خطای حالت ماندگار: آن چیست؟ (کسب و کار IEE-Business، مقدار و فرمول حالت ماندگار)

فیلد: مقدماتی برق

China

چه چیزی خطای حالت ماندگار است

خطای حالت ماندگار به تفاوت بین مقدار مورد نظر و مقدار واقعی خروجی سیستم در زمان بی‌نهایت (یعنی زمانی که پاسخ سیستم کنترل به حالت ماندگار رسیده باشد) اشاره دارد.

خطای حالت ماندگار یک ویژگی از پاسخ ورودی/خروجی برای یک سیستم خطی است. به طور کلی، یک سیستم کنترل خوب آن است که خطای حالت ماندگار کمی داشته باشد.

ابتدا، خطای حالت ماندگار در یک تابع انتقال مرتبه اول را با تحلیل پاسخ حالت ماندگار آن بررسی خواهیم کرد. بیایید تابع انتقال زیر را در نظر بگیریم:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

این یک تابع انتقال مرتبه اول ساده است، با یک ضریب برابر با یک و یک ثابت زمانی ۰.۷ ثانیه. لازم به ذکر است که به دلیل داشتن بالاترین توان 's' در مخرج برابر با '۱' به عنوان یک تابع انتقال مرتبه اول شناخته می‌شود. اگر به جای آن $0.7s^2 + 1$ بود، یک تابع انتقال مرتبه دوم خواهد بود.

پاسخ این تابع انتقال به یک ورودی حالت ماندگار در شکل ۱ نشان داده شده است. می‌توان دید که در حالت ماندگار، خروجی دقیقاً برابر با ورودی است. بنابراین خطای حالت ماندگار صفر است.

پاسخ زمانی تابع انتقال مرتبه اول نسبت به ورودی پله. — شکل ۱: این پاسخ زمانی تابع انتقال مرتبه اول نسبت به ورودی پله است. می‌توان دید که خطای حالت ماندگار صفر است

پاسخ این تابع به ورودی رمپ واحد در شکل ۲ نشان داده شده است. می‌توان دید که در حالت ماندگار، تفاوتی بین ورودی و خروجی وجود دارد. بنابراین برای ورودی رمپ واحد، خطای حالت ماندگار وجود دارد.

پاسخ زمانی تابع انتقال مرتبه اول نسبت به ورودی رمپ. — شکل ۲: این پاسخ زمانی تابع انتقال مرتبه اول نسبت به ورودی رمپ است. می‌توان دید که خطای حالت ماندگار در این مورد وجود دارد

توجه داشته باشید که در بسیاری از کتاب‌های سیستم‌های کنترل می‌توانید ببینید که برای ورودی رمپ، خطای حالت ماندگار تابع انتقال مرتبه اول برابر با ثابت زمانی است. با مشاهده شکل ۲ بالا، می‌توانیم ببینیم که این موضوع درست است. در t=۳ ثانیه، ورودی ۳ است در حالی که خروجی ۲.۳ است. بنابراین خطای حالت ماندگار ۰.۷ است که برابر با ثابت زمانی برای این تابع انتقال مرتبه اول است.

لطفاً نکات مهم زیر را در نظر بگیرید:

خطای حالت ماندگار بیشترین مقدار را دارد اگر ورودی سهموی باشد، معمولاً برای ورودی رمپ کمتر است و برای ورودی پله کمتر است. همان‌طور که در توضیحات بالا ذکر شد، خطای حالت ماندگار برای ورودی پله صفر است و برای ورودی رمپ ۰.۷ است و می‌توان یافت که برای ورودی سهموی بی‌نهایت است.
باید توجه داشت که خطای حالت ماندگار به ورودی بستگی دارد، در حالی که پایداری به ورودی بستگی ندارد.

بیایید یک سیستم کنترل حلقه بسته با تابع انتقال را در نظر بگیریم

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

جایی که نمادها دارای معانی معمول خود هستند. پایداری سیستم به صورت مخرج یعنی '1+G(s)H(s)' بستگی دارد. '1+G(s)H(s) = 0' معادله مشخصه نامیده می‌شود. ریشه‌های آن پایداری سیستم را نشان می‌دهد. خطای حالت متعادل به R(s) بستگی دارد.

