Ստացիոնար սխալը. Ինչ է դա? (Ստացիոնար գումարային գործակից, արժեք և բանաձև)

դաշտ: Հիմնական էլեկտրական

China

What Is Steady State Error

Ինչ է կայուն վիճակի սխալը

Կայուն վիճակի սխալը սահմանվում է որպես համակարգի դիրքային արտադրանքի hait արժեքը և իրական արժեքը տարբերությունը անվերջության սահմանում (այսինքն, երբ կառավարման համակարգի պատասխանը հասնում է կայուն վիճակի)։

Կայուն վիճակի սխալը գծային համակարգի մուտք-ելքի պատասխանի հատկություն է։ Ընդհանուր առմամբ, լավ կառավարման համակարգը կլինի այն, որն ունի ցածր կայուն վիճակի սխալ։

Առաջինը, մենք քննարկելու ենք կայուն վիճակի սխալը առաջին կարգի փոխանցման ֆունկցիայում իր կայուն վիճակի պատասխանը վերլուծելով։ Դիտարկենք հետևյալ փոխանցման ֆունկցիան:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Սա պարզ առաջին կարգի փոխանցման ֆունկցիա է, որը ունի գեն 1 և ժամանակային հաստատուն 0.7 վայրկյան։ Նշենք, որ այն հայտնի է որպես առաջին կարգի փոխանցման ֆունկցիա, քանի որ 's'-ը հայտարարում ունի ամենաբարձր աստիճանը '1'։ Եթե այն նույնիսկ լիներ $0.7s^2 + 1$ , այն կլիներ երկրորդ կարգի փոխանցման ֆունկցիա։

Այս փոխանցման ֆունկցիայի պատասխանը կայուն մուտքի համար ցուցադրված է Գծագիր-1-ում։ Հասկանալի է, որ կայուն վիճակում ելքը ճիշտ է հավասար մուտքին։ Այսպիսով, կայուն վիճակի սխալը զրո է։

Առաջին կարգի փոխանցման ֆունկցիայի ժամանակային պատասխանը քայլային մուտքի դեպքում։ — Համառոտագրություն-1: Առաջին կարգի փոխանցման ֆունկցիայի ժամանակային պատասխանը քայլային մուտքի դեպքում: Ուշադրություն դարձրեք, որ հաստատուն վիճակի սխալը զրո է

Այս ֆունկցիայի պատասխանը միավոր սեղանի մուտքի դեպքում ցուցադրված է համառոտագրություն-2-ում: Մենք կարող ենք տեսնել, որ հաստատուն վիճակում մուտքի և ելքի միջև գոյություն ունի տարբերություն: Այսպիսով, միավոր սեղանի մուտքի դեպքում գոյություն ունի հաստատուն վիճակի սխալ:

Առաջին կարգի փոխանցման ֆունկցիայի ժամանակային պատասխանը սեղանի մուտքի դեպքում։ — Համառոտագրություն-2: Առաջին կարգի փոխանցման ֆունկցիայի ժամանակային պատասխանը սեղանի մուտքի դեպքում: Կարող ենք տեսնել, որ հաստատուն վիճակի սխալը գոյություն ունի այս դեպքում

Նշենք, որ շատ կառավարման համակարգերի գրքերում կարող եք գտնել, որ սեղանի մուտքի դեպքում առաջին կարգի փոխանցման ֆունկցիայի հաստատուն վիճակի սխալը հավասար է ժամանակային հաստատունին: Համառոտագրություն-2-ի դիտարկումից կարող ենք տեսնել, որ դա ճշմարիտ է: Երբ t=3 վայրկյաններ, մուտքը 3-ն է, իսկ ելքը 2.3-ն է: Այսպիսով, հաստատուն վիճակի սխալը 0.7-ն է, որը հավասար է առաջին կարգի փոխանցման ֆունկցիայի ժամանակային հաստատունին:

Խնդրում ենք ուշադրություն դարձնել հետևյալ կարևոր հուշումներին:

Հաստատուն վիճակի սխալը ամենաբարձր է, եթե մուտքը պարաբոլային է, ընդհանուր առմամբ ցածր է սեղանի մուտքի դեպքում և նույնիսկ ավելի ցածր է քայլային մուտքի դեպքում: Ինչպես վերը նշվեց, հաստատուն վիճակի սխալը զրո է քայլային մուտքի դեպքում, 0.7-ն է սեղանի մուտքի դեպքում, իսկ պարաբոլային մուտքի դեպքում անվերջ է:
Նշենք, որ հաստատուն վիճակի սխալը կախված է մուտքից, իսկ կայունությունը չի կախված մուտքից:

Դիտարկենք փակ ցիկլով կառավարման համակարգը, որի փոխանցման ֆունկցիան է

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Որտեղ սիմվոլները ունեն իրենց սովորական իմաստ։ Համակարգի կայունությունը կախված է հայտարարից, այսինքն՝ '1+G(s)H(s)'-ից։ '1+G(s)H(s) = 0' կոչվում է բնութագրական հավասարում։ Այդ հավասարման արմատները ցույց են տալիս համակարգի կայունությունը։ Ստացիոնար սխալը կախված է R(s)-ից։

Փակ ցիկլով կառավարման համակարգում սխալի համար կարող ենք հաշվել $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Ստացիոնար սխալը կարող է գտնվել որպես ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , որտեղ ստացիոնար սխալը սխալի սիգնալի արժեքն է ստացիոնար վիճակում։ Այստեղից կարող ենք տեսնել, որ ստացիոնար սխալը կախված է R(s)-ից։

Նշված է, որ կայունությունը կախված է հայտարարից, այսինքն՝ 1 + G(s)H(s)-ից։ Այստեղ '1' հաստատուն է, հետևաբար կայունությունը կախված է G(s)H(s)-ից, որը հավասարման այն մասն է, որը կարող է փոփոխվել։ Այսպիսով, կարող եք հասկանալ Բոդի դիագրամը,Նյուիստի դիագրամը նկարվում են G(s)H(s)-ի օգնությամբ, բայց նրանք ցույց են տալիս կայունությունը հետևյալ հավասարման համար՝ $\frac{C(s)}{R(s)}$ ։
G(s)H(s)-ը կոչվում է բաց շղթայի փոխանցման ֆունկցիա, իսկ $\frac{C(s)}{R(s)}$ կոչվում է փակ շղթայի փոխանցման ֆունկցիա։ Բաց շղթայի փոխանցման ֆունկցիայի անալիզի միջոցով, այսինքն G(s)H(s)-ի միջոցով, մենք կարող ենք գտնել փակ շղթայի փոխանցման ֆունկցիայի կայունությունը Bode-ի և Nyquist-ի դիագրամների միջոցով։

Ստացիոնար սխալի օրինակներ

Ստացիոնար սխալ միավոր քայլի ներառման դեպքում

Այժմ մենք կբացատրենք փակ շղթայի կառավարման համակարգում ստացիոնար սխալը մի քանի թվային օրինակներով։ Մենք կսկսենք միավոր քայլի ներառման հետ կառավարման համակարգից։
Օրինակ-1:
Դիտարկենք հետևյալ կառավարման համակարգը (համակարգ-1), որը ցուցադրված է Գծագրում-3-ում.

Գծագիր-3. Փակ շղթայի կառավարման համակարգ

Հղումը 'Rs' միավոր քայլի ներառում է։
Համակարգ-1-ի տարբեր ստացիոնար արժեքները ցուցադրված են Գծագրում-4-ում։

Նկար-4: Այլընտրանքային ստացիոնար արժեքներ կառավարման համակարգում

Հասկանալի է, որ սխալի նշանի ստացիոնար արժեքը 0.5 է, հետևաբար ստացիոնար սխալը 0.5 է: Եթե համակարգը կայուն է և տարբեր նշանները հաստատուն են, ապա տարբեր ստացիոնար արժեքները կարող են ստացվել հետևյալ կերպ:
Միացման ֆունկցիայում որպես $s\rightarrow 0$ , կստանաք միացման ֆունկցիայի ստացիոնար գնահատականը:
Կարող եք հաշվարկել ելքը հետևյալ կերպ:

   $\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Հիշեք, որ $R(s)$ = միավոր քայլի ներածումը = $\frac{1}{s}$ , կարող ենք վերադասավորել այսպես.

   $\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Ստացիոնար մուտքային արժեքը հետևյալն է.

   $\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Մենք կարող ենք օգտագործել վերը նշված եղանակը ցանկացած սញառվածքի ստացիոնար արժեքը հաշվելու համար։ Օրինակ.
Մուտքը է $R(s)= \frac{1}{s}$ (Մուտքը է միավոր քայլային մուտք)
Այդ ստացիոնար արժեքը է $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1:
Նմանապես, սխալի սիգնալը կարող է հաշվվել հետևյալ կերպ.

   $\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Ստացիոնար սպառնալի աշխատանքի ընթացքում սխալի հաստատուն արժեքը (այսինքն՝ ստացիոնար սխալը) է.

   $\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Այդ կերպ, գծագրից 4-ից երևում է, որ մուտքի և ելքի միջև տարբերությունը 0.5 է: Հետևաբար, ստացիոնար սխալը 0.5 է:
Ստացիոնար սխալը հաշվելու մեկ այլ եղանակ է սխալի հաստատունները գտնելը, հետևյալ կերպ.
Հաշվեք դիրքային սխալի գործակից Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Դուք կգտնեք Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Դուք կգտնեք նույն պատասխանը:
Եթե մուտքը քայլային մուտք է, ասենք $R(s)=\frac{3}{s}$ (դա քայլային մուտք է, բայց ոչ միավոր քայլային մուտք), ապա ստացիոնար սխալը է ess= $\frac{3}{1+Kp}$
Եթե մուտքը միավոր ռամպ մուտք է, ապա հաշվեք, արագության սխալի գործակից Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$
Եթե մուտքային տվյալը պարաբոլային է, ապա հաշվարկել, արագացման սխալի գործակից Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ :
Սխալի հաստատունների Kp, Kv և Ka վերլուծությամբ կարող եք հասկանալ, թե ինչպես կախված է հաստատուն վիճակի սխալը մուտքից:

PI կոնտրոլերը և հաստատուն վիճակի սխալը

PI կոնտրոլերը (այսինքն համեմատական կոնտրոլեր և ինտեգրալ կոնտրոլեր) նվազեցնում են հաստատուն վիճակի սխալը (ess), բայց ունեն բացասական ազդեցություն համակարգի կայունության վրա:
PI կոնտրոլերն ունեն առավոտը համակարգի հաստատուն վիճակի սխալը նվազեցնելու, սակայն ունեն բացասական ազդեցություն համակարգի կայունության վրա:
PI կոնտրոլերը նվազեցնում են համակարգի կայունությունը: Սա նշանակում է, որ դամպացումը նվազում է, առաջին գործակիցը և հաստատվող ժամանակը ավելանում են PI կոնտրոլերի պատճառով, բնութագրական հավասարման արմատները (փակ ցիկլի փոխանցման ֆունկցիայի բևեռները) ձախ կողմում կմոտենան պատկերային առանցքին: Համակարգի կարգը նույնպես ավելանում է PI կոնտրոլերի պատճառով, որը կայունությունը նվազեցնում է:
Դիտարկենք երկու բնութագրական հավասարումներ, մեկը s3+ s2+ 3s+20=0, մյուսը s2+3s+20=0: Պարզ դիտումով կարող ենք ասել, որ առաջին հավասարման համակարգն ունի ավելի ցածր կայունություն, քան երկրորդ հավասարումը: Դա կարող եք ստուգել հավասարման արմատները գտնելով: Այսպիսով, կարող եք հասկանալ, որ բարձր կարգի բնութագրական հավասարումները ունեն ավելի ցածր կայունություն:
Այժմ ավելացնենք մեկ PI կոնտրոլեր (համեմատական և ինտեգրալ կոնտրոլեր) համակարգ-1-ում (Գործանակ-3) և ստուգենք արդյունքները: PI կոնտրոլերի ավելացնելուց հետո համակարգ-1-ում հաստատուն վիճակի տարբեր արժեքները ցուցադրված են Գործանակ-5-ում, որտեղ երևում է, որ ելքը ճշմարիտ է հավասար մուտքային հղմանը: Սա PI կոնտրոլերի առավոտն է, որ նվազեցնում է հաստատուն վիճակի սխալը, որպեսզի ելքը փորձի հետևել մուտքային հղմանը:

Նկար 5: PI կոնտրոլերի ազդեցությունը կարող է դիտվել այս դիագրամում

PI կոնտրոլերի փոխանցման ֆունկցիան կարող է հաշվարկվել որպես $Kp+\frac{Ki}{s}$ կամ $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Մի հարց կարող է դրվել, որ եթե փոխանցման ֆունկցիայի մուտքը զրո է, ապա դրա ելքը նույնպես պետք է զրո լինի: Այսպիսով, ներկա դեպքում PI կոնտրոլերի մուտքը զրո է, բայց դրա ելքը վերջավոր արժեք է (այսինքն 1): Այս բացատրությունը չի տրվում ոչ մի կոնտրոլային համակարգի գրքում, ուստի մենք կբացատրենք այն այստեղ:
(1) Ստացիոնար սխալը ոչ ճիշտ է զրո, այլ ձգտում է զրոյի, նմանապես 's' նույնպես չի հավասար զրոյի, այլ ձգտում է զրոյի: Եթե որևէ պահի ստացիոնար սխալը 2x10-3, նույն ժամանակ 's' (հատկապես մենք խոսում ենք PI կոնտրոլերի հայտարարում 's'-ի մասին) նույնպես հավասար է 2x10-3, հետևաբար PI կոնտրոլերի ելքը է 1:
Դիտարկենք մեկ այլ կոնտրոլային համակարգ, որը ներկայացված է Նկար 6-ում:

Նկար 6: Փակ շղթայական կոնտրոլային համակարգի օրինակ ՝ PI կոնտրոլերով

Այս դեպքում կարող ենք ասել, որ որևէ պահի, եթե ստացիոնար սխալը 2x10-3, նույն ժամանակ 's' հավասար է 4×10-3; հետևաբար PI կոնտրոլերի ելքը է 0.5: Սա նշանակում է, որ և 'ess' և 's' երկուսն էլ ձգտում են զրոյի, բայց դրանց հարաբերությունը վերջավոր արժեք է:
Կառավարման համակարգերի գրքերում դուք չեք գտնելու s=0 կամ t=∞ գրառումներ, այլ միշտ կգտնեք $s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$
(2) Երկրորդ բացատրությունը այն է, որ ստացիոնար սխալը զրո է, 's' նույնպես զրո է ստացիոնար վիճակում։ PI կառավարողի փոխանցման ֆունկցիան է $\frac{Kps+Ki}{s}$ ։ Մաթեմատիկայի գրքերում դուք կգտնեք, որ $\frac{0}{0}$ որը անորոշ է, ուստի կարող է լինել ցանկացած վերջավոր արժեք (տես Գծագիր-7)։

Գծագիր-7. Փոխանցման ֆունկցիայի մուտքը զրո է, բայց ելքը վերջավոր արժեք է

(3) Երրորդ բացատրությունը այն է, որ $\frac{1}{s}$ ինտեգրատոր է։ Մուտքը զրո է, զրոյի ինտեգրումը անորոշ է։ Այսպիսով, PI կառավարողի ելքը կարող է լինել ցանկացած վերջավոր արժեք։
Բաց շղթայան և փակ շղթայան կառավարման համակարգերի մի հիմնական տարբերություն
Հաշվի առնելով վերը նշված բացատրությունը, մենք կբացատրենք բաց շղթայան և փակ շղթայան կառավարման համակարգերի մի հիմնական տարբերությունը։ Բաց շղթայան և փակ շղթայան կառավարման համակարգերի տարբերությունները կարող եք գտնել ցանկացած կառավարման համակարգերի գրքում, բայց այն հիմնական տարբերությունը, որը կապված է վերը նշված բացատրության հետ, ներկայացված է այստեղ, և մենք հույս ունենք, որ այն օգտակար կլինի ընթերցողների համար։
Բաց շղթայան կառավարման համակարգը կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով.

Նկար-8: Ստանդարտ բաց շղթայի կառավարման համակարգի դիագրամ

Փակ շղթայի կառավարման համակարգը (հետադրումով կառավարման համակարգը) կարող է ներկայացվել հետևյալ ձևով:

Նկար-9: Ստանդարտ փակ շղթայի կառավարման համակարգի դիագրամ

Միավորի փոխանցման ֆունկցիան սերտ է (Միավորի փոխանցման ֆունկցիան կարող է ավտոմատ փոփոխվել պայմանների, խառնարանների և այլն փոփոխությունների պատճառով): Մեր բոլոր քննարկումներում մենք ենթադրել ենք, որ H(s)=1; Օպերատորը կարող է կառավարել կառավարողի փոխանցման ֆունկցիան (այսինքն կառավարողի պարամետրերը, ինչպիսիք են Kp, Kd, Ki) և այլն:
Կառավարողը կարող է լինել համամասնական կառավարող (P կառավարող), PI կառավարող, PD կառավարող, PID կառավարող, թարգմանական տրամաբանության կառավարող և այլն: Կառավարողի երկու նպատակն են (i) Համակարգի կայունությունը պահպանել, այսինքն դամպինգը պետք է լինի մոտ 0.7-0.9, գագաթային գերազանցումը և սեղմման ժամանակը պետք է լինեն ցածր (ii) Ստացիոնար վիճակի սխալը պետք է լինի նվազագույն (այն պետք է լինի զրո):
Բայց եթե փորձենք մեծացնել դամպինգը, ապա ստացիոնար վիճակի սխալը կարող է մեծանալ: Այսպիսով, կառավարողի պատրաստումը պետք է լինի այնպիսին, որ երկուսն էլ (կայունությունը և ստացիոնար վիճակի սխալը) պետք է լինեն կառավարման ներսում: Կառավարողի օպտիմալ պատրաստումը լայն հետազոտության թեմա է:
Նախորդում է գրվել, որ PI կառավարողը կարող է կարգավորել ստացիոնար վիճակի սխալը (ess) կրկնապատկել, բայց ունի բացասական ազդեցություն կայունության վրա:
Այժմ մենք կբացատրենք բաց շղթայի կառավարման համակարգի և փակ շղթայի կառավարման համակարգի մի հիմնական տարբերություն, որը կապված է վերը նշված բացատրության հետ:
Դիտարկենք Նկար-10-ը, դա բաց շղթայի կառավարման համակարգ է:

Նկար-10: Բաց շղթայի կառավարման համակարգ

Ենթադրենք նույնը է միավոր քայլային ներածում։ Այսպիսով, ներածման ստացիոնար արժեքը '1' է։ Հաշվարկվում է, որ արդյունքի ստացիոնար արժեքը '2' է։ Դիցուք որևէ պատճառով սարքի փոխանցման ֆունկցիան [G(s)] փոխվում է, ի՞նչ է կազմակերպվում ներածումը և արդյունքը։ Պատասխանը ներածումը սարքին չի փոխվի, սարքի արդյունքը կփոխվի։
Այժմ դիտարկենք Նկարները-11 և 12

Նկար-11: Փակ շղթայի կառավարման համակարգ

Նկար-12: Փակ շղթայի համակարգ, սարքի արդյունքը նույնն է, բայց սարքի ներածումը փոխվում է փոխանցման ֆունկցիայի փոփոխության պատճառով

Բոլորը փակ շղթայի կառավարման համակարգեր են։ Նկար-11-ում, եթե որևէ պատճառով սարքի փոխանցման ֆունկցիան փոխվում է, ի՞նչ է կազմակերպվում ներածումը և արդյունքը։ Այս դեպքում սարքի ներածումը կփոխվի, սարքի արդյունքը մնացում է անփոփոխ։ Սարքի արդյունքը փորձում է հետևել նախատեսված ներածմանը։
Նկար-12-ում ցուցադրված են նոր պայմանները, որտեղ սարքի պարամետրերը փոխվում են։ Կարող եք տեսնել, որ սարքի ներածումը փոխվում է 0.5-ից 0.476-ի, մինչդի արդյունքը չի փոխվում։ Երկու դեպքերում էլ PI կոնտրոլերի ներածումը զրո է, PI կոնտրոլերի սպեցիֆիկացիան նույնն է, բայց PI կոնտրոլերի արդյունքը տարբեր է։
Այսպիսով, կարող եք հասկանալ, որ բաց շղթայի կառավարման համակարգում սարքի արդյունքը փոխվում է, իսկ փակ շղթայի կառավարման համակարգում սարքի ներածումը փոխվում է։
Կառավարման համակարգերի գրքերում կարող եք գտնել հետևյալ հայտարարությունը:
«Եթե գործարանի փոխանցման ֆունկցիայի պարամետրերը փոփոխվում են, փակ շղթայական կառավարման համակարգը ավելի քիչ զգույշ է բաց շղթայական համակարգի համեմատ» (այսինքն՝ փակ շղթայական կառավարման համակարգի ելքի փոփոխությունը ավելի փոքր է բաց շղթայական համակարգի համեմատ)։
Նախորոշում ենք, որ վերը նշված հայտարարությունը ավելի հսկիավոր կլինի այս հոդվածում ներկայացված օրինակների հետ：
___________________________________________________________________
*Dear Electrical4U readers, please note that the purpose of this article is not to reproduce the topics already available in the books; but our aim is to present various complex topics of Control Engineering in easy language with numerical examples. We hope this article will be helpful to you to understand various complexities about steady-state error & PI controllers.
Հայտարարություն՝ նախորոշեք նախկինը, լավ հոդվածները արժանի են կիսվել, եթե իրավունքների դիրքեր են կա, խնդրում ենք կապվել և ջնջել: