Steady-State-Fehler: Was ist das? (Steady-State-Gewinn, Wert & Formel)

Feld: Grundlagen der Elektrotechnik

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Was ist der stationäre Fehler

Was ist der stationäre Fehler?

Der stationäre Fehler wird definiert als der Unterschied zwischen dem gewünschten Wert und dem tatsächlichen Wert der Systemausgabe im Grenzwert, wenn die Zeit gegen unendlich geht (d.h. wenn die Reaktion des Regelkreises den stationären Zustand erreicht hat).

Der stationäre Fehler ist eine Eigenschaft der Eingabe/Ausgabe-Reaktion für ein lineares System. Im Allgemeinen ist ein guter Regelkreis einer, der einen geringen stationären Fehler hat.

Zunächst werden wir den stationären Fehler in einer Übertragungsfunktion erster Ordnung durch die Analyse ihrer stationären Reaktion besprechen. Betrachten wir die folgende Übertragungsfunktion:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Dies ist eine einfache Übertragungsfunktion erster Ordnung mit einem Verstärkungsfaktor von eins und einer Zeitkonstante von 0,7 Sekunden. Beachten Sie, dass sie als Übertragungsfunktion erster Ordnung bezeichnet wird, da das 's' im Nenner die höchste Potenz von '1' hat. Wäre es stattdessen $0.7s^2 + 1$ , wäre es eine Übertragungsfunktion zweiter Ordnung.

Die Reaktion dieser Übertragungsfunktion auf eine stationäre Eingabe ist in Abbildung 1 dargestellt. Es kann gesehen werden, dass im stationären Zustand die Ausgabe genau gleich der Eingabe ist. Daher beträgt der stationäre Fehler null.

Abbildung 1: Es handelt sich um das Zeitverhalten einer ersten Ordnung Übertragungsfunktion bei einem Sprungantrieb. Es kann gesehen werden, dass der stationäre Fehler Null ist

Die Reaktion dieser Funktion auf einen Einheitsrampenantrieb wird in Abbildung 2 gezeigt. Es kann gesehen werden, dass im stationären Zustand ein Unterschied zwischen Eingang und Ausgang besteht. Daher gibt es für einen Einheitsrampenantrieb einen stationären Fehler.

Abbildung 2: Es handelt sich um das Zeitverhalten einer ersten Ordnung Übertragungsfunktion bei einem Rampenantrieb. Es kann gesehen werden, dass in diesem Fall ein stationärer Fehler existiert

In vielen Regelungstechnikbüchern finden Sie, dass der stationäre Fehler einer ersten Ordnung Übertragungsfunktion bei einem Rampenantrieb gleich der Zeitkonstante ist. Aus Abbildung 2 oben können wir sehen, dass dies zutrifft. Bei t = 3 Sekunden beträgt die Eingabe 3, während die Ausgabe 2,3 beträgt. Daher beträgt der stationäre Fehler 0,7, was der Zeitkonstante für diese erste Ordnung Übertragungsfunktion entspricht.

Bitte beachten Sie die folgenden wichtigen Hinweise:

Der stationäre Fehler ist am höchsten, wenn die Eingabe parabolisch ist, generell niedriger für einen Rampenantrieb und noch niedriger für einen Sprungantrieb. Wie in der obigen Erklärung, ist der stationäre Fehler Null gegen einen Sprungantrieb und 0,7 gegen einen Rampenantrieb und es kann festgestellt werden, dass er ∞ gegen eine parabolische Eingabe ist.
Es sollte beachtet werden, dass der stationäre Fehler von der Eingabe abhängt, während die Stabilität nicht von der Eingabe abhängt.

Betrachten wir ein geschlossenes Regelkreissystem mit der Übertragungsfunktion

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Dabei haben die Symbole ihre übliche Bedeutung. Die Stabilität des Systems hängt vom Nenner, also von '1+G(s)H(s)', ab. '1+G(s)H(s) = 0' wird als charakteristische Gleichung bezeichnet. Ihre Nullstellen deuten auf die Stabilität des Systems hin. Der stationäre Fehler hängt von R(s) ab.

In einem geschlossenen Regelkreis kann das Fehlersignal wie folgt berechnet werden $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Der stationäre Fehler kann wie folgt gefunden werden: ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , wobei der stationäre Fehler den Wert des Fehlersignals im stationären Zustand darstellt. Daraus können wir erkennen, dass der stationäre Fehler von R(s) abhängt.

