Статичка грешка: Што е тоа? (Статичко зголемување Вредност и формула)

Поле: Основни електрични

China

Што е статична грешка

Статичната грешка е дефинирана како разликата помеѓу желаната вредност и реалната вредност на излезот на системот во моментот кога времето тече до бесконечност (т.е. кога одговорот на контролниот систем ја достигнал статичната состојба).

Статичната грешка е својство на влез/излез одговор за линеарен систем. Обично, добар контролен систем е онај кој има ниска статична грешка.

Прво, ќе дискутираме за статичната грешка во прв редовен преносен функционалитет со анализа на нејзиниот статичен одговор. Да разгледаме следниов преносен функционалитет:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Ова е едноставен преносен функционалитет од прв ред, со придобивок еднаков на еден и временска константа од 0.7 секунди. Забележете дека е познат како преносен функционалитет од прв ред бидејќи ‘s’ во именилот е со највисок степен ‘1’. Ако беше наместо тоа $0.7s^2 + 1$ , тоа би бил преносен функционалитет од втор ред.

Одговорот на овој преносен функционалитет на статичен влез е прикажан на Слика-1. Може да се види дека во статична состојба, излезот е точно еднаков на влезот. Значи, статичната грешка е нула.

Временска одговор на прв ред трансферна функција за стаповиден влез. — Слика-1: Тоа е временски одговор на прв ред трансферна функција за стаповиден влез. Може да се види дека статичката грешка е нула

Одговорот на оваа функција на единечен рампов влез е прикажан на Слика-2. Може да се види дека во статички услови постои разлика помеѓу влезот и излезот. Значи, за единечен рампов влез, постои статичка грешка.

Временски одговор на прв ред трансферна функција за рампов влез. — Слика-2: Тоа е временски одговор на прв ред трансферна функција за рампов влез. Може да се види дека постои статичка грешка во овој случај

Забележете дека во многу книги за контролни системи може да се најде дека против рампов влез, статичката грешка на прв ред трансферна функција е еднаква на временската константа. Од набљудувањето на Слика-2 горе, може да се види дека тоа е точно. Во t=3 секунди, влезот е 3, додека излезот е 2.3. Значи, статичката грешка е 0.7, што е еднакво на временската константа за оваа прва ред трансферна функција.

Молиме забележете следните важни совети:

Статичката грешка е најголема ако влезот е параболичен, обично е помала за рампов влез, а е уште помала за стаповиден влез. Како во претходното објаснување, статичката грешка е нула за стаповиден влез, и 0.7 за рампов влез, и може да се најде дека е ∞ за параболичен влез.
Треба да се забележи дека статичката грешка зависи од влезот, додека стабилноста не зависи од влезот.

Нека разгледаме затворена петлешка контролна система со преносна функција

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Каде што симболите имаат својата обична значење. Стабилноста на системот зависи од именикот, т.е. '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' се нарекува карактеристична равенка. Неговите корени покажуваат стабилноста на системот. Стационарната грешка зависи од R(s).

Во затворена петлешка контролна система, сигналот на грешка може да се пресмета како $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Стационарната грешка може да се најде како ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , каде што стационарната грешка е вредноста на сигналот на грешка во стационарно состојба. Од ова можеме да видиме дека стационарната грешка зависи од R(s).

Како што беше споменато по горе, стабилноста зависи од именикот, т.е. 1 + G(s)H(s). Овде '1' е константа, па затоа стабилноста зависи од G(s)H(s), кој е дел од равенката кој може да се промени. Така, можете да разберете Бодеов дијаграм, Никвистов дијаграм се цртаат со помош на G(s)H(s), но тие покажуваат стабилноста на $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) се нарекува отворена преносна функција, а $\frac{C(s)}{R(s)}$ се нарекува затворена преносна функција. Со анализа на отворената преносна функција, т.е. G(s)H(s), можеме да најдеме стабилноста на затворената преносна функција преку Бодеов и Никвистов дијаграм.

Примери за стационарна грешка

Стационарна грешка за јединична стапчиња вход

Сега ќе го објасниме, стационарната грешка во затворениот контролен систем со неколку бројчески примери. Почнуваме со контролен систем со јединичен стапчиња вход.

Пример-1:

Размислете за следниот контролен систем (систем-1) како што е прикажано на Слика-3:

Closed Loop Control System — Слика-3: Затворен контролен систем

Референтниот вход ‘Rs’ е јединичен стапчиња вход.

Различни стационарни вредности на Систем-1 се прикажани на Слика-4.

Vrednost na stabilno stanje na блок-дијаграм — Слика-4: Различни вредности на стабилно состојба во систем за контрола

Може се види дека вредноста на стабилното состојбе на сигналот за грешка е 0,5, па затоа и стабилната грешка е 0,5. Ако системот е стабилен и различните сигнали се константни, тогаш можат да се добијат различни вредности на стабилно состојба како што следува:

В преносната функција кога $s\rightarrow 0$ , ќе добиете стабилен придобив од преносната функција.

