Errore di regime: Cos'è? (Guadagno a regime, Valore e Formula)

Campo: Elettricità di base

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Cosa è l'errore a stato stazionario

L'errore a stato stazionario è definito come la differenza tra il valore desiderato e il valore effettivo dell'uscita di un sistema al limite quando il tempo tende all'infinito (cioè quando la risposta del sistema di controllo ha raggiunto lo stato stazionario).

L'errore a stato stazionario è una proprietà della risposta ingresso/uscita per un sistema lineare. In generale, un buon sistema di controllo sarà uno che ha un errore a stato stazionario basso.

In primo luogo, discuteremo dell'errore a stato stazionario in una funzione di trasferimento del primo ordine analizzando la sua risposta a stato stazionario. Consideriamo la funzione di trasferimento seguente:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Questa è una semplice funzione di trasferimento del primo ordine, con un guadagno pari a uno e una costante di tempo di 0,7 secondi. Si noti che viene chiamata funzione di trasferimento del primo ordine perché la 's' nel denominatore ha la potenza massima di '1'. Se invece fosse $0.7s^2 + 1$ , sarebbe una funzione di trasferimento del secondo ordine.

La risposta di questa funzione di trasferimento a un ingresso a stato stazionario è mostrata nella Figura-1. Si può vedere che in stato stazionario, l'uscita è esattamente uguale all'ingresso. Pertanto, l'errore a stato stazionario è zero.

Risposta temporale della Funzione di Trasferimento del primo ordine rispetto all'ingresso a gradino. — Figura-1: È la risposta temporale della Funzione di Trasferimento del primo ordine rispetto all'ingresso a gradino. Si può notare che l'errore a stato stazionario è zero

La risposta di questa funzione a un ingresso rampa unitaria è mostrata nella Figura-2. Si può notare che in stato stazionario c'è una differenza tra ingresso e uscita. Pertanto, per un ingresso rampa unitario, esiste un errore a stato stazionario.

Risposta temporale della Funzione di Trasferimento del primo ordine rispetto all'ingresso rampa. — Figura-2: È la risposta temporale della Funzione di Trasferimento del primo ordine rispetto all'ingresso rampa. Si può notare che esiste un errore a stato stazionario in questo caso

Si noti che in molti libri di sistemi di controllo si trova che, rispetto all'ingresso rampa, l'errore a stato stazionario della funzione di trasferimento del primo ordine è uguale alla costante di tempo. Osservando la Figura-2 sopra, possiamo vedere che ciò è vero. A t=3 secondi, l'ingresso è 3 mentre l'uscita è 2.3. Pertanto, l'errore a stato stazionario è 0.7, che è uguale alla costante di tempo per questa funzione di trasferimento del primo ordine.

Si prega di notare le seguenti indicazioni importanti:

L'errore a stato stazionario è massimo se l'ingresso è parabolico, è generalmente inferiore per l'ingresso rampa e ancora inferiore per l'ingresso a gradino. Come spiegato sopra, l'errore a stato stazionario è zero contro l'ingresso a gradino, e 0.7 contro l'ingresso rampa, e si può trovare che è ∞ contro l'ingresso parabolico.
È importante notare che l'errore a stato stazionario dipende dall'ingresso, mentre la stabilità non dipende dall'ingresso.

Consideriamo un sistema di controllo a loop chiuso con funzione di trasferimento

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Dove i simboli hanno il loro significato abituale. La stabilità del sistema dipende dal denominatore, ovvero '1+G(s)H(s)'. L'equazione caratteristica '1+G(s)H(s) = 0' ha le sue radici che indicano la stabilità del sistema. L'errore a stato stazionario dipende da R(s).

In un sistema di controllo a loop chiuso, il segnale d'errore può essere calcolato come $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ L'errore a stato stazionario può essere trovato come ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , dove l'errore a stato stazionario è il valore del segnale d'errore nello stato stazionario. Da questo possiamo vedere che l'errore a stato stazionario dipende da R(s).

Come menzionato sopra, la stabilità dipende dal denominatore, ovvero 1 + G(s)H(s). Qui '1' è costante, quindi la stabilità dipende da G(s)H(s), che è la parte dell'equazione che può cambiare. Quindi, puoi capire il grafico di Bode, il grafico di Nyquist viene tracciato con l'aiuto di G(s)H(s), ma indicano la stabilità di $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) viene chiamata funzione di trasferimento ad anello aperto e $\frac{C(s)}{R(s)}$ viene chiamata funzione di trasferimento ad anello chiuso. Attraverso l'analisi della funzione di trasferimento ad anello aperto, ovvero G(s)H(s), possiamo determinare la stabilità della funzione di trasferimento ad anello chiuso utilizzando il diagramma di Bode e il diagramma di Nyquist.

Esempi di errore a stato stazionario

Errore a stato stazionario per un ingresso a gradino unitario

Ora, spiegheremo l'errore a stato stazionario in un sistema di controllo ad anello chiuso con alcuni esempi numerici. Inizieremo con un sistema di controllo con un ingresso a gradino unitario.

Esempio-1:

Consideriamo il seguente sistema di controllo (sistema-1) mostrato nella Figura-3:

Figura-3: Sistema di controllo ad anello chiuso

L'ingresso di riferimento ‘Rs’ è un ingresso a gradino unitario.

I vari valori a stato stazionario del Sistema-1 sono mostrati nella Figura-4.

Valore Stazionario Diagramma a Blocchi — Figura-4: Vari Valori Stazionari in un Sistema di Controllo

Si può osservare che il valore stazionario del segnale di errore è 0,5, pertanto l'errore stazionario è 0,5. Se il sistema è stabile e vari segnali sono costanti, allora i vari valori stazionari possono essere ottenuti come segue:

Nella funzione di trasferimento, quando $s\rightarrow 0$ , si ottiene il guadagno stazionario della funzione di trasferimento.

È possibile calcolare l'uscita come segue:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Ricordando che $R(s)$ = ingresso a gradino unitario = $\frac{1}{s}$ , possiamo riformulare questo come segue:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Il valore dello stato stazionario dell'uscita è:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Possiamo utilizzare il metodo sopra descritto per calcolare il valore dello stato stazionario di qualsiasi segnale. Ad esempio:

L'ingresso è $R(s)= \frac{1}{s}$ (l'ingresso è un ingresso a gradino unitario)

Il suo valore dello stato stazionario= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Analogamente, il segnale di errore può essere calcolato come:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Il valore dello stato stazionario del segnale di errore (cioè l'errore in stato stazionario) è:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Inoltre, si può vedere dalla Figura-4 che la differenza tra l'ingresso e l'uscita è 0,5. Pertanto, l'errore in stato stazionario è 0,5.

Un altro metodo per calcolare l'errore in stato stazionario prevede il calcolo delle costanti di errore, come segue:

Calcola il coefficiente di errore posizionale Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , troverai Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Troverai la stessa risposta.

Se l'ingresso è un ingresso a gradino, ad esempio $R(s)=\frac{3}{s}$ (è un ingresso a gradino, ma non un ingresso a gradino unitario), allora l'errore a stato stazionario è ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Se l'ingresso è un ingresso a rampa unitaria, allora calcola, il coefficiente di errore di velocità Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Se l'ingresso è un ingresso parabolico unitario, allora si calcola il coefficiente di errore di accelerazione Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Con l'analisi delle costanti di errore Kp, Kv e Ka, si può comprendere come l'errore a stato stazionario dipenda dall'ingresso.

Controllore PI e Errore a Stato Stazionario

Un controllore PI (cioè un controllore proporzionale più controllore integrale) riduce l'errore a stato stazionario (ess), ma ha un effetto negativo sulla stabilità.

I controllori PI hanno il vantaggio di ridurre l'errore a stato stazionario di un sistema, pur avendo lo svantaggio di ridurne la stabilità.

Un controllore PI riduce la stabilità. Ciò significa che l'amortizzazione diminuisce; il picco di sovrascorrimento e il tempo di assestamento aumentano a causa del controllore PI; le radici dell'equazione caratteristica (poli della funzione di trasferimento a ciclo chiuso) sul lato sinistro si avvicinano all'asse immaginario. L'ordine del sistema aumenta anche a causa del controllore PI, il che tende a ridurre la stabilità.

Consideriamo due equazioni caratteristiche, una è s3+ s2+ 3s+20=0, l'altra è s2+3s+20=0. Solo con l'osservazione, possiamo dire che il sistema relativo alla prima equazione ha una stabilità inferiore rispetto alla seconda equazione. Puoi verificarlo trovando le radici dell'equazione. Quindi, puoi capire che le equazioni caratteristiche di ordine superiore hanno una stabilità inferiore.

Ora, aggiungeremo un controllore PI (controllore proporzionale più integratore) al sistema-1 (Figura-3) ed esamineremo i risultati. Dopo aver inserito il controllore PI nel sistema-1, vari valori a stato stazionario sono mostrati nella Figura-5, si può vedere che l'uscita è esattamente uguale all'ingresso di riferimento. È un vantaggio del controllore PI, che minimizza l'errore a stato stazionario in modo che l'uscita cerchi di seguire l'ingresso di riferimento.

Diagramma a blocchi del controllore PI — Figura-5: L'effetto del controllore PI può essere visto in questo diagramma

La funzione di trasferimento del controllore PI può essere calcolata come $Kp+\frac{Ki}{s}$ o $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Si potrebbe chiedere che se l'ingresso di qualsiasi funzione di trasferimento è zero, allora la sua uscita dovrebbe essere zero. Quindi, nel caso attuale, l'ingresso al controllore PI è zero, ma l'uscita del controllore PI è un valore finito (cioè 1). Questa spiegazione non viene fornita in alcun libro di sistemi di controllo, quindi la spiegheremo qui:

(1) L'errore a stato stazionario non è esattamente zero, tende a zero, allo stesso modo 's' non è uguale a zero, tende a zero. Quindi, supponiamo che in un istante l'errore a stato stazionario sia 2x10-3, nello stesso momento 's' (in particolare stiamo parlando di 's' nel denominatore del controllore PI) è anche uguale a 2x10-3, quindi l'uscita del controllore PI è '1'.

Consideriamo un altro sistema di controllo mostrato nella Figura-6:

Sistema di controllo a ciclo chiuso con controllore PI — Figura-6: Un esempio di sistema di controllo a ciclo chiuso con controllore PI

In questo caso, possiamo dire, in qualsiasi istante, supponiamo che l'errore a stato stazionario sia 2x10-3, nello stesso tempo 's' è uguale a 4×10-3; quindi l'uscita del controllore PI è '0.5'. Ciò significa che sia 'ess' che 's' tendono a zero, ma il loro rapporto è un valore finito.

Nei libri dei sistemi di controllo non troverai mai s=0 o t=∞; troverai sempre
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) La seconda spiegazione è che l'errore a stato stazionario è zero, 's' è anche zero nello stato stazionario. La funzione di trasferimento del regolatore PI è $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Nei libri di matematica, troverai che $\frac{0}{0}$ è indefinito, quindi può essere qualsiasi valore finito (vedi Figura-7).

PI Controller — Figura-7: L'ingresso alla funzione di trasferimento è zero ma l'uscita è un valore finito

(3) La terza spiegazione è, $\frac{1}{s}$ è un integratore. L'ingresso è zero, l'integrazione di zero è indefinita. Quindi l'uscita del regolatore PI può essere qualsiasi valore finito.

Una differenza fondamentale tra il sistema di controllo a ciclo aperto e il sistema di controllo a ciclo chiuso

In riferimento alla spiegazione sopra, spiegheremo una differenza fondamentale tra un sistema di controllo a ciclo aperto e un sistema di controllo a ciclo chiuso. Le differenze tra un sistema di controllo a ciclo aperto e un sistema di controllo a ciclo chiuso le puoi trovare in qualsiasi libro di sistemi di controllo*, ma una differenza fondamentale correlata alla spiegazione sopra è fornita qui e speriamo certamente che sarà utile per i lettori.

