Stāvīgais kļūdas koeficients: Kas tas ir? (Stāvīgais ieguves koeficients vērtība un formula)

Lauks: Pamata elektrotehnika

China

Kas ir stacionārā stāvokļa kļūda

Kas ir stacionārā stāvokļa kļūda?

Stacionārā stāvokļa kļūda definēta kā atšķirība starp vēlamo vērtību un faktisko sistēmas izvades vērtību robežā, kad laiks tiecas uz bezgalību (t.i., kad kontroles sistēmas atbilde sasniedz stacionāro stāvokli).

Stacionārā stāvokļa kļūda ir ieejas/izejas atbildes īpašība lineārajai sistēmai. Vispārīgi runājot, laba kontroles sistēma būs tā, kurai ir zema stacionārā stāvokļa kļūda.

Sākumā mēs apspriedīsim stacionārā stāvokļa kļūdu pirmās kārtas pārnesamajā funkcijā, analizējot tās stacionāro atbildi. Apsvermēsim šādu pārnesamo funkciju:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Šī ir vienkārša pirmās kārtas pārnesamā funkcija, ar ieguvumu, kas vienāds ar vienu, un laika konstanti 0,7 sekundes. Jāņem vērā, ka to sauc par pirmās kārtas pārnesamo funkciju, jo 's' saucējā ir augstākais pakāpes skaitlis '1'. Ja tas būtu $0.7s^2 + 1$ , tad tā būtu otrās kārtas pārnesamā funkcija.

Šīs pārnesamās funkcijas atbilde uz stacionāro ievadi ir parādīta 1. attēlā. Redzams, ka stacionārā stāvoklī izvade ir tieši vienāda ar ievadi. Tāpēc stacionārā stāvokļa kļūda ir nulle.

Pirmais kārtas pārnesuma funkcijas laika atbilde pret solījuma ievadi. — Figūra-1: Tas ir pirmās kārtas pārnesuma funkcijas laika atbilde pret solījuma ievadi. Redzams, ka pastāvīgā stāvokļa kļūda ir nulle

Šīs funkcijas atbilde uz vienības rampas ievadi parādīta Figūrā-2. Redzams, ka pastāvīgajā stāvoklī ir atšķirība starp ievadi un izvadi. Tātad, vienības rampas ievadei pastāvīgā stāvokļa kļūda eksistē.

Pirmais kārtas pārnesuma funkcijas laika atbilde pret rampas ievadi. — Figūra-2: Tas ir pirmās kārtas pārnesuma funkcijas laika atbilde pret rampas ievadi. Redzams, ka šajā gadījumā pastāvīgā stāvokļa kļūda eksistē

Daudzos kontrolsistema grāmatos var atrast, ka pret rampas ievadi pirmās kārtas pārnesuma funkcijas pastāvīgā stāvokļa kļūda ir vienāda ar laiku konstanti. No Figūras-2 augšējās daļas redzams, ka tas ir taisnība. Pie t=3 sekundēm ievade ir 3, bet izvade ir 2.3. Tātad, pastāvīgā stāvokļa kļūda ir 0.7, kas ir vienāda ar laiku konstanti šai pirmās kārtas pārnesuma funkcijai.

Lūdzu, ņemiet vērā šādus svarīgus padomus:

Pastāvīgā stāvokļa kļūda ir vislielākā, ja ievade ir paraboliska, parasti mazāka rampas ievadei un vēl mazāka solījuma ievadei. Kā minēts iepriekšējā izskaidrojumā, pastāvīgā stāvokļa kļūda ir nulle pret solījuma ievadi, un 0.7 pret rampas ievadi, un tā var būt ∞ pret parabolisku ievadi.
Jāņem vērā, ka pastāvīgā stāvokļa kļūda atkarīga no ievades, bet stabilitāte no ievades neatkarīga.

Apsverstīsim slēgtu kontroles sistēmu ar pārnesuma funkciju

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Kur simboliem ir parastā nozīme. Sistēmas stabilitāte atkarīga no saucēja, t.i., '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' tiek dēvēts par karakteristikas vienādojumu. Tā saknes norāda uz sistēmas stabilitāti. Stacionārā kļūda atkarīga no R(s).

Slēgtajā kontroles sistēmā kļūdas signāls var tikt aprēķināts kā $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Stacionārā kļūda var tikt atrasta kā ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , kur stacionārā kļūda ir kļūdas signāla vērtība stacionārajā stāvoklī. No šejienes mēs redzam, ka stacionārā kļūda atkarīga no R(s).

Kā minēts iepriekš, stabilitāte atkarīga no saucēja, t.i., 1 + G(s)H(s). Šeit '1' ir konstante, tāpēc stabilitāte atkarīga no G(s)H(s), kas ir daļa no vienādojuma, kas var mainīties. Tātad, jūs varat saprast Bode diagrammu, Nyquist diagrammu, kas zīmētas ar palīdzību G(s)H(s), bet tās norāda uz stabilitāti C(s)/R(s).

G(s)H(s) tiek saukts par atvērtā ceļa pārnesamības funkciju, un $\frac{C(s)}{R(s)}$ tiek saukts par slēgtā ceļa pārnesamības funkciju. Analizējot atvērtā ceļa pārnesamības funkciju, t.i., G(s)H(s), mēs varam atrast slēgtā ceļa pārnesamības funkcijas stabilitāti caur Bode diagrammu un Nyquist diagrammu.

Stāvējošā stāvokļa kļūdas piemēri

Stāvējošā stāvokļa kļūda vienības solis ievadei

Tagad mēs izskaidrosim, kā stāvējošā stāvokļa kļūda slēgtā ceļa kontrolēšanas sistēmā, izmantojot dažus skaitliskos piemērus. Sāksim ar kontrolēšanas sistēmu ar vienības solis ievadi.

Piemērs-1:

Apsveriet šādu kontrolēšanas sistēmu (sistēma-1), kā parādīts 3. attēlā:

3. attēls: Slēgta ceļa kontrolēšanas sistēma

Atsauce 'Rs' ir vienības solis ievade.

Dažādas sistēmas-1 stāvējošās stāvokļa vērtības parādītas 4. attēlā.

Stāvokļa vērtības bloksschema — Attēls-4: Dažādas stāvokļa vērtības kontroles sistēmā

Redzams, ka kļūdas signāla stāvokļa vērtība ir 0,5, tātad stāvokļa kļūda ir 0,5. Ja sistēma ir stabila un dažādi signāli ir nemainīgi, tad var iegūt šādas stāvokļa vērtības:

Pārnesamās funkcijas izteiksmē, kad $s\rightarrow 0$ , jūs iegūsit pārnesamās funkcijas stāvokļa guvumu.

Izvadi var aprēķināt šādi:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Atcerieties, ka $R(s)$ = vienības solis ieeja = $\frac{1}{s}$ , mēs varam to pārrakstīt šādi:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Izpilnītā vērtība izvadā ir:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Mēs varam izmantot šo metodi, lai aprēķinātu jebkura signāla izpilnīto vērtību. Piemēram:

Ievads ir $R(s)= \frac{1}{s}$ (ievads ir vienības solis ievads)

Tā izpilnītā vērtība ir $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Līdzīgi kļūdas signāls var tikt aprēķināts kā:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stāvokļa kļūdas signāla mērķa vērtība (t.i., stacionārā kļūda) ir:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Tāpat no 4. figūras redzams, ka ievades un izvades starpība ir 0,5. Tādējādi stacionārā kļūda ir 0,5.

Cits veids, kā aprēķināt stacionāro kļūdu, ietver kļūdas konstantu meklēšanu, šādi:

Aprēķiniet pozicionālā kļūdaindекса Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , jūs atradīsiet Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Jūs iegūsit to pašu atbildi.

Ja ievade ir solis ievade, piemēram, $R(s)=\frac{3}{s}$ (tas ir solis ievade, bet nav vienības solis ievade), tad stacionārā kļūda ir ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Ja ievade ir vienības rampas ievade, tad aprēķiniet ātruma kļūdaindexu Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Ja ievade ir vienības parabola, tad aprēķina, paātrinājuma kļūdas koeficients Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Analizējot kļūdas konstantes Kp, Kv un Ka, var izprast, kā pastāvīgais stāvoklis atkarīgs no ievades.

PI kontrolētājs un pastāvīgais stāvoklis

PI kontrolētājs (t.i., proporcionālais kontrolētājs plus integrālais kontrolētājs) samazina pastāvīgo stāvokli (ess), bet negatīvi ietekmē stabilitāti.

PI kontrolētājiem ir priekšrocība, ka tie samazina sistēmas pastāvīgo stāvokli, bet arī trūkums, jo tie samazina sistēmas stabilitāti.

PI kontrolētājs samazina stabilitāti. Tas nozīmē, ka dambingums samazinās; virsā pārklājums un uzturēšanās laiks palielinās, tāpat arī PI kontrolētāja dēļ sistēmas kārtas skaitlis palielinās, kas tendē uz stabilitātes samazināšanos.

Apcerēsim divus raksturīgu vienādojumus, viens ir s3+ s2+ 3s+20=0, otrs ir s2+3s+20=0. Vienkārši novērojot, var secināt, ka sistēma, kas saistīta ar pirmo vienādojumu, ir mazāk stabila salīdzinājumā ar otro vienādojumu. To var apstiprināt, atrisinot vienādojuma saknes. Tātad, jūs varat saprast, ka augstākas kārtas raksturīgie vienādojumi ir mazāk stabili.

Tagad pievienosim vienu PI kontrolētāju sistēmai-1 (Attēls-3) un pārbaudīsim rezultātus. Pēc PI kontrolētāja ieviešanas sistēmā-1, dažādi pastāvīgi stāvokļi ir parādīti Attēlā-5, redzams, ka izvade ir tieši vienāda ar referenci. Tas ir PI kontrolētāja priekšrocība, ka tas minimizē pastāvīgo kļūdu, lai izvade censtos sekot referencēm.

PI Controller Block Diagram — Attēls-5: PI kontrolētāja efekts ir redzams šajā diagrammā

PI kontrolētāja pārnestā funkcija var tikt aprēķināta kā $Kp+\frac{Ki}{s}$ vai $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Varētu jautāt, ka ja kādas pārnestās funkcijas ievads ir nulle, tad tās izvade arī būtu nulle. Tāpēc, šajā gadījumā PI kontrolētāja ievads ir nulle, bet PI kontrolētāja izvade ir galīga vērtība (t.i., 1). Šis skaidrojums nav dots nevienā kontroles sistēmu grāmatā, tāpēc mēs to izskaidrosim šeit:

(1) Stabilā stāvokļa kļūda nav tieši nulle, tā tendē uz nulli, līdzīgi ‘s’ nav vienāds ar nulli, tā tendē uz nulli. Tāpēc, pieņemsim, ka kādā mirkļa stabilā stāvokļa kļūda ir 2x10-3, vienlaikus ‘s’ (konkrēti runājam par ‘s’ saucējā PI kontrolētājā) arī ir vienāds ar 2x10-3, tāpēc PI kontrolētāja izvade ir ‘1’.

Apsveram citu kontroles sistēmu, kas attēlota Attēlā-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Attēls-6: Piemērs slēgtā kontures kontroles sistēmai ar PI kontrolētāju

Šajā gadījumā, mēs varam teikt, ka kādā mirkļa, pieņemsim, ka stabilā stāvokļa kļūda ir 2x10-3, vienlaikus ‘s’ ir vienāds ar 4×10-3; tāpēc PI kontrolētāja izvade ir ‘0.5’. Tas nozīmē, ka gan ‘ess’ un ‘s’ abas tendē uz nulli, bet to attiecība ir galīga vērtība.

Kontrolsistēmu grāmatās jūs nekad neatradīsiet s=0 vai t=∞; vienmēr jūs atradīsiet
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Otra izskaidrojuma variācija ir tā, ka stacionārā kļūda ir nulle, 's' arī ir nulle stacionārajā stāvoklī. PI regulatora pārnesuma funkcija ir $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Matemātikas grāmatās jūs atradīsiet, ka $\frac{0}{0}$ nav definēts, tāpēc tas var būt jebkura galīga vērtība (sk. Attēls-7).

PI Controller — Attēls-7: Pārnesuma funkcijai ievads ir nulle, bet izvade ir galīga vērtība

(3) Trešais izskaidrojums ir, ka $\frac{1}{s}$ ir integrators. Ievads ir nulle, nulles integrālis nav definēts. Tāpēc PI regulatora izvade var būt jebkura galīga vērtība.

Viens pamatelements atšķirībā starp atvērtu loku kontrolsistemām un slēgtu loku kontrolsistemām

Atsaucoties uz iepriekš minēto izskaidrojumu, mēs izskaidrosim vienu no pamatelementiem atšķirībā starp atvērto loku kontrolsistemām un slēgto loku kontrolsistemām. Atšķirības starp atvērto loku kontrolsistemām un slēgto loku kontrolsistemām jūs varat atrast jebkurā kontrolsistemām veltītajā grāmatā*, bet viens no pamatelementiem, kas saistīts ar iepriekš minēto izskaidrojumu, tiek sniegts šeit, un mēs ceram, ka tas būs noderīgs lasītājiem.

Atvērta loka kontrolsistema var tikt attēlota šādi:

Atvērtās smugurcēļa kontroles sistēma — Attēls-8: Tas ir standarta atvērtās smugurcēļa kontroles sistēmas diagramma

Aizvērtās smugurcēļa kontroles sistēmu (atspīduma kontroles sistēmu) var attēlot šādi:

Aizvērtās smugurcēļa kontroles sistēma — Attēls-9: Tas ir standarta aizvērtās smugurcēļa kontroles sistēmas diagramma

Objekta pārnesamā funkcija ir fiksēta (objekta pārnesamā funkcija var automātiski mainīties dēļ vides maiņas, traucējumiem utt.). Visos mūsu apspriedēs mēs esam pieņēmuši H(s)=1; Operators var kontrolēt kontrollera pārnesamās funkcijas parametrus (piemēram, Kp, Kd, Ki) utt.

Kontrollers var būt proporcionālais kontrollers (P kontrollers), PI kontrollers, PD kontrollers, PID kontrollers, neēta logika kontrollers utt. Kontrollera divi mērķi ir (i) uzturēt stabilitāti, t.i. dempfējana jābūt aptuveni 0.7-0.9, virsūtrumu un stabilizācijas laiku jāsamazina (ii) stacionārā kļūda jābūt minimālai (tā jābūt nullei).

Tomēr, ja mēģināsim palielināt dempfējano, tad stacionārā kļūda var palielināties. Tāpēc kontrollera dizainam jābūt tādam, ka gan stabilitāte, gan stacionārā kļūda tiek kontrolētas. Optimāla kontrollera dizaina ir plašs pētījumu temats.

Tiek rakstīts agrāk, ka PI kontrollers drastiski samazina stacionāro kļūdu (ess), bet tas negatīvi ietekmē stabilitāti.

Tagad mēs izskaidrosim vienu pamata atšķirību starp atvērtās smugurcēļa kontroles sistēmu un aizvērtās smugurcēļa kontroles sistēmu, kas saistīta ar iepriekšējo izskaidrojumu.

Apsveriet Attēlu-10; tas ir atvērtās smugurcēļa kontroles sistēma.

Pieņemsim, ka ievade ir vienības solis ievade. Tātad, stacionārā ievades vērtība ir '1'. Var aprēķināt, ka stacionārā izvades vērtība ir '2'. Ja kādēļ plantes pārejas funkcija [G(s)] mainās, kāds būs ietekme uz ievadi un izvadi? Atbilde ir tāda, ka plantes ievade nemainīsies, bet plantes izvade mainīsies.

Tagar apsvērsim Figuras-11 un 12

Figura-11: Aizvērts lūksa kontrolsistema

Figura-12: Aizvērts lūksa sistema, plantes izvade ir nemainīga, bet plantes ievade mainās tālumā pārejas funkcijas dēļ

Abi ir aizvērti lūksi kontrolsistēmas. Figurā-11, ja plantes pārejas funkcija mainās kādu iemeslu dēļ, kāda būs ietekme uz ievadi un izvadi? Šajā gadījumā, plantes ievade mainīsies, bet plantes izvade paliks nemainīga. Plantes izvade mēģina sekot referenčskai ievadei.

Figura-12 parāda jaunos apstākļos, kad plantes parametri ir mainīti. Jūs varat redzēt, ka plantes ievade ir mainīta no 0.5 uz 0.476, savukārt izvade nav mainījusies. Abos gadījumos ievade PI kontrolerim ir nulle, PI kontrolera specifikācijas ir vienādas, bet PI kontrolera izvade ir dažāda.

Tātad, jūs varat saprast, atvērtā lūksa kontrolsistemā plantes izvade mainās, bet aizvērtā lūksa kontrolsistemā plantes ievade mainās.

Kontrolsistemām paredzētos grāmatos jūs varat atrast šādu teikumu:

"Gadījumā, ja rūpnas pārnesfunkcijas parametri mainās, slēgtais kontroles sistēmas cikls ir mazāk jūtīgs nekā atvērtais kontroles sistēmas cikls" (t.i., slēgtās kontroles sistēmas izvades maiņa ir mazāka nekā atvērtās kontroles sistēmas).

Cerams, ka šis apgalvojums kļūs skaidrāks ar piemēriem, kas sniegti šajā rakstā.

___________________________________________________________________

*Dārgie IEE-Business lasītāji, lūdzu, ņemiet vērā, ka šī raksta mērķis nav atkārtot tēmas, kas jau pieejamas grāmatās; mūsu mērķis ir iedrošināt dažādas sarežģītas kontrolēšanas inženierijas tēmas vieglā valodā ar numuriskiem piemēriem. Ceram, ka šis raksts būs noderīgs, lai saprastu dažādas sarežģītības par stacionāro kļūdu un PI regultoriem.

Paziņojums: Cienīt originālo, labus rakstus vērts dalīties, ja ir pārkāpumi, lūdzu, sazinieties, lai dzēst.

Dodot padomu un iedrošināt autoru

Tēmas:

Elektroapgādes sistēmas

Uzdevuma sistēmas

Par ekspertiem

Electrical4u

China