Можете да пресметате излезот како што следува:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Запомните дека $R(s)$ = единичен корак како вход = $\frac{1}{s}$ , можеме да го преправиме ова како:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Стационарната вредност на излезот е:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Можеме да користиме горен метод за пресметка на стационарната вредност на било кој сигнал. На пример:

Влезот е $R(s)= \frac{1}{s}$ (влезот е единична стапена функција)

Неговата стационарна вредност= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Слично, сигналот на грешката може да се пресмета како:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Статичката вредност на сигналот за грешка (т.е. статичката грешка) е:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Соодветно, од Слика-4 може да се види дека разликата помеѓу входот и излезот е 0,5. Значи, статичката грешка е 0,5.

Друг метод за пресметка на статичката грешка вклучува пронаоѓање на константи за грешки, како што следува:

Пресметајте го коефициентот на позиционска грешка Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , ќе го најдете Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Ќе го добиете истиот одговор.

Ако влезот е стапална функција, рецимо $R(s)=\frac{3}{s}$ (тоа е стапална функција, но не единична стапална функција), тогаш стабилната грешка е ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Ако влезот е единична рампна функција, тогаш пресметајте, коефициентот на брзинска грешка Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Ако влезот е единичен параболичен влез, тогаш се пресметува, коефициентот на грешката во акцелерација Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Со анализа на константите за грешка Kp, Kv и Ka, може да се разбере како статичната грешка зависи од влезот.

ПИ контролер и статична грешка

ПИ контролер (т.е. пропорционален контролер плус интегрален контролер) намалува статичната грешка (ess), но има негативен ефект врз стабилноста.

ПИ контролерите имаат предноста што намалуваат статичната грешка на системата, додека имаат недостаток што намалуваат стабилноста на системата.

ПИ контролерот намалува стабилноста. Тоа значи дека демпингот се намалува; пикот на прекосилуването и временото за стабилизација се зголемуваат поради ПИ контролерот; Корени на карактеристичната равенка (полови на затворена лупа трансферна функција) во левата страна ќе дојдат по блиску до имагинарената оска. Редот на системата исто така се зголемува поради ПИ контролерот, што тендира да намали стабилноста.

Размислете за две карактеристични равенки, едната е s3+ s2+ 3s+20=0, а другата е s2+3s+20=0. Само со набљудување, можеме да ви кажеме дека системот поврзан со првата равенка има помала стабилност во споредба со втората равенка. Можете да го проверите тоа со пронаоѓање на корените на равенката. Така, можете да разберете дека карактеристичните равенки од повисок ред имаат помала стабилност.

Сега, ќе додадеме еден ПИ контролер (пропорционален плус интегрален контролер) во систем-1 (Слика-3) и ќе ги испитаме резултатите. После вметнување на ПИ контролер во систем-1, различни статични вредности се прикажани во Слика-5, може да се види дека излезот е точно еднаков на референтниот влез. Тоа е предноста на ПИ контролерот, што ја минимизира статичната грешка така што излезот се обидува да следи референтниот влез.

PI Controller Block Diagram — Слика-5: Ефектот на PI контролерот може да се види на овој дијаграм

Преносната функција на PI контролерот може да се пресмета како $Kp+\frac{Ki}{s}$ или $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Може да се постави прашање деколку влезот на било која преносна функција е нула, неговиот излез и треба да биде нула. Значи, во моменталниот случај, влезот на PI контролерот е нула, но излезот на PI контролерот е конечен број (т.е. 1). Ова објаснување не е дадено во никаква книга за контролни системи, затоа ќе го објасниме тука:

(1) Статичкиот грешката не е точно нула, таа се стреми кон нула, исто така ‘s’ не е еднакво на нула, тоа се стреми кон нула, така што нека во било кој момент статичката грешка е 2x10-3, во истото време ‘s’ (особено говориме за ‘s’ во именилото на PI контролерот) е исто така еднакво на 2x10-3, затоа излезот на PI контролерот е ‘1’.

Да разгледаме друг контролен систем прикажан на Слика-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Слика-6: Пример за затворен контролен систем со PI контролер

Во овој случај, можеме да кажеме, во било кој момент, речиси, статичката грешка е 2x10-3, во истото време ‘s’ е еднакво на 4×10-3; затоа излезот на PI контролерот е ‘0.5’. Тоа значи дека и ‘ess‘ и ‘s’ се стремат кон нула, но нивниот однос е конечен број.

В книгите за контролни системи никогаш нема да најдете s=0 или t=∞; секогаш ќе најдете
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Второто објаснување е дека статичката грешка е нула, ‘s’ исто така е нула во стационарно состојба. Трансферната функција на PI регулатор е $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Во книгите по математика, ќе најдете дека $\frac{0}{0}$ е недефинирано, така што може да биде било која конечна вредност (види Слика-7).

PI Controller — Слика-7: Улазот до трансферната функција е нула, но излезот е конечна вредност

(3) Третото објаснување е дека $\frac{1}{s}$ е интеграл. Улазот е нула, интеграцијата на нула е недефинирана. Така што излезот од PI регулаторот може да биде било која конечна вредност.

Една основна разлика помеѓу отворената и затворената контролна система

Во однос на горенаведеното објаснување, ќе го објасниме еден основен разлик помеѓу отворената и затворената контролна система. Разликите помеѓу отворената и затворената контролна система може да се најдат во било која книга за контролни системи*, но еден основен разлик кој е поврзан со горенаведеното објаснување е даден овде и се надеваме дека сигурно ќе биде корисен за читаците.

Отворената контролна система може да се претстави како следи:

Отворен систем за контрола — Слика-8: Дијаграм на стандарден отворен систем за контрола

Затворениот систем за контрола (систем со обратна врска) може да се претстави како следува:

Затворен систем за контрола — Слика-9: Дијаграм на стандарден затворен систем за контрола

Преносната функција на објектот е фиксна (Преносната функција на објектот може автоматски да се промени поради промена на околината, прекинувања итн.). Во сите наши разговори, претпоставуваме дека H(s)=1; Операторот може да контролира преносната функција на контролерот (т.е. параметри на контролерот како Kp, Kd, Ki) итн.

Контролерот може да биде Пропорционален контролер (P контролер), PI контролер, PD контролер, PID контролер, Фази логички контролер итн. Има две цели на контролерот (i) Да се одржува стабилност, т.е. демпфингот треба да биде околу 0,7-0,9, врвниот префрл и времето на стабилизација треба да бидат ниски (ii) Стедија-стата грешка треба да биде минимална (треба да биде нула).

Но ако се обидеме да зголемиме демпфингот, стедија-статата грешка може да се зголеми. Затоа дизајнот на контролерот треба да биде таков што и двете (стабилност и стедија-статата грешка) треба да бидат под контрола. Оптималниот дизајн на контролерот е широк тема на истражување.

Како што е напишано рано, PI контролерот значително намалува стедија-статата грешка (ess), но има негативен ефекат на стабилноста.

Сега, ќе ја објасниме една основна разлика помеѓу отворениот систем за контрола и затворениот систем за контрола, која е поврзана со горенаведеното објаснување.

Разгледајте Слика-10; тоа е отворен систем за контрола.

Система за отворена петља контрола — Слика-10: Систем за отворена петља контрола

Нека је улаз јединични стап астап. Тако, стационарна вредност улаза је ‘1’. Може се израчунати да је стационарна вредност излаза ‘2’. Претпоставимо да се преносна функција [G(s)] растенице промени по неком разлогу, каков ће бити ефекат на улаз и излаз? Одговор је да се улаз у растеницу неће променити, а излаз растенице ће се променити.

Сада размотримо Слике-11 и 12

Слика-11: Систем за затворена петља контрола

Слика-12: Систем за затворена петља, излаз растенице је исти, али се улаз растенице промени због промене преносне функције

Оба су системи за затворена петља контрола. У Слици-11, претпоставимо да се преносна функција растенице промени по неком разлогу, каков ће бити ефекат на улаз и излаз? У овом случају, улаз у растеницу ће се променити, а излаз растенице ће остати непромењен. Излаз растенице покушава да следи референтни улаз.

Слика-12 приказује нове услове, у којима су параметри растенице промењени. Можете видети да се улаз растенице променио на 0,476 од 0,5, док се излаз није променио. У оба случаја, улаз у PI контролер је нула, спецификације PI контролера су исте, али је излаз PI контролера различит.

Тако, можете разумети, у систему за отворена петља контрола, излаз растенице се промени, док се у систему за затворена петља контрола, улаз у растеницу промени.

У књигама о системима контроле, можете пронаћи следећу тврдњу:

„В случај на варијација на параметрите на преносната функција на системот, затворениот контролен систем е помалку осетлив во споредба со отворениот контролен систем“ (т.е. варијацијата во излезот на затворениот контролен систем е помала во споредба со отворениот контролен систем).

Се надеваме дека горенаведената тврдење ќе биде појасна со примерите дадени во оваа статија.

___________________________________________________________________

*Скапи читатели на Electrical4U, молиме забележете дека целта на оваа статија не е да се репродуцираат теми кои веќе се на располагање во книгите; но нашата цел е да презентираме различни комплексни теми од Инженерството за контрола со лесен јазик и нумерички примери. Се надеваме дека оваа статија ќе ви биде корисна за разбирање на различни комплексности поврзани со стабилната грешка & PI контролери.

Изјава: Почитувајте оригиналното, добри статии вишнуваат делење, ако постои нарушување на авторските права се моли за избришување.

Дадете бакшиш и одобрувајте авторот!

Теми:

Енергетски системи

Контролни системи

За експертите

Electrical4u

China