Un sistema di controllo a ciclo aperto può essere rappresentato come segue:

Un sistema di controllo a ciclo chiuso (sistema di controllo con retroazione) può essere rappresentato come segue:

La funzione di trasferimento della pianta è fissa (la funzione di trasferimento della pianta può cambiare automaticamente a causa di variazioni ambientali, disturbi, ecc.). In tutte le nostre discussioni, abbiamo assunto H(s)=1; Un operatore può controllare la funzione di trasferimento del controller (cioè i parametri del controller tali che Kp, Kd, Ki) ecc.

Il controller può essere un controller proporzionale (P controller), PI controller, PD controller, PID controller, controller logico fuzzy, ecc. Ci sono due obiettivi di un controller (i) Mantenere la stabilità, cioè l'ammortizzamento dovrebbe essere intorno a 0,7-0,9, il sovraccarico di picco e il tempo di assestamento dovrebbero essere bassi (ii) L'errore a stato stazionario dovrebbe essere minimo (dovrebbe essere zero).

Ma se cerchiamo di aumentare l'ammortizzamento, l'errore a stato stazionario potrebbe aumentare. Pertanto, la progettazione del controller dovrebbe essere tale che entrambi (stabilità e errore a stato stazionario) siano sotto controllo. La progettazione ottimale del controller è un vasto argomento di ricerca.

Come scritto in precedenza, il controller PI riduce drasticamente l'errore a stato stazionario (ess), ma ha un effetto negativo sulla stabilità.

Ora, spiegheremo una differenza fondamentale tra il sistema di controllo a ciclo aperto e il sistema di controllo a ciclo chiuso, che è correlata alla spiegazione sopra riportata.

Considera la Figura-10; è un sistema di controllo a ciclo aperto.

Supponiamo che l'ingresso sia un ingresso a gradino unitario. Quindi, il valore stazionario dell'ingresso è '1'. Si può calcolare che il valore stazionario dell'uscita è '2'. Supponiamo che ci sia un cambiamento nella funzione di trasferimento [G(s)] della pianta per qualsiasi motivo, qual sarà l'effetto sull'ingresso e sull'uscita? La risposta è che l'ingresso alla pianta non cambierà, l'uscita della pianta cambierà.

Ora consideriamo le Figure-11 e 12

Figura-12: Sistema a ciclo chiuso, l'uscita della pianta è la stessa ma l'ingresso della pianta è cambiato a causa del cambiamento nella funzione di trasferimento

Entrambi sono sistemi di controllo a ciclo chiuso. Nella Figura-11, supponiamo che ci sia un cambiamento nella funzione di trasferimento della pianta per qualsiasi motivo, qual sarà l'effetto sull'ingresso e sull'uscita? In questo caso, l'ingresso alla pianta cambierà, l'uscita della pianta rimarrà invariata. L'uscita della pianta cerca di seguire l'ingresso di riferimento.

La Figura-12 mostra le nuove condizioni, in cui i parametri della pianta sono cambiati. Puoi vedere che l'ingresso della pianta è cambiato da 0,5 a 0,476, mentre l'uscita non è cambiata. In entrambi i casi, l'ingresso al controller PI è zero, le specifiche del controller PI sono le stesse ma l'uscita del controller PI è diversa.

Quindi, puoi capire, nel sistema di controllo a ciclo aperto l'uscita della pianta cambia, mentre nel sistema di controllo a ciclo chiuso l'ingresso alla pianta cambia.

Nei libri di sistemi di controllo, puoi trovare la seguente affermazione:

"In caso di variazione dei parametri della funzione di trasferimento del sistema, il sistema di controllo in retroazione è meno sensibile rispetto al sistema di controllo aperto" (cioè la variazione dell'uscita del sistema di controllo in retroazione è minore rispetto al sistema di controllo aperto).

Speriamo che la dichiarazione sopra sia più chiara con gli esempi forniti in questo articolo.

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*Carissimi lettori di IEE-Business, si prega di notare che lo scopo di questo articolo non è riprodurre i temi già disponibili nei libri, ma il nostro obiettivo è presentare vari argomenti complessi dell'ingegneria del controllo in un linguaggio semplice con esempi numerici. Speriamo che questo articolo vi sarà utile per comprendere le varie complessità riguardanti l'errore a stato stazionario e i regolatori PI.

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