estabilidad del sistema. El error en estado estable depende de R(s).

En un sistema de control en bucle cerrado, la señal de error se puede calcular como $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ El error en estado estable se puede encontrar como ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , donde el error en estado estable es el valor de la señal de error en estado estable. De esto podemos ver que el error en estado estable depende de R(s).

Como se mencionó anteriormente, la estabilidad depende del denominador, es decir, 1 + G(s)H(s). Aquí, ‘1’ es constante, por lo tanto, la estabilidad depende de G(s)H(s), que es la parte de la ecuación que puede cambiar. Por lo tanto, puedes entender el diagrama de Bode, diagrama de Nyquist se dibuja con la ayuda de G(s)H(s), pero indican la estabilidad de $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) se llama función de transferencia en lazo abierto y $\frac{C(s)}{R(s)}$ se llama función de transferencia en lazo cerrado. A través del análisis de la función de transferencia en lazo abierto, es decir, G(s)H(s), podemos determinar la estabilidad de una función de transferencia en lazo cerrado mediante el diagrama de Bode y el diagrama de Nyquist.

Ejemplos de Error Estacionario

Error Estacionario para una Entrada Escalón Unitario

Ahora, explicaremos el error estacionario en un sistema de control en lazo cerrado con algunos ejemplos numéricos. Comenzaremos con un sistema de control con una entrada escalón unitaria.

Ejemplo-1:

Consideremos el siguiente sistema de control (sistema-1) como se muestra en la Figura-3:

Figura-3: Sistema de Control en Lazo Cerrado

La entrada de referencia ‘Rs’ es una entrada escalón unitaria.

Los diversos valores estacionarios del Sistema-1 se muestran en la Figura-4.

Diagrama de bloques de valor estacionario — Figura-4: Diferentes valores estacionarios en un sistema de control

Se puede observar que el valor estacionario de la señal de error es 0.5, por lo tanto, el error estacionario es 0.5. Si el sistema es estable y las señales son constantes, se pueden obtener los siguientes valores estacionarios:

En la función de transferencia, cuando $s\rightarrow 0$ , obtendrá la ganancia estacionaria de la función de transferencia.

Puede calcular la salida de la siguiente manera:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Recordando que $R(s)$ = entrada de escalón unitario = $\frac{1}{s}$ , podemos reorganizar esto como:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

El valor en estado estacionario de la salida es:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Podemos utilizar el método anterior para calcular el valor en estado estacionario de cualquier señal. Por ejemplo:

La entrada es $R(s)= \frac{1}{s}$ (la entrada es un escalón unitario)

Su valor en estado estacionario= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

De manera similar, la señal de error se puede calcular como:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

El valor en estado estable de la señal de error (es decir, el error en estado estable) es:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

También se puede ver en la Figura-4 que la diferencia entre la entrada y la salida es 0,5. Por lo tanto, el error en estado estable es 0,5.

Otro método para calcular el error en estado estable implica encontrar las constantes de error, como sigue:

Calcule el coeficiente de error posicional Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , encontrarás que Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Encontrarás la misma respuesta.

Si la entrada es una entrada en escalón, digamos $R(s)=\frac{3}{s}$ (es una entrada en escalón, pero no una entrada en escalón unitario), entonces el error estacionario es ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Si la entrada es una entrada rampa unitaria, entonces calcule, el coeficiente de error de velocidad Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Si la entrada es una entrada parabólica unitaria, entonces se calcula, el coeficiente de error de aceleración Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Con el análisis de las constantes de error Kp, Kv y Ka, puedes entender cómo el error en estado estacionario depende de la entrada.

Controlador PI y Error en Estado Estacionario

Un controlador PI (es decir, un controlador proporcional más un controlador integral) reduce el error en estado estacionario (ess), pero tiene un efecto negativo en la estabilidad.

Los controladores PI tienen la ventaja de reducir el error en estado estacionario de un sistema, mientras que tienen la desventaja de reducir la estabilidad del sistema.

Un controlador PI reduce la estabilidad. Esto significa que la amortiguación disminuye; el sobrepaso pico y el tiempo de establecimiento aumentan debido al controlador PI; las raíces de la ecuación característica (polos de la función de transferencia en bucle cerrado) en el lado izquierdo se acercarán más al eje imaginario. El orden del sistema también aumenta debido al controlador PI, lo que tiende a reducir la estabilidad.

Considera dos ecuaciones características, una es s3+ s2+ 3s+20=0, otra es s2+3s+20=0. Solo con la observación, podemos decirte que el sistema relacionado con la primera ecuación tiene menor estabilidad en comparación con la segunda ecuación. Puedes verificarlo encontrando las raíces de la ecuación. Entonces, puedes entender que las ecuaciones características de orden superior tienen menor estabilidad.

Ahora, añadiremos un controlador PI (controlador proporcional más integral) en el sistema-1 (Figura-3) y examinaremos los resultados. Después de insertar el controlador PI en el sistema-1, se muestran varios valores en estado estacionario en la Figura-5, se puede ver que la salida es exactamente igual a la entrada de referencia. Es la ventaja del controlador PI, que minimiza el error en estado estacionario para que la salida intente seguir la entrada de referencia.

Diagrama de Bloque del Controlador PI — Figura-5: El efecto del controlador PI se puede ver en este diagrama

La función de transferencia del controlador PI se puede calcular como $Kp+\frac{Ki}{s}$ o $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Una pregunta que se puede hacer es si la entrada de cualquier función de transferencia es cero, entonces su salida debería ser cero. Entonces, en el caso actual, la entrada al controlador PI es cero, pero la salida del controlador PI es un valor finito (es decir, 1). Esta explicación no se da en ningún libro de sistemas de control, por lo que la explicaremos aquí:

(1) El error en estado estable no es exactamente cero, tiende a cero, de manera similar, 's' no es igual a cero, tiende a cero. Así, supongamos que en cualquier instante el error en estado estable es 2x10-3, al mismo tiempo 's' (específicamente estamos hablando de 's' en el denominador del controlador PI) también es igual a 2x10-3, por lo tanto, la salida del controlador PI es '1'.

Consideremos otro sistema de control mostrado en la Figura-6:

Figura-6: Un Ejemplo de Sistema de Control en Bucle Cerrado con Controlador PI

En este caso, podemos decir, en cualquier instante, supongamos que el error en estado estable es 2x10-3, al mismo tiempo 's' es igual a 4×10-3; por lo tanto, la salida del controlador PI es '0.5'. Esto significa que tanto 'ess' como 's' tienden a cero, pero su ratio es un valor finito.

En los libros de sistemas de control, nunca encontrarás s=0 o t=∞; siempre encontrarás
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) La segunda explicación es que el error en estado estacionario es cero, 's' también es cero en estado estacionario. La función de transferencia del controlador PI es $\frac{Kps+Ki}{s}$ . En los libros de matemáticas, encontrarás que $\frac{0}{0}$ es indefinido, por lo que puede ser cualquier valor finito (ver Figura-7).

PI Controller — Figura-7: La entrada a la función de transferencia es cero, pero la salida es un valor finito

(3) La tercera explicación es, $\frac{1}{s}$ es un integrador. La entrada es cero, la integración de cero es indefinida. Por lo tanto, la salida del controlador PI puede ser cualquier valor finito.

Una diferencia básica entre el sistema de control en bucle abierto y el sistema de control en bucle cerrado

Con referencia a la explicación anterior, explicaremos una diferencia básica entre un sistema de control en bucle abierto y un sistema de control en bucle cerrado. Las diferencias entre un sistema de control en bucle abierto y un sistema de control en bucle cerrado, las puedes encontrar en cualquier libro de sistemas de control*, pero una diferencia básica relacionada con la explicación anterior se da aquí y esperamos que ciertamente sea útil para los lectores.

Un sistema de control en bucle abierto puede representarse de la siguiente manera:

Un sistema de control en bucle cerrado (sistema de control con retroalimentación) se puede representar de la siguiente manera:

La función de transferencia de la planta es fija (la función de transferencia de la planta puede cambiar automáticamente debido a cambios ambientales, perturbaciones, etc.). En todas nuestras discusiones, hemos asumido H(s)=1; Un operador puede controlar la función de transferencia del controlador (es decir, los parámetros del controlador tales como Kp, Kd, Ki), etc.

El controlador puede ser un controlador proporcional (controlador P), controlador PI, controlador PD, controlador PID, controlador lógico difuso, etc. Hay dos objetivos de un controlador (i) Mantener la estabilidad, es decir, el amortiguamiento debe estar alrededor de 0.7-0.9, el sobrepaso pico y el tiempo de establecimiento deben ser bajos (ii) El error en estado estacionario debe ser mínimo (debe ser cero).

Pero si intentamos aumentar el amortiguamiento, el error en estado estacionario puede aumentar. Por lo tanto, el diseño del controlador debe ser tal que ambos (estabilidad y error en estado estacionario) estén bajo control. El diseño óptimo del controlador es un amplio tema de investigación.

Como se escribió anteriormente, el controlador PI reduce drásticamente el error en estado estacionario (ess), pero tiene un efecto negativo en la estabilidad.

Ahora, explicaremos una diferencia básica entre el sistema de control en bucle abierto y el sistema de control en bucle cerrado, que está relacionada con la explicación anterior.

Consideremos la Figura-10; es un sistema de control en bucle abierto.

Supongamos que la entrada es una entrada de paso unitario. Por lo tanto, el valor estacionario de la entrada es '1'. Se puede calcular que el valor estacionario de la salida es '2'. Supongamos que hay un cambio en la función de transferencia [G(s)] de la planta por cualquier motivo, ¿cuál será el efecto en la entrada y la salida? La respuesta es que la entrada a la planta no cambiará, la salida de la planta sí cambiará.

Ahora consideremos las Figuras-11 y 12

Sistema en bucle cerrado — Figura-12: Sistema en Bucle Cerrado, la salida de la planta es la misma pero la entrada de la planta cambia debido al cambio en la Función de Transferencia

Ambos son sistemas de control en bucle cerrado. En la Figura-11, supongamos que hay un cambio en la función de transferencia de la planta por cualquier motivo, ¿cuál será el efecto en la entrada y la salida? En este caso, la entrada a la planta cambiará, la salida de la planta permanecerá inalterada. La salida de la planta intenta seguir la entrada de referencia.

La Figura-12 muestra las nuevas condiciones, en las cuales los parámetros de la planta han cambiado. Puede observarse que la entrada a la planta ha cambiado de 0.5 a 0.476, mientras que la salida no ha cambiado. En ambos casos, la entrada al controlador PI es cero, las especificaciones del controlador PI son las mismas, pero la salida del controlador PI es diferente.

Por lo tanto, puede entenderse que, en el sistema de control en bucle abierto, la salida de la planta cambia, mientras que en el sistema de control en bucle cerrado, la entrada a la planta cambia.

En los libros de sistemas de control, se puede encontrar la siguiente afirmación:

"En caso de variación de los parámetros de la función de transferencia de la planta, el sistema de control en bucle cerrado es menos sensible en comparación con el sistema de control en bucle abierto" (es decir, la variación en la salida del sistema de control en bucle cerrado es menor en comparación con el sistema de control en bucle abierto).

Esperamos que la declaración anterior sea más clara con los ejemplos proporcionados en este artículo.

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*Estimados lectores de IEE-Business, tengan en cuenta que el propósito de este artículo no es reproducir los temas ya disponibles en los libros; sino que nuestro objetivo es presentar varios temas complejos de la Ingeniería de Control en un lenguaje sencillo con ejemplos numéricos. Esperamos que este artículo les sea útil para comprender las diversas complejidades sobre el error en estado estacionario y los controladores PI.

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