در یک سیستم کنترل حلقه بسته، سیگنال خطا می‌تواند به صورت $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ محاسبه شود. خطای حالت متعادل می‌تواند به صورت ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ بدست آید، جایی که خطای حالت متعادل مقدار سیگنال خطا در حالت متعادل است. از اینجا می‌توانیم ببینیم که خطای حالت متعادل به R(s) بستگی دارد.

همانطور که بالاتر ذکر شد، پایداری به صورت مخرج یعنی 1 + G(s)H(s) بستگی دارد. در اینجا '1' ثابت است، بنابراین پایداری به G(s)H(s) که قابل تغییر است، بستگی دارد. بنابراین می‌توانید نمودار بود و نمودار نایکوئیست را با استفاده از G(s)H(s) رسم کنید، اما آنها پایداری $\frac{C(s)}{R(s)}$ را نشان می‌دهند.
G(s)H(s) به عنوان تابع انتقال حلقه باز شناخته می‌شود و $\frac{C(s)}{R(s)}$ به عنوان تابع انتقال حلقه بسته شناخته می‌شود. با تحلیل تابع انتقال حلقه باز یعنی G(s)H(s)، می‌توان پایداری تابع انتقال حلقه بسته را از طریق نمودار بود و نمودار نایکوئیست پیدا کرد.

نمونه‌های خطای حالت ماندگار

خطای حالت ماندگار برای ورودی پله واحد

حال، خواهیم توضیح داد که خطای حالت ماندگار در یک سیستم کنترل حلقه بسته چگونه است با استفاده از چندین مثال عددی. ما با یک سیستم کنترل با ورودی پله واحد شروع می‌کنیم.

مثال-۱:

سیستم کنترل زیر (سیستم-۱) را در نظر بگیرید که در شکل-۳ نشان داده شده است:

Closed Loop Control System — شکل-۳: سیستم کنترل حلقه بسته

ورودی مرجع ‘Rs’ یک ورودی پله واحد است.

مقادیر مختلف حالت ماندگار سیستم-۱ در شکل-۴ نشان داده شده است.

Steady State Value Block Diagram — شکل ۴: مقادیر حالت ماندگار مختلف در یک سیستم کنترل

می‌توان دید که مقدار حالت ماندگار سیگنال خطا ۰.۵ است، بنابراین خطای حالت ماندگار ۰.۵ است. اگر سیستم پایدار باشد و سیگنال‌های مختلف ثابت باشند، می‌توان مقادیر حالت ماندگار مختلف را به شرح زیر به دست آورد:

در تابع انتقال به صورت $s\rightarrow 0$ ، می‌توانید ضریب حالت ماندگار تابع انتقال را به دست آورید.

می‌توانید خروجی را به شرح زیر محاسبه کنید:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

به یاد داشته باشید که $R(s)$ = ورودی پله واحد = $\frac{1}{s}$ ، می‌توانیم این را به صورت زیر مرتب کنیم:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

مقدار حالت پایدار خروجی عبارت است از:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

می‌توانیم از روش فوق برای محاسبه مقدار حالت پایدار هر سیگنالی استفاده کنیم. به عنوان مثال:

ورودی برابر است با $R(s)= \frac{1}{s}$ (ورودی واحد پله)

مقدار حالت پایدار آن= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = ۱.

به طور مشابه، سیگنال خطا می‌تواند به صورت زیر محاسبه شود:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

مقدار ثابت حالت پایدار سیگنال خطا (یعنی خطای حالت پایدار):

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

همچنین، از شکل ۴ می‌توان دید که تفاوت بین ورودی و خروجی ۰.۵ است. بنابراین خطای حالت پایدار ۰.۵ است.

روش دیگر برای محاسبه خطای حالت پایدار شامل یافتن ثوابت خطا است، به شرح زیر:

ضریب خطا موقعیتی Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ ، شما خواهید یافت Kp = ۱، ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . شما همان پاسخ را خواهید یافت.