Wie oben erwähnt, hängt die Stabilität vom Nenner, also von 1 + G(s)H(s), ab. Hierbei ist '1' konstant, daher hängt die Stabilität von G(s)H(s) ab, was der Teil der Gleichung ist, der sich ändern kann. So können Sie verstehen, dass der Bode-Plot und der Nyquist-Plot mit Hilfe von G(s)H(s) erstellt werden, aber sie zeigen die Stabilität von $\frac{C(s)}{R(s)}$ an.
G(s)H(s) wird als offene Schleifen-Übertragungsfunktion bezeichnet und $\frac{C(s)}{R(s)}$ wird als geschlossene Schleifen-Übertragungsfunktion bezeichnet. Durch die Analyse der offenen Schleifen-Übertragungsfunktion, d.h. G(s)H(s), können wir die Stabilität einer geschlossenen Schleifen-Übertragungsfunktion durch den Bode- und Nyquist-Diagramm ermitteln.

Beispiele für stationäre Fehler

Stationärer Fehler bei einem Einheitssprung-Eingangssignal

Nun werden wir, anhand einiger numerischer Beispiele, den stationären Fehler in einem Regelkreis mit Rückkopplung erklären. Wir beginnen mit einem Regelkreis, der ein Einheitssprung-Eingangssignal erhält.

Beispiel-1:

Betrachten Sie das folgende Regelkreissystem (System-1), wie in Abbildung-3 gezeigt:

Closed Loop Control System — Abbildung-3: Regelkreis mit Rückkopplung

Das Referenzeingangssignal 'Rs' ist ein Einheitssprung-Eingangssignal.

Verschiedene stationäre Werte von System-1 sind in Abbildung-4 dargestellt.

Steady State Value Block Diagram — Abbildung 4: Verschiedene stationäre Werte in einem Regelkreis

Es kann beobachtet werden, dass der stationäre Wert des Fehlersignals 0,5 beträgt, daher ist der stationäre Fehler 0,5. Wenn das System stabil ist und die verschiedenen Signale konstant sind, können die folgenden stationären Werte ermittelt werden:

In der Übertragungsfunktion für $s\rightarrow 0$ erhalten Sie den stationären Verstärkungsfaktor der Übertragungsfunktion.

Sie können die Ausgabe wie folgt berechnen:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Wenn man berücksichtigt, dass $R(s)$ = Einheitssprung-Eingang = $\frac{1}{s}$ , kann man dies umstellen zu:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Der stationäre Wert der Ausgabe ist:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Wir können die obige Methode verwenden, um den stationären Wert eines beliebigen Signals zu berechnen. Zum Beispiel:

Eingabe ist $R(s)= \frac{1}{s}$ (Eingabe ist ein Einheitssprung)

Sein stationärer Wert = $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Ähnlich kann das Fehlersignal wie folgt berechnet werden:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Der stationäre Wert des Fehlersignals (d.h. der stationäre Fehler) ist:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Auch kann aus Abbildung 4 ersichtlich sein, dass die Differenz zwischen Eingang und Ausgang 0,5 beträgt. Daher beträgt der stationäre Fehler 0,5.

Eine weitere Methode zur Berechnung des stationären Fehlers besteht darin, die Fehlerkonstanten zu ermitteln, wie folgt:

Berechnen Sie den Positionierfehlerkoeffizienten Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Sie werden Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ finden. Sie werden die gleiche Antwort erhalten.

Wenn die Eingabe eine Sprungfunktion ist, sagen wir $R(s)=\frac{3}{s}$ (es handelt sich um eine Sprungfunktion, aber nicht um eine Einheitssprungfunktion), dann beträgt der stationäre Fehler ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Wenn die Eingabe eine Einheitsrampenfunktion ist, berechnen Sie dann den Geschwindigkeitsfehlerkoeffizienten Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Falls die Eingabe eine Einheitsparabel ist, dann berechne den Beschleunigungsfehlerkoeffizienten Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Durch die Analyse der Fehlerkonstanten Kp, Kv und Ka können Sie verstehen, wie der stationäre Fehler von der Eingabe abhängt.

PI-Regler und stationärer Fehler

Ein PI-Regler (d.h. ein proportionaler Regler plus Integrationsregler) reduziert den stationären Fehler (ess), hat aber einen negativen Einfluss auf die Stabilität.

PI-Regler haben den Vorteil, dass sie den stationären Fehler eines Systems reduzieren, während sie den Nachteil haben, die Stabilität des Systems zu verringern.

Ein PI-Regler reduziert die Stabilität. Dies bedeutet, dass die Dämpfung abnimmt; der Spitzenüberschwang und die Einstellzeit nehmen aufgrund des PI-Reglers zu; die Wurzeln der charakteristischen Gleichung (Pole der geschlossenen Übertragungsfunktion) auf der linken Seite kommen näher an die imaginäre Achse. Die Systemordnung erhöht sich auch aufgrund des PI-Reglers, was dazu tendiert, die Stabilität zu verringern.

Betrachten wir zwei charakteristische Gleichungen, eine davon ist s3+ s2+ 3s+20=0, die andere ist s2+3s+20=0. Nur durch Beobachtung können wir Ihnen sagen, dass das System, das mit der ersten Gleichung verbunden ist, eine geringere Stabilität aufweist als das System, das mit der zweiten Gleichung verbunden ist. Sie können dies überprüfen, indem Sie die Wurzeln der Gleichung finden. So können Sie verstehen, dass charakteristische Gleichungen höherer Ordnung eine geringere Stabilität aufweisen.

Nun fügen wir in System-1 (Abbildung-3) einen PI-Regler (Proportional-Integral-Regler) hinzu und untersuchen die Ergebnisse. Nachdem der PI-Regler in System-1 eingefügt wurde, werden verschiedene stationäre Werte in Abbildung-5 gezeigt. Es kann beobachtet werden, dass die Ausgabe exakt gleich der Referenzeingabe ist. Dies ist der Vorteil des PI-Reglers, dass er den stationären Fehler minimiert, sodass die Ausgabe versucht, die Referenzeingabe zu folgen.

PI-Regler-Blockdiagramm — Abbildung 5: Der Effekt des PI-Reglers ist in diesem Diagramm zu sehen

Die Übertragungsfunktion des PI-Reglers kann berechnet werden als $Kp+\frac{Ki}{s}$ oder $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Eine Frage, die gestellt werden könnte, ist, ob das Eingangssignal einer beliebigen Übertragungsfunktion Null ist, dann sollte auch das Ausgangssignal Null sein. In dem vorliegenden Fall ist die Eingabe des PI-Reglers Null, aber der Ausgang des PI-Reglers hat einen endlichen Wert (d.h. 1). Diese Erklärung findet man in keinem Regelungstechnik-Buch, daher erklären wir es hier:

(1) Der stationäre Fehler ist nicht exakt Null, sondern strebt gegen Null. Ähnlich strebt 's' nicht gegen Null, sondern nur nahe an Null. Nehmen wir zum Beispiel an, dass der stationäre Fehler 2x10-3 beträgt, und gleichzeitig 's' (insbesondere im Nenner des PI-Reglers) ebenfalls 2x10-3 beträgt, so ist der Ausgang des PI-Reglers '1'.

Betrachten wir ein weiteres Regelungssystem, wie in Abbildung 6 dargestellt:

Geschlossenes Regelungssystem mit PI-Regler — Abbildung 6: Ein Beispiel für ein geschlossenes Regelungssystem mit PI-Regler

In diesem Fall können wir sagen, dass bei einem bestimmten Zeitpunkt der stationäre Fehler 2x10-3 beträgt und gleichzeitig 's' 4×10-3 beträgt. Daher beträgt der Ausgang des PI-Reglers '0.5'. Das bedeutet, dass sowohl 'ess' als auch 's' gegen Null streben, aber ihr Verhältnis einen endlichen Wert hat.

In den Büchern über Steuerungssysteme finden Sie niemals s=0 oder t=∞; Sie werden immer finden
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Die zweite Erklärung ist, dass der stationäre Fehler Null ist, 's' ist auch Null im stationären Zustand. Die Übertragungsfunktion des PI-Reglers lautet $\frac{Kps+Ki}{s}$ . In den Büchern der Mathematik finden Sie, dass $\frac{0}{0}$ undefiniert ist, so dass es jeden endlichen Wert annehmen kann (siehe Abbildung-7).

PI Controller — Abbildung-7: Eingang in die Übertragungsfunktion ist Null, aber Ausgang ist ein endlicher Wert

(3) Die dritte Erklärung ist, $\frac{1}{s}$ ist ein Integrator. Der Eingang ist Null, die Integration von Null ist undefiniert. Daher kann der Ausgang des PI-Reglers jeden endlichen Wert annehmen.

Ein grundlegender Unterschied zwischen offenen und geschlossenen Steuerungssystemen

Im Bezug auf die obige Erklärung werden wir einen grundlegenden Unterschied zwischen einem offenen Steuerungssystem und einem geschlossenen Steuerungssystem erläutern. Unterschiede zwischen offenen und geschlossenen Steuerungssystemen finden Sie in jedem Buch über Steuerungssysteme*, aber ein grundlegender Unterschied, der sich auf die obige Erklärung bezieht, wird hier gegeben und wir hoffen, dass es sicherlich nützlich für die Leser sein wird.

Ein offenes Steuerungssystem kann wie folgt dargestellt werden:

Offenes Regelkreissystem — Abbildung 8: Es ist ein Diagramm des Standardoffenen Regelkreissystems

Ein geschlossenes Regelkreissystem (Rückkopplungsregelkreis) kann wie folgt dargestellt werden:

Die Übertragungsfunktion der Anlage ist fest (die Übertragungsfunktion der Anlage kann aufgrund von Umweltänderungen, Störungen usw. automatisch geändert werden). In all unseren Diskussionen haben wir angenommen, dass H(s)=1 ist; Ein Bediener kann die Übertragungsfunktion des Reglers steuern (d.h. Parameter des Reglers, wie Kp, Kd, Ki) etc.

Der Regler kann ein Proportionalregler (P-Regler), PI-Regler, PD-Regler, PID-Regler, Fuzzy-Logik-Regler usw. sein. Es gibt zwei Ziele eines Reglers (i) Stabilität zu gewährleisten, d.h. die Dämpfung sollte um 0,7-0,9 liegen, der Spitzenüberschwang und die Einstellzeit sollten gering sein (ii) Der stationäre Fehler sollte minimal sein (er sollte Null sein).

Wenn wir jedoch versuchen, die Dämpfung zu erhöhen, kann der stationäre Fehler zunehmen. Daher sollte der Regler so entworfen werden, dass beide (Stabilität & stationärer Fehler) unter Kontrolle sind. Die optimale Auslegung des Reglers ist ein weit gefasstes Forschungsthema.

Wie bereits erwähnt, reduziert der PI-Regler den stationären Fehler (ess) drastisch, hat jedoch negative Auswirkungen auf die Stabilität.

Nun erklären wir einen grundlegenden Unterschied zwischen offenen und geschlossenen Regelkreissystemen, der mit der obigen Erklärung zusammenhängt.

Betrachten Sie Abbildung 10; es handelt sich um ein offenes Regelkreissystem.

Nehmen wir an, dass die Eingabe eine Einheitssprungfunktion ist. Daher beträgt der stationäre Wert der Eingabe '1'. Es kann berechnet werden, dass der stationäre Wert der Ausgabe '2' beträgt. Angenommen, es gibt eine Änderung in der Übertragungsfunktion [G(s)] des Systems aus irgendeinem Grund, was wäre die Auswirkung auf Eingabe und Ausgabe? Die Antwort lautet, dass die Eingabe in das System nicht verändert wird, während die Ausgabe des Systems sich ändert.

Betrachten wir nun die Abbildungen 11 und 12

Beide sind geschlossene Regelkreissysteme. In Abbildung 11, angenommen, es gibt eine Änderung in der Übertragungsfunktion des Systems aus irgendeinem Grund, was wäre die Auswirkung auf Eingabe und Ausgabe? In diesem Fall würde sich die Eingabe in das System ändern, während die Ausgabe des Systems unverändert bliebe. Die Ausgabe des Systems versucht, dem Referenzeingang zu folgen.

Abbildung 12 zeigt die neuen Bedingungen, bei denen die Systemparameter geändert wurden. Sie können sehen, dass die Eingabe in das System von 0,5 auf 0,476 geändert wurde, während die Ausgabe unverändert blieb. In beiden Fällen ist die Eingabe in den PI-Regler Null, die Spezifikationen des PI-Reglers sind identisch, aber die Ausgabe des PI-Reglers ist unterschiedlich.

Sie können also verstehen, dass in einem offenen Regelkreissystem die Ausgabe des Systems sich ändert, während in einem geschlossenen Regelkreissystem die Eingabe in das System sich ändert.

In Büchern über Regelkreissysteme finden Sie oft die folgende Aussage:

„Im Falle einer Veränderung der Parameter der Übertragungsfunktion des Systems ist das geschlossene Regelkreissystem weniger empfindlich als das offene Regelkreissystem“ (d.h. die Ausgabevariation des geschlossenen Regelkreissystems ist geringer im Vergleich zum offenen Regelkreissystem).

Wir hoffen, dass die obige Aussage mit den in diesem Artikel gegebenen Beispielen klarer wird.

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*Liebe Leser von Electrical4U, bitte beachten Sie, dass es nicht der Zweck dieses Artikels ist, bereits in Büchern verfügbare Themen zu reproduzieren; unser Ziel ist es, verschiedene komplexe Themen der Regelungstechnik in einfacher Sprache und mit numerischen Beispielen darzustellen. Wir hoffen, dass dieser Artikel Ihnen hilft, verschiedene Komplexitäten bezüglich des stationären Fehlers und PI-Reglern zu verstehen.

Erklärung: Respektiere das Original, gute Artikel sind es wert, geteilt zu werden, falls es eine Verletzung der Rechte gibt, bitte kontaktiere uns für Löschung.

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