Steady State Error: Vad är det? (Steady-State Gain, Värde & Formel)

Fält: Grundläggande elteknik

China

Vad är Steady State Error

Steady-state error definieras som skillnaden mellan den önskade värdet och det faktiska värdet av systemets utdata i gränsen när tiden går mot oändlighet (dvs. när kontrollsystemets svar har nått steady state).

Steady-state error är en egenskap hos inmatnings-/utmatningsresponsen för ett linjärt system. I allmänhet kommer ett bra kontrollsystem att vara ett som har en låg steady-state error.

Först kommer vi att diskutera steady-state error i en överföringsfunktion av första ordningen genom att analysera dess steady state respons. Låt oss överväga följande överföringsfunktion:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Detta är en enkel överföringsfunktion av första ordningen med en gain lika med ett och en tidkonstant på 0.7 sekunder. Observera att det kallas för en överföringsfunktion av första ordningen eftersom 's' i nämnaren har högsta potensen '1'. Om det istället varit $0.7s^2 + 1$ skulle det ha varit en överföringsfunktion av andra ordningen.

Responsen från denna överföringsfunktion till en steady-state inmatning visas i figur 1. Det kan ses att i steady-state är utdata exakt lika med inmatningen. Därför är steady-state felet noll.

Tidsrespons av första ordningens överföringsfunktion mot steginmatning. — Figur-1: Detta är tidsresponsen av en första ordningens överföringsfunktion mot steginmatning. Man kan se att det finns ingen statiskt tillståndsfejl

Responsen av denna funktion mot en enhetsrampinmatning visas i Figur-2. Man kan se att det i det statiska tillståndet finns en skillnad mellan inmatning och utmatning. Därför finns det en statiskt tillståndsfejl vid en enhetsrampinmatning.

Tidsrespons av första ordningens överföringsfunktion mot rampinmatning. — Figur-2: Detta är tidsresponsen av en första ordningens överföringsfunktion mot rampinmatning. Man kan se att det finns en statiskt tillståndsfejl i detta fall

Observera att i många regelteknikböcker kan du hitta att mot en rampinmatning är den statiska tillståndsfejlen för en första ordningens överföringsfunktion lika med tidkonstanten. Genom att observera Figur-2 ovan kan vi se att detta stämmer. Vid t=3 sekunder är inmatningen 3 medan utmatningen är 2,3. Därför är den statiska tillståndsfejlen 0,7, vilket motsvarar tidkonstanten för denna första ordningens överföringsfunktion.

Vänligen notera följande viktiga tips:

Den statiska tillståndsfejlen är högst om inmatningen är parabolisk, generellt lägre för rampinmatning och ännu lägre för en steginmatning. Som i ovanstående förklaring är den statiska tillståndsfejlen noll mot steginmatning, 0,7 mot rampinmatning och det kan finnas att den är ∞ mot parabolisk inmatning.
Det bör noteras att den statiska tillståndsfejlen beror på inmatningen, medan stabilitet inte beror på inmatningen.

Låt oss överväga ett stängt slussystem med överföringsfunktion

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Där symbolerna har sin vanliga betydelse. Systemets stabilitet beror på nämnaren dvs. '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' kallas karakteristisk ekvation. Dess rötter indikerar systemets stabilitet. Stabil tillståndsfel beror på R(s).

I ett stängt slussystem kan felfacket beräknas som $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Stabil tillståndsfel kan hittas som ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , där stabil tillståndsfel är värdet av felfacket i stabil tillstånd. Härifrån kan vi se att stabil tillståndsfel beror på R(s).

Som nämnts ovan beror stabiliteten på nämnaren dvs. 1 + G(s)H(s). Här är '1' konstant, så stabiliteten beror på G(s)H(s), vilket är den delen av ekvationen som kan ändras. Så, du kan förstå Bode-diagrammet, Nyquist-diagrammet ritas med hjälp av G(s)H(s), men de indikerar stabiliteten för $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) kallas en öppen sluten överföringsfunktion och $\frac{C(s)}{R(s)}$ kallas en stängd sluten överföringsfunktion. Genom analys av den öppna sluten överföringsfunktionen dvs G(s)H(s), kan vi hitta stabiliteten för en stängd sluten överföringsfunktion genom Bode-diagram & Nyquist-diagram.

Exempel på stillastående fel

Stillastående fel för en enhetsskrittinmatning

Nu kommer vi att förklara, stillastående fel i ett stängt sluten reglersystem med några numeriska exempel. Vi börjar med ett reglersystem med en enhetsskrittinmatning.

Exempel-1:

Betrakta följande reglersystem (system-1) som visas i figur-3:

Closed Loop Control System — Figur-3: Stängt sluten reglersystem

Referensinmatningen 'Rs' är en enhetsskrittinmatning.

Olika stillastående värden för system-1 visas i figur-4.

Steady State Value Block Diagram — Figur 4: Olika stabila värden i ett reglersystem

Det kan ses att det stabila värdet för felfacket är 0,5, vilket innebär att det stabila felet är 0,5. Om systemet är stabilt och olika signaler är konstanta kan olika stabila värden erhållas enligt följande:

I överföringsfunktionen som $s\rightarrow 0$ , kommer du att få det stabila förstärkningsvärdet för överföringsfunktionen.

Du kan beräkna utgången enligt följande:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Kom ihåg att $R(s)$ = enhetssteginmatning = $\frac{1}{s}$ , kan vi omarrangera detta till:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Det ständiga tillståndets värde för utgången är:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Vi kan använda ovanstående metod för att beräkna det ständiga tillståndets värde för vilket signal som helst. Till exempel:

Inmatning är $R(s)= \frac{1}{s}$ (inmatningen är en enhetlig steginmatning)

Dess ständiga tillståndets värde= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

På liknande sätt kan felfacket beräknas som:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Det stationära värdet av felets signal (dvs. det stationära felet) är:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Det går också att se från figur 4 att skillnaden mellan inmatning och utmatning är 0,5. Därför är det stationära felet 0,5.

En annan metod för att beräkna det stationära felet involverar att hitta felenheter, enligt följande:

Beräkna positionfelkoefficienten Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Du kommer att hitta Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Du kommer att hitta samma svar.

Om inmatningen är en steginmatning, säg $R(s)=\frac{3}{s}$ (det är en steginmatning, men inte en enhetssteginmatning), då är det stationära felet ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Om inmatningen är en enhetens rampinmatning, beräkna då hastighetsfelkoefficienten Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Om inmatningen är en enhetsparabelinmatning, beräkna då accelerationsfelkoefficienten Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Genom analys av felkonstanterna Kp, Kv och Ka, kan du förstå hur den stationära felet beror på inmatningen.

PI-regulator och stationärt fel

En PI-regulator (det vill säga en proportional regulator plus integralregulator) minskar det stationära felet (ess), men har en negativ effekt på stabiliteten.

PI-regulatorer har fördelen att minska det stationära felet i ett system, samtidigt som de har nackdelen att minska systemets stabilitеть.

En PI-regulator minskar stabiliteten. Detta betyder att dämpningen minskar; toppöverskott och stabiliserings tid ökar på grund av PI-regulator; Rötter till karakteristiska ekvationen (poler i sluten länk överföringsfunktion) på vänster sida kommer närmare imaginär axeln. Systemordningen ökar också på grund av PI-regulator, vilket tenderar att minska stabilitеть.

Betrakta två karakteristiska ekvationer, en är s3+ s2+ 3s+20=0, den andra är s2+3s+20=0. Genom observation kan vi säga att systemet relaterat till den första ekvationen har lägre stabilitеть jämfört med den andra ekvationen. Du kan verifiera det genom att hitta rötterna till ekvationen. Så, du kan förstå att högre ordningens karakteristiska ekvationer har lägre stabilitеть.

Nu kommer vi att lägga till en PI-regulator (Proportional Plus Integral controller) i system-1 (Figur-3) och undersöka resultaten. Efter att ha infogat en PI-regulator i system-1, visas olika stationära värden i figur-5, det kan ses att utdata är exakt lika med referensinmatningen. Det är en fördel med PI-regulatorn, att den minimerar det stationära felet så att utdata försöker följa referensinmatningen.

PI Controller Block Diagram — Figur-5: Effekten av PI-regulator kan ses i detta diagram

Överföringsfunktionen för en PI-regulator kan beräknas som $Kp+\frac{Ki}{s}$ eller $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Ett fråga som kan ställas är att om ingången till någon överföringsfunktion är noll, då borde utgången vara noll. Så, i det aktuella fallet är ingången till PI-regulatorn noll, men utgången från PI-regulatorn är ett ändligt värde (dvs. 1). Denna förklaring ges inte i något regelverk för reglersystem, så vi kommer att förklara det här:

(1) Stadytillståndets fel är inte exakt noll, det närmar sig noll, på samma sätt är 's' inte lika med noll, det närmar sig noll. Så antag att vid något tillfälle är stadytillståndets fel 2x10-3, samtidigt är 's' (vi talar specifikt om 's' i nämnaren av PI-regulatorn) också lika med 2x10-3, därför är utgången från PI-regulatorn '1'.

Låt oss betrakta ett annat reglersystem som visas i Figur-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Figur-6: Ett exempel på ett sluten reglersystem med PI-regulator

I detta fall kan vi säga, vid något tillfälle, antag att stadytillståndets fel är 2x10-3, samtidigt är 's' lika med 4×10-3; därför är utgången från PI-regulatorn '0.5'. Det betyder att både 'ess' och 's' närmar sig noll, men deras kvot är ett ändligt värde.

I reglerteknikens böcker hittar du aldrig s=0 eller t=∞; du kommer alltid att hitta
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Den andra förklaringen är att det statiska felet är noll, 's' är också noll i det statiska tillståndet. PI-regulatorns överföringsfunktion är $\frac{Kps+Ki}{s}$ . I matematikböcker hittar du att $\frac{0}{0}$ är odefinierat, så det kan vara vilket ändligt värde som helst (se figur-7).

PI Controller — Figur-7: Inmatning till överföringsfunktionen är noll men utdata är ett ändligt värde

(3) Tredje förklaringen är, $\frac{1}{s}$ är en integrator. Inmatningen är noll, integration av noll är odefinierat. Så utdata från PI-regulatoren kan vara vilket ändligt värde som helst.

En grundläggande skillnad mellan öppna och slutna reglersystem

I referens till ovanstående förklaring kommer vi att förklara en grundläggande skillnad mellan ett öppet reglersystem och ett sluttet reglersystem. Skillnader mellan öppna och slutna reglersystem hittar du i någon bok om reglersystem*, men en grundläggande skillnad som relaterar till ovanstående förklaring ges här och vi hoppas att den utan tvivel kommer att vara användbar för läsarna.

Ett öppet reglersystem kan representeras enligt följande:

Öppet slussystem — Figur-8: Detta är en diagram av standard öppet slussystem

Ett stängt slussystem (feedbackkontrollsystem) kan representeras som följer:

Överföringsfunktionen för anläggningen är fast (överföringsfunktionen för anläggningen kan ändras automatiskt på grund av miljöförändringar, störningar etc.). I alla våra diskussioner har vi antagit H(s)=1; En operatör kan styra överföringsfunktionen för reglern (dvs parametrar för reglern såsom Kp, Kd, Ki) etc.

Regeln kan vara proportionell regel (P-regel), PI-regel, PD-regel, PID-regel, Fuzzy logic-regel etc. Det finns två mål för en regel (i) att upprätthålla stabilitet, dvs. dempning bör vara runt 0,7-0,9, toppoverskott och stillaståendestid bör vara låga (ii) Stillastående fel bör vara minimalt (det bör vara noll).

Men om vi försöker öka dempningen kan det stillastående felet öka. Därför bör designen av regeln vara sådan att både (stabilitet & stillastående fel) ska vara under kontroll. Den optimala designen av regeln är ett brett forskningsområde.

Som tidigare nämnts, minskar PI-regeln det stillastående felet (ess) drastiskt, men har en negativ effekt på stabiliteten.

Nu kommer vi att förklara en grundläggande skillnad mellan öppet slussystem & stängt slussystem, vilket relaterar till ovanstående förklaring.

Betrakta Figur-10; det är ett öppet slussystem.

Låt oss anta att inmatningen är en enhetssteginmatning. Således är den stationära värdet av inmatningen '1'. Det kan beräknas att det stationära värdet av utmatningen är '2'. Antag att överföringsfunktionen [G(s)] för anläggningen ändras av någon anledning, vilken effekt kommer detta att ha på in- och utmatning? Svaret är att inmatningen till anläggningen inte kommer att förändras, men utmatningen från anläggningen kommer att förändras.

Nu överväg Figurer-11 &12

Båda är stängda slussystem. I Figur-11, antag att det finns en förändring i överföringsfunktionen för anläggningen av någon anledning, vilken effekt kommer detta att ha på in- och utmatning? I detta fall kommer inmatningen till anläggningen att förändras, medan utmatningen från anläggningen kommer att förbli oförändrad. Utmatningen från anläggningen försöker följa referensinmatningen.

Figur-12 visar de nya förhållandena, där anläggningens parametrar har ändrats. Du kan se att inmatningen till anläggningen har ändrats från 0,5 till 0,476, medan utmatningen inte har ändrats. I båda fallen är inmatningen till PI-regulatorn noll, specifikationerna för PI-regulatorn är desamma men utmatningen från PI-regulatorn är olika.

Så, du kan förstå, i ett öppet slussystem ändras utmatningen från anläggningen, medan i ett stängt slussystem ändras inmatningen till anläggningen.

I böcker om reglersystem kan du hitta följande uttalande:

"I fallet av parametervariation i överföringsfunktionen för anläggningen, är det slutna reglersystemet mindre känsligt jämfört med det öppna reglersystemet" (dvs variationen i utgången för det slutna reglersystemet är mindre jämfört med det öppna reglersystemet).

Vi hoppas att ovanstående påstående blir tydligare med exemplen som ges i denna artikel.

___________________________________________________________________

*Kära IEE-Business läsare, notera att syftet med denna artikel inte är att återge ämnen som redan finns tillgängliga i böcker, utan vårt mål är att presentera olika komplexa ämnen inom reglerteknik i enkelt språk med numeriska exempel. Vi hoppas att denna artikel kommer att vara till hjälp för er för att förstå olika komplexiteter om stillastående fel och PI-regulatorer.

Uttryck: Respektera det ursprungliga, godartade artiklar är värt att dela, om det finns intrång kontakta för borttagning.

Ge en tips och uppmuntra författaren

Ämnen:

Energisystem

Styrningssystem

Om experter

Electrical4u

China