اگر ورودی یک ورودی پله‌ای باشد، مثلاً $R(s)=\frac{3}{s}$ (این یک ورودی پله‌ای است، اما نه یک ورودی پله‌ای واحد)، در این صورت خطای حالت پایدار ess= $\frac{3}{1+Kp}$

اگر ورودی یک ورودی رمپ واحد باشد، آنگاه محاسبه کنید، ضریب خطا سرعتی Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ ، ess= $\frac{1}{Kv}$

اگر ورودی واحد پارابولیک باشد، آنگاه محاسبه ضریب خطا برای شتاب Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ ، ess= $\frac{1}{Ka}$ .

با تجزیه و تحلیل ثابت‌های خطا Kp، Kv و Ka می‌توانید بفهمید که چگونه خطای حالت ماندگار به ورودی بستگی دارد.

کنترل‌کننده PI و خطای حالت ماندگار

یک کنترل‌کننده PI (یعنی یک کنترل‌کننده تناسبی به اضافه یک کنترل‌کننده انتگرالی) خطای حالت ماندگار (ess) را کاهش می‌دهد، اما تأثیر منفی بر استقرار دارد.

کنترل‌کننده‌های PI مزیت کاهش خطای حالت ماندگار سیستم را دارند، در حالی که عیب کاهش استقرار سیستم را نیز دارند.

یک کنترل‌کننده PI استقرار را کاهش می‌دهد. این بدان معناست که دمپینگ کاهش می‌یابد؛ فراخوردی قله‌ای و زمان رسیدن به حالت ماندگار به دلیل کنترل‌کننده PI افزایش می‌یابد؛ ریشه‌های معادله مشخصه (قطب‌های تابع انتقال حلقه بسته) در طرف چپ به محور موهومی نزدیک می‌شوند. همچنین مرتبه سیستم به دلیل کنترل‌کننده PI افزایش می‌یابد که به کاهش استقرار می‌انجامد.

دو معادله مشخصه را در نظر بگیرید، یکی s3+ s2+ 3s+20=0، دیگری s2+3s+20=0. فقط با مشاهده می‌توانید بگویید که سیستم مربوط به معادله اول استقرار کمتری نسبت به معادله دوم دارد. می‌توانید این را با یافتن ریشه‌های معادله تأیید کنید. بنابراین، می‌توانید بفهمید که معادلات مشخصه مرتبه بالاتر استقرار کمتری دارند.

حالا، ما یک کنترل‌کننده PI (کنترل‌کننده تناسبی به اضافه انتگرالی) را به سیستم-1 (شکل-3) اضافه خواهیم کرد و نتایج را بررسی می‌کنیم. پس از اضافه کردن کنترل‌کننده PI به سیستم-1، مقادیر حالت ماندگار مختلف در شکل-5 نشان داده شده‌اند. می‌توان دید که خروجی دقیقاً برابر با ورودی مرجع است. این مزیت کنترل‌کننده PI است که خطای حالت ماندگار را به حداقل می‌رساند تا خروجی تلاش کند تا ورودی مرجع را دنبال کند.

PI Controller Block Diagram — شکل ۵: اثر کنترل‌گر PI در این نمودار مشاهده می‌شود

تابع تبدیل کنترل‌گر PI می‌تواند به صورت $Kp+\frac{Ki}{s}$ یا $\frac{Kps+Ki}{s}.$ محاسبه شود. یک سوال پیش می‌آید که اگر ورودی هر تابع تبدیل صفر باشد، خروجی آن نیز باید صفر باشد. بنابراین، در حالت فعلی ورودی کنترل‌گر PI صفر است، اما خروجی کنترل‌گر PI یک مقدار محدود (به عنوان مثال ۱) است. این توضیح در هیچ کتاب سیستم‌های کنترل ذکر نشده است، بنابراین ما آن را در اینجا توضیح می‌دهیم:

(۱) خطای حالت پایدار دقیقاً صفر نیست، بلکه به صفر میل می‌کند. