خطأ ثابت: ما هو؟ (مكاسب الثبات، القيمة والصيغة)

حقل: الكهرباء الأساسية

China

ما هو الخطأ الثابت؟

الخطأ الثابت يُعرَّف بأنه الفرق بين القيمة المطلوبة والقيمة الفعلية للإخراج النظام في النهاية عندما يتجه الزمن إلى اللانهاية (أي عندما يصل استجابة نظام التحكم إلى حالة ثابتة).

الخطأ الثابت هو خاصية من خصائص استجابة الإدخال والإخراج لنظام خطي. بشكل عام، سيكون نظام التحكم الجيد هو ذلك الذي يتمتع بخطأ ثابت منخفض.

أولاً، سنناقش الخطأ الثابت في دالة التحويل من الدرجة الأولى عن طريق تحليل استجابتها الثابتة. دعونا نعتبر دالة التحويل التالية:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

هذه هي دالة تحويل بسيطة من الدرجة الأولى، لها مكسب يساوي واحد وثابت زمني قدره 0.7 ثانية. لاحظ أنها تُعرف بدالة تحويل من الدرجة الأولى لأن 's' في المقام له أعلى قوة وهي '1'. لو كان بدلاً من ذلك $0.7s^2 + 1$ ، فإنها ستكون دالة تحويل من الدرجة الثانية بدلاً من ذلك.

يظهر استجابة هذه دالة التحويل لإدخال ثابت في الشكل-1. يمكن رؤية أن في الحالة الثابتة، يكون الإخراج مساوياً تماماً للإدخال. وبالتالي فإن الخطأ الثابت يساوي الصفر.

الشكل 1: هو رد فعل الزمن لدالة التحويل من الدرجة الأولى تجاه الإدخال الخطوة. يمكن رؤية أن الخطأ الثابت الصفر

يظهر رد فعل هذه الدالة على إدخال الميل الوحدوي في الشكل 2. يمكن رؤية وجود فرق بين الإدخال والخرج في حالة الثبات. لذا، يوجد خطأ ثابت ضد إدخال الميل الوحدوي.

الشكل 2: هو رد فعل الزمن لدالة التحويل من الدرجة الأولى تجاه إدخال الميل. يمكن رؤية وجود خطأ ثابت في هذه الحالة

لاحظ أنه في العديد من كتب أنظمة السيطرة، يمكنك العثور على أن الخطأ الثابت ضد إدخال الميل للدالة التحويلية من الدرجة الأولى يساوي الثابت الزمني. من خلال ملاحظة الشكل 2 أعلاه، يمكننا أن نرى أن هذا صحيح. عند t=3 ثانية، يكون الإدخال 3 بينما يكون الخرج 2.3. لذا فإن الخطأ الثابت هو 0.7، وهو يساوي الثابت الزمني لهذه الدالة التحويلية من الدرجة الأولى.

يرجى ملاحظة النصائح الهامة التالية:

يكون الخطأ الثابت أعلى إذا كان الإدخال قطبيًا، ويكون أقل بشكل عام ضد إدخال الميل، ويكون أقل ضد إدخال الخطوة. كما في الشرح أعلاه، يكون الخطأ الثابت صفرًا ضد إدخال الخطوة، و0.7 ضد إدخال الميل ويمكن العثور على أنه ∞ ضد إدخال القطع المكافئ.
يجب ملاحظة أن الخطأ الثابت يعتمد على الإدخال، بينما لا يعتمد الاستقرار على الإدخال.

لنعتبر نظام تحكم مغلق له دالة التحويل

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

حيث أن الرموز لها معناها المعتاد. تعتمد استقراريت النظام على المقام أي '1+G(s)H(s)'. يُسمى المعادلة الخصائصية بـ '1+G(s)H(s) = 0'. تشير جذورها إلى استقرار النظام. تعتمد الخطأ الثابت على R(s).

في نظام التحكم المغلق، يمكن حساب إشارة الخطأ كـ $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ يمكن العثور على الخطأ الثابت كـ ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ ، حيث أن الخطأ الثابت هو قيمة إشارة الخطأ في حالة الثبات. من هذا نرى أن الخطأ الثابت يعتمد على R(s).

كما ذُكر أعلاه، تعتمد الاستقراريت على المقام أي 1 + G(s)H(s). هنا '1' ثابت، لذا تعتمد الاستقراريت على G(s)H(s)، وهي الجزء المتغير من المعادلة. لذا يمكنك فهم رسم بودي، ورسم نيكيست يُرسم بمساعدة G(s)H(s)، لكنهما يشاركان في استقرار $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
يُطلق على G(s)H(s) اسم دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة و $\frac{C(s)}{R(s)}$ يُطلق عليها اسم دالة التحويل ذات الحلقة المغلقة. من خلال تحليل دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة أي G(s)H(s)، يمكننا تحديد استقرار دالة التحويل ذات الحلقة المغلقة عبر رسم بيود ورسم نايكيست.

أمثلة على الخطأ الثابت

الخطأ الثابت لمدخل خطوة الوحدة

الآن، سنشرح الخطأ الثابت في نظام التحكم ذو الحلقة المغلقة ببعض الأمثلة العددية. سنتابع مع نظام التحكم بمدخل خطوة الوحدة.

مثال-1:

لنفترض النظام التالي (نظام-1) كما هو موضح في الشكل-3:

Closed Loop Control System — الشكل-3: نظام التحكم ذو الحلقة المغلقة

المدخل المرجعي 'Rs' هو مدخل خطوة الوحدة.

تظهر القيم الثابتة المختلفة لنظام-1 في الشكل-4.

Steady State Value Block Diagram — الشكل ٤: قيم الثابتة المختلفة في نظام التحكم

يمكن ملاحظة أن قيمة الإشارة الخطأ الثابتة هي ٠.٥، وبالتالي فإن الخطأ الثابت هو ٠.٥. إذا كان النظام مستقرًا وثابت الإشارات المختلفة، يمكن الحصول على القيم الثابتة المختلفة كالتالي:

في دالة التحويل عند $s\rightarrow 0$ ، يمكنك الحصول على المكسب الثابت لدالة التحويل.

يمكنك حساب الإخراج كما يلي:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

مع تذكر أن $R(s)$ = إدخال خطوة الوحدة = $\frac{1}{s}$ ، يمكن إعادة ترتيب هذا إلى:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

قيمة الحالة الثابتة للإخراج هي:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

يمكننا استخدام الطريقة أعلاه لحساب قيمة الحالة الثابتة لأي إشارة. على سبيل المثال:

الإدخال هو $R(s)= \frac{1}{s}$ (الإدخال هو إشارة الخطوة الوحدوية)

قيمة حالتها الثابتة= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

وبالمثل، يمكن حساب إشارة الخطأ كما يلي:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

قيمة الخطأ الثابت للإشارة (أي الخطأ الثابت) هي:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

كما يمكن رؤيته من الشكل 4، فإن الفرق بين الإدخال والإخراج هو 0.5. لذا فإن الخطأ الثابت هو 0.5.

طريقة أخرى لحساب الخطأ الثابت تتضمن إيجاد ثوابت الخطأ، كما يلي:

احسب معامل الخطأ المكاني Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ ، ستجد أن Kp = 1، ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . ستصل إلى نفس الإجابة.

إذا كان الإدخال إدخال خطوة، مثل $R(s)=\frac{3}{s}$ (هو إدخال خطوة، ولكنه ليس إدخال خطوة وحدة)، فإن الخطأ الثابت هو ess= $\frac{3}{1+Kp}$

إذا كان الإدخال إدخال ميل وحدة، فاحسب معامل الخطأ السرعة Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ ، ess= $\frac{1}{Kv}$

إذا كان الإدخال هو إدخال مكافئ وحيد، فاحسب معامل الخطأ التسارعي Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ ، ess= $\frac{1}{Ka}$ .

من خلال تحليل الثوابت Kp، Kv و Ka، يمكنك فهم كيفية اعتماد الخطأ المستقر على الإدخال.

متحكم PI والخطأ المستقر

يقلل المتحكم PI (أي متحكم تناسبي زائد متكامل) من الخطأ المستقر (ess)، ولكنه له تأثير سلبي على الاستقرار.

للمتحكمات PI ميزة تقليل الخطأ المستقر للنظام، ولكن لها عيب في تقليل استقرار النظام.

يقلل المتحكم PI من الاستقرار. هذا يعني أن التخميد يقل؛ وتزداد الزيادة القصوى وقت الاستقرار بسبب المتحكم PI؛ الجذور المعادلة المميزة (أقطاب دالة التحويل المغلقة) في الجانب الأيسر ستقترب من المحور التخيل. كما يزيد النظام من الرتبة بسبب المتحكم PI، مما يميل إلى تقليل الاستقرار.

افترض معادلتين مميزتين، الأولى هي s³+ s²+ 3s+20=0، والثانية هي s²+3s+20=0. بمجرد الملاحظة، يمكننا أن نقول أن النظام المرتبط بالمعادلة الأولى له استقرار أقل مقارنة بالمعادلة الثانية. يمكنك التحقق منه عن طريق إيجاد جذور المعادلة. لذا، يمكنك فهم أن المعادلات المميزة ذات الرتبة العالية لها استقرار أقل.

الآن، سنضيف متحكم PI واحد (متحكم تناسبي زائد متكامل) في النظام-1 (الشكل-3) ونفحص النتائج. بعد إدراج المتحكم PI في النظام-1، تظهر قيم مستقرة مختلفة في الشكل-5، يمكن رؤية أن الإخراج مساوٍ تماماً للإدخال المرجعي. إنها ميزة المتحكم PI أنه يقلل من الخطأ المستقر بحيث يحاول الإخراج تتبع الإدخال المرجعي.

PI Controller Block Diagram — الشكل-5: يمكن رؤية تأثير متحكم PI في هذا المخطط

يمكن حساب دالة التحويل لمتحكم PI كالتالي $Kp+\frac{Ki}{s}$ أو $\frac{Kps+Ki}{s}.$ يمكن طرح سؤال وهو إذا كان الإدخال لأي دالة تحويل يساوي صفرًا، فإن خرجها يجب أن يكون صفرًا. لذا، في الحالة الحالية، يكون إدخال محكم PI هو الصفر، ولكن خرج محكم PI هو قيمة محدودة (أي 1). لا يتم تقديم هذا الشرح في أي كتاب لنظم التحكم، لذا سنقوم بتوضيحه هنا:

(1) الخطأ الثابت ليس بالضبط صفرًا، بل يتجه نحو الصفر، وبالمثل 's' ليست مساوية للصفر، بل تتجه نحو الصفر. لذا دعنا نفترض أنه في أي لحظة يكون الخطأ الثابت 2×10-3، وفي نفس الوقت يكون 's' (وبشكل خاص نتحدث عن 's' في مقام محكم PI) أيضًا مساوياً لـ 2×10-3، وبالتالي يكون خرج محكم PI هو '1'.

لنعتبر نظام تحكم آخر كما هو موضح في الشكل-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — الشكل-6: مثال لنظام تحكم مغلق مع محكم PI

في هذه الحالة، يمكننا القول أنه في أي لحظة، افترض أن الخطأ الثابت هو 2×10-3، وفي نفس الوقت يكون 's' مساوياً لـ 4×10-3؛ وبالتالي يكون خرج محكم PI هو '0.5'. وهذا يعني أن كل من 'ess' و 's' يتجهان نحو الصفر، ولكن نسبة بينهما هي قيمة محدودة.

في كتب أنظمة التحكم لن تجد أبداً s=0 أو t=∞؛ ستجد دائماً $s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) التفسير الثاني هو أن الخطأ الثابت يساوي صفر، وكذلك 's' يساوي صفر في الحالة الثابتة. دالة التحويل للتحكم PI هي $\frac{Kps+Ki}{s}$ . في كتب الرياضيات، ستجد أن $\frac{0}{0}$ غير محدد، لذا يمكن أن يكون أي قيمة منتهية (راجع الشكل 7).

PI Controller — الشكل 7: الإدخال إلى دالة التحويل يساوي صفر ولكن الإخراج هو قيمة منتهية

(3) التفسير الثالث هو، $\frac{1}{s}$ هو متكامل. الإدخال يساوي صفر، ومتكامل الصفر غير محدد. لذا فإن إخراج تحكم PI قد يكون أي قيمة منتهية.

الفروق الأساسية بين نظام التحكم ذو الحلقة المفتوحة ونظام التحكم ذو الحلقة المغلقة

بالإشارة إلى الشرح أعلاه، سنشرح الفرق الأساسي بين نظام التحكم ذو الحلقة المفتوحة ونظام التحكم ذو الحلقة المغلقة. يمكنك العثور على الفروق بين نظام التحكم ذو الحلقة المفتوحة ونظام التحكم ذو الحلقة المغلقة في أي كتاب لأنظمة التحكم*، ولكن الفرق الأساسي المرتبط بالشرح أعلاه موضح هنا ونأمل أنه سيكون مفيداً للقراء.

يمكن تمثيل نظام التحكم ذو الحلقة المفتوحة كما يلي:

يمكن تمثيل نظام التحكم ذو الحلقة المغلقة (نظام التحكم بالردود الفعل) كالتالي:

دالة التحويل للمنشأ ثابتة (يمكن تغيير دالة التحويل للمنشأ تلقائيًا بسبب التغيرات البيئية والاضطرابات وغيرها). في جميع مناقشاتنا، افترضنا أن H(s)=1؛ يمكن للمشغل السيطرة على دالة التحويل للمتحكم (أي معلمات المتحكم مثل Kp، Kd، Ki) وغيرها.

يمكن أن يكون المتحكم متحكمًا تناسبيًا (P controller)، أو متحكمًا PI، أو متحكمًا PD، أو متحكمًا PID، أو متحكمًا منطق ضبابي وغيرها. هناك هدفان للمتحكم (1) الحفاظ على الاستقرار، أي يجب أن يكون التخميد حوالي 0.7-0.9، ويجب أن يكون الذروة الزائدة ووقت الاستقرار قليلين (2) يجب أن يكون الخطأ الثابت في حالة الثبات أقل (يجب أن يكون صفراً).

ولكن إذا حاولنا زيادة التخميد فقد يزيد الخطأ الثابت في حالة الثبات. لذلك يجب تصميم المتحكم بحيث يكون كلاهما (الاستقرار والخطأ الثابت في حالة الثبات) تحت السيطرة. تصميم المتحكم الأمثل هو موضوع بحث واسع.

كما ذُكر سابقًا، يقلل المتحكم PI بشكل كبير من الخطأ الثابت في حالة الثبات (ess) ولكنه له تأثير سلبي على الاستقرار.

الآن، سنشرح الفرق الأساسي بين نظام التحكم ذو الحلقة المفتوحة ونظام التحكم ذو الحلقة المغلقة، والذي يتعلق بالشرح أعلاه.

انظر إلى الشكل-10؛ فهو نظام تحكم ذو حلقة مفتوحة.

نظام التحكم المفتوح — الشكل-10: نظام تحكم مفتوح

لنفترض أن الإدخال هو إدخال خطوة وحدة. لذا، فإن قيمة الإدخال في الحالة الثابتة هي '1'. يمكن حساب أن قيمة الإخراج في الحالة الثابتة هي '2'. فلنفترض أن هناك تغيير في دالة النقل [G(s)] للمصنع لأي سبب، ما سيكون تأثيره على الإدخال والإخراج؟ الجواب هو أن الإدخال إلى المصنع لن يتغير، بينما سيتغير إخراج المصنع.

الآن نعتبر الشكلين-11 و12

نظام التحكم المغلق — الشكل-11: نظام تحكم مغلق

الشكل-12: نظام مغلق، إخراج المصنع هو نفسه ولكن إدخال المصنع تغير بسبب تغيير في دالة النقل

كلاهما أنظمة تحكم مغلقة. في الشكل-11، لنفترض أن هناك تغيير في دالة النقل للمصنع لأي سبب، ما سيكون تأثيره على الإدخال والإخراج؟ في هذه الحالة، سيتغير الإدخال إلى المصنع، بينما سيظل إخراج المصنع غير متغير. يحاول إخراج المصنع اتباع الإدخال المرجعي.

يظهر الشكل-12 الظروف الجديدة، حيث تغيرت معلمات المصنع. يمكنك رؤية أن إدخال المصنع تغير من 0.5 إلى 0.476، بينما لم يتغير الإخراج. في كلا الحالتين، يكون الإدخال إلى متحكم PI صفرًا، والمواصفات لمتحكم PI هي نفسها ولكن الإخراج لمتحكم PI مختلف.

لذا، يمكنك فهم أنه في نظام التحكم المفتوح، يتغير إخراج المصنع بينما في نظام التحكم المغلق، يتغير الإدخال إلى المصنع.

في كتب الأنظمة الضابطة، يمكنك العثور على البيان التالي:

"في حالة تغير معلمات دالة التحويل للنظام، فإن نظام التحكم المغلق أقل حساسية مقارنة بنظام التحكم المفتوح" (أي أن التغير في الخرج لنظام التحكم المغلق أقل مقارنة بنظام التحكم المفتوح).

نأمل أن يكون البيان أعلاه أكثر وضوحاً مع الأمثلة المعطاة في هذا المقال.

___________________________________________________________________

*عزيزي قراء Electrical4U، يرجى ملاحظة أن الغرض من هذا المقال ليس إعادة إنتاج المواضيع المتاحة بالفعل في الكتب، بل هدفنا هو تقديم مواضيع مختلفة ومعقدة في هندسة التحكم بلغة سهلة ومثال عددي. نأمل أن يكون هذا المقال مفيدًا لكم لفهم مختلف التعقيدات حول الخطأ الثابت والمتحكمات PI.

بيان: احترم الأصلي، المقالات الجيدة مستحقة للتقاسم، إذا كان هناك انتهاك للحقوق يرجى الاتصال للحذف.

قدم نصيحة وشجع الكاتب

المواضيع:

أنظمة الطاقة

أنظمة التحكم

حول الخبراء

Electrical4u

China