정상 상태 오차: 정상 상태 이득, 값 및 공식이란?

Electrical4u

필드: 기본 전기학

China

정상 상태 오류란?

정상 상태 오류는 시스템 출력의 원하는 값과 실제 값 사이의 차이를 시간이 무한대로 가는 극한에서 (즉, 제어 시스템의 응답이 정상 상태에 도달했을 때) 정의합니다.

정상 상태 오류는 선형 시스템의 입력/출력 응답의 특성입니다. 일반적으로 좋은 제어 시스템은 정상 상태 오류가 낮은 시스템입니다.

먼저, 첫 번째 순서 전달 함수에서 정상 상태 응답을 분석하여 정상 상태 오류에 대해 논의하겠습니다. 다음 전달 함수를 고려해 보겠습니다:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

이는 이득이 1이고 시간 상수가 0.7초인 간단한 첫 번째 순서 전달 함수입니다. 분모의 's'가 '1'의 가장 높은 거듭제곱을 가지기 때문에 이를 첫 번째 순서 전달 함수라고 합니다. 만약 대신 $0.7s^2 + 1$ 라면, 두 번째 순서 전달 함수가 됩니다.

이 전달 함수의 정상 상태 입력에 대한 응답은 그림 1에 표시되어 있습니다. 정상 상태에서 출력이 입력과 정확히 같음을 알 수 있습니다. 따라서 정상 상태 오류는 0입니다.

단위 계단 입력에 대한 1차 전달 함수의 시간 응답. — 그림 1: 단위 계단 입력에 대한 1차 전달 함수의 시간 응답입니다. 안정 상태 오류가 0임을 확인할 수 있습니다.

이 함수의 단위 램프 입력에 대한 응답은 그림 2에 표시되어 있습니다. 안정 상태에서 입력과 출력 사이에 차이가 있음을 확인할 수 있습니다. 따라서 단위 램프 입력에 대해 안정 상태 오류가 존재합니다.

램프 입력에 대한 1차 전달 함수의 시간 응답. — 그림 2: 램프 입력에 대한 1차 전달 함수의 시간 응답입니다. 이 경우 안정 상태 오류가 존재함을 확인할 수 있습니다.

많은 제어 시스템 책에서 램프 입력에 대한 1차 전달 함수의 안정 상태 오류는 시간 상수와 같다고 볼 수 있습니다. 위의 그림 2를 보면 이것이 사실임을 알 수 있습니다. t=3초에서 입력은 3이고 출력은 2.3입니다. 따라서 안정 상태 오류는 0.7이며, 이는 이 1차 전달 함수의 시간 상수와 같습니다.

다음 중요한 팁을 참고하세요:

입력이 포물선일 때 안정 상태 오류가 가장 높으며, 램프 입력에서는 일반적으로 낮고, 계단 입력에서는 더 낮습니다. 위의 설명에서처럼, 계단 입력에 대한 안정 상태 오류는 0이고, 램프 입력에 대한 안정 상태 오류는 0.7이며, 포물선 입력에 대한 안정 상태 오류는 ∞입니다.
안정 상태 오류는 입력에 따라 달라지지만, 안정성은 입력에 따라 달라지지 않습니다.

전송 함수를 가진 폐루프 제어 시스템을 고려해 보겠습니다

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

여기서 기호는 일반적인 의미를 가지고 있습니다. 시스템의 안정성은 분모 즉 '1+G(s)H(s)'에 의존합니다. '1+G(s)H(s) = 0'은 특성 방정식이라고 합니다. 그 근은 시스템의 안정성을 나타냅니다. 정상 상태 오차는 R(s)에 의존합니다.

폐루프 제어 시스템에서 오차 신호는 다음과 같이 계산할 수 있습니다 $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ 정상 상태 오차는 ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , 여기서 정상 상태 오차는 정상 상태에서 오차 신호의 값입니다. 이를 통해 정상 상태 오차가 R(s)에 의존함을 알 수 있습니다.

위에서 언급했듯이 안정성은 분모 즉 1 + G(s)H(s)에 의존합니다. 여기서 ‘1’은 상수이므로, 안정성은 G(s)H(s)에 의존합니다. 이는 방정식에서 변경될 수 있는 부분입니다. 따라서 Bode 플롯, Nyquist 플롯은 G(s)H(s)를 사용하여 작성되지만, $\frac{C(s)}{R(s)}$ 의 안정성을 나타냅니다.
G(s)H(s)는 개루프 전달 함수라고 하며 $\frac{C(s)}{R(s)}$ 는 폐루프 전달 함수라고 합니다. 개루프 전달 함수 즉, G(s)H(s)의 분석을 통해 Bode 플롯과 Nyquist 플롯을 통해 폐루프 전달 함수의 안정성을 찾을 수 있습니다.

정상 상태 오차 예시

단위 계단 입력에 대한 정상 상태 오차

이제, 몇 가지 수치 예를 통해 폐루프 제어 시스템에서의 정상 상태 오차를 설명하겠습니다. 단위 계단 입력을 가진 제어 시스템으로 시작하겠습니다.

예제-1:

다음과 같은 제어 시스템(시스템-1)을 고려해 보겠습니다 (도표-3 참조):

참조 입력 'Rs'는 단위 계단 입력입니다.

시스템-1의 다양한 정상 상태 값은 도표-4에 표시되어 있습니다.

정상 상태 값 블록 다이어그램 — 도형 4: 제어 시스템의 다양한 정상 상태 값

오차 신호의 정상 상태 값이 0.5이므로 정상 상태 오차는 0.5입니다. 시스템이 안정적이고 다양한 신호가 일정하다면 다음과 같이 다양한 정상 상태 값을 얻을 수 있습니다:

전달 함수에서 $s\rightarrow 0$ 로 전달 함수의 정상 상태 이득을 얻을 수 있습니다.

출력은 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

단위 스텝 입력인 $R(s)$ = 단위 스텝 입력 = $\frac{1}{s}$ 으로 이를 재배열하면:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

출력의 정상 상태 값은 다음과 같습니다:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

위 방법을 사용하여 어떤 신호의 정상 상태 값을 계산할 수 있습니다. 예를 들어:

입력이 $R(s)= \frac{1}{s}$ (입력이 단위 계단 입력)

그 정상 상태 값= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

비슷하게 오류 신호는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

오차 신호의 정상 상태 값(즉, 정상 상태 오차)은 다음과 같습니다:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

또한, 도표 4에서 입력과 출력 간의 차이가 0.5임을 확인할 수 있습니다. 따라서 정상 상태 오차는 0.5입니다.

정상 상태 오차를 계산하는 또 다른 방법은 오차 상수를 찾는 것입니다:

위치 오차 계수 Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . 같은 답변을 찾게 됩니다.

입력이 단계 입력인 경우, 예를 들어 $R(s)=\frac{3}{s}$ (단계 입력이지만 단위 단계 입력은 아님), 정상 상태 오차는 ess= $\frac{3}{1+Kp}$

입력이 단위 램프 입력인 경우, 속도 오차 계수 Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

입력이 단위 포물선 입력인 경우 가속도 오류 계수 Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

오류 상수 Kp, Kv 및 Ka를 분석함으로써 정상 상태 오류가 입력에 어떻게 의존하는지 이해할 수 있습니다.

PI 제어기와 정상 상태 오류

PI 제어기(즉, 비례 제어기와 적분 제어기를 결합한 것)는 정상 상태 오류(ess)를 줄이지만 안정성에 부정적인 영향을 미칩니다.

PI 제어기는 시스템의 정상 상태 오류를 줄이는 장점이 있지만 시스템의 안정성을 감소시키는 단점이 있습니다.

PI 제어기는 안정성을 감소시킵니다. 이는 감쇠가 감소하고 피크 오버슈트와 정착 시간이 증가한다는 것을 의미합니다. 특성 방정식의 근(폐루프 전달 함수의 극점)이 허수축에 더 가까워집니다. PI 제어기로 인해 시스템 차수가 증가하여 안정성이 감소하는 경향이 있습니다.

두 개의 특성 방정식을 고려해 보겠습니다. 하나는 s3+ s2+ 3s+20=0이고, 다른 하나는 s2+3s+20=0입니다. 관찰만으로도 첫 번째 방정식과 관련된 시스템이 두 번째 방정식과 관련된 시스템보다 안정성이 낮다는 것을 알 수 있습니다. 방정식의 근을 찾아 이를 확인할 수 있습니다. 따라서 고차 특성 방정식은 낮은 안정성을 가짐을 이해할 수 있습니다.

이제 시스템-1(그림-3)에 PI 제어기(비례 플러스 적분 제어기)를 추가하고 결과를 검토하겠습니다. 시스템-1에 PI 제어기를 삽입한 후 다양한 정상 상태 값은 그림-5에 표시됩니다. 출력이 참조 입력과 정확히 일치함을 볼 수 있습니다. PI 제어기의 장점 중 하나는 정상 상태 오류를 최소화하여 출력이 참조 입력을 따르도록 하는 것입니다.

PI Controller Block Diagram — 그림 5: PI 제어기의 효과를 이 다이어그램에서 볼 수 있습니다

PI 제어기의 전달 함수는 다음과 같이 계산할 수 있습니다 $Kp+\frac{Ki}{s}$ 또는 $\frac{Kps+Ki}{s}.$ 한 가지 질문을 할 수 있는데, 어떤 전달 함수의 입력이 0이면 그 출력도 0이어야 한다. 따라서 현재 경우 PI 제어기의 입력은 0이지만, PI 제어기의 출력은 유한한 값(즉, 1)입니다. 이러한 설명은 어떠한 제어 시스템 책에서도 제공되지 않으므로, 여기서 설명하겠습니다:

(1) 정상 상태 오차는 정확히 0이 아닌, 0으로 접근합니다. 마찬가지로 's'는 0이 아닌, 0으로 접근합니다. 따라서 어느 순간에 정상 상태 오차가 2x10-3일 때, 동시에 's' (특히 PI 제어기의 분모에서 말하는 's')도 2x10-3이므로, PI 제어기의 출력은 '1'입니다.

다른 제어 시스템을 고려해보겠습니다 (그림 6 참조):

Closed Loop Control System with PI Controller — 그림 6: PI 제어기를 사용한 폐루프 제어 시스템의 예

이 경우, 임의의 순간에 정상 상태 오차가 2x10-3이고, 동시에 's'가 4×10-3인 경우, PI 제어기의 출력은 '0.5'입니다. 즉, 'ess'와 's' 모두 0으로 접근하지만, 그 비율은 유한한 값입니다.

제어 시스템의 책에서는 s=0 또는 t=∞를 찾을 수 없습니다. 항상 다음을 찾게 됩니다
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) 두 번째 설명은 정상 상태 오차가 0이고, 's'도 정상 상태에서 0이라는 것입니다. PI 제어기의 전달 함수는 $\frac{Kps+Ki}{s}$ 입니다. 수학의 책에서는 $\frac{0}{0}$ 이 정의되지 않았으므로, 이는 임의의 유한값일 수 있습니다 (도표 7 참조).

(3) 세 번째 설명은, $\frac{1}{s}$ 이 적분기라는 것입니다. 입력이 0이고, 0의 적분은 정의되지 않습니다. 따라서 PI 제어기의 출력은 임의의 유한값일 수 있습니다.

오픈 루프 제어 시스템과 폐쇄 루프 제어 시스템의 기본적인 차이점

위의 설명을 바탕으로 오픈 루프 제어 시스템과 폐쇄 루프 제어 시스템의 기본적인 차이점을 설명하겠습니다. 제어 시스템의 책에서 오픈 루프 제어 시스템과 폐쇄 루프 제어 시스템의 차이점을 찾을 수 있지만, 위의 설명과 관련된 기본적인 차이점은 여기에 제시되며, 독자들에게 유용할 것으로 기대합니다.

오픈 루프 제어 시스템은 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

폐루프 제어 시스템(피드백 제어 시스템)은 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

플랜트의 전달 함수는 고정되어 있으며 (환경 변화, 외란 등으로 인해 플랜트의 전달 함수가 자동으로 변경될 수 있음), 모든 논의에서 H(s)=1로 가정하였습니다. 운영자는 제어기의 전달 함수를 제어할 수 있습니다 (즉, Kp, Kd, Ki 등의 파라미터).

제어기는 비례 제어기(P 제어기), PI 제어기, PD 제어기, PID 제어기, 퍼지 논리 제어기 등이 있을 수 있습니다. 제어기의 두 가지 목적은 (i) 안정성을 유지하는 것, 즉 감쇠율이 0.7-0.9 정도, 피크 오버슈트와 정착 시간이 낮아야 함 (ii) 정상 상태 오차가 최소화되어야 합니다 (최적은 0).

하지만 감쇠를 늘리려고 하면 정상 상태 오차가 증가할 수 있습니다. 따라서 제어기 설계는 안정성과 정상 상태 오차 모두를 제어할 수 있도록 해야 합니다. 제어기의 최적 설계는 광범위한 연구 주제입니다.

앞서 언급했듯이, PI 제어기는 정상 상태 오차(ess)를 크게 줄이지만, 안정성에 부정적인 영향을 미칩니다.

이제, 위 설명과 관련된 오픈 루프 제어 시스템과 폐루프 제어 시스템 간의 기본 차이점을 설명하겠습니다.

그림 10을 참조하십시오. 이는 오픈 루프 제어 시스템입니다.

입력이 단위 계단 입력이라고 가정합니다. 따라서 입력의 정상 상태 값은 ‘1’입니다. 출력의 정상 상태 값이 ‘2’라는 것을 계산할 수 있습니다. 어떤 이유로 인해 플랜트의 전달 함수 [G(s)]가 변경되면, 입력과 출력에 어떤 영향을 미칠까요? 답변은 플랜트의 입력은 변하지 않으며, 플랜트의 출력은 변경된다는 것입니다.

이제 그림-11 및 12를 고려해보겠습니다

그림-12: 클로즈드 루프 시스템, 플랜트 출력은 동일하지만 전달 함수 변경으로 인해 플랜트 입력이 변경됨

둘 다 클로즈드 루프 제어 시스템입니다. 그림-11에서, 어떤 이유로 인해 플랜트의 전달 함수가 변경되면, 입력과 출력에 어떤 영향을 미칠까요? 이 경우, 플랜트의 입력은 변경되며, 플랜트의 출력은 변경되지 않습니다. 플랜트의 출력은 참조 입력을 따르려고 합니다.

그림-12는 새로운 조건을 보여줍니다. 여기서 플랜트 파라미터가 변경되었습니다. 플랜트 입력이 0.5에서 0.476으로 변경되었음을 볼 수 있으며, 출력은 변경되지 않았습니다. 두 경우 모두 PI 컨트롤러의 입력은 0이며, PI 컨트롤러의 사양은 동일하지만 PI 컨트롤러의 출력은 다릅니다.

따라서, 오픈 루프 제어 시스템에서는 플랜트의 출력이 변경되며, 클로즈드 루프 제어 시스템에서는 플랜트의 입력이 변경된다는 것을 이해할 수 있습니다.

제어 시스템 관련 서적에서는 다음과 같은 문구를 찾을 수 있습니다:

"플랜트 전달 함수의 매개변수가 변동되는 경우, 폐루프 제어 시스템은 개루프 제어 시스템보다 덜 민감하다"(즉, 폐루프 제어 시스템의 출력 변동이 개루프 제어 시스템보다 적다).

이 기사에서 제시된 예제를 통해 위 명제가 더 명확해지길 바랍니다.

___________________________________________________________________

*Electrical4U 독자 여러분, 이 기사의 목적은 책에 이미 있는 주제를 재생산하는 것이 아니라, 복잡한 제어 공학의 다양한 주제를 쉬운 언어와 수치 예제로 설명하는 것입니다. 우리는 이 기사가 여러분이 정상 상태 오차 및 PI 제어기의 다양한 복잡성을 이해하는 데 도움이 되길 바랍니다.

작가에게 팁을 주고 격려하세요

주제:

전력 시스템

제어 시스템

전문가 정보

Electrical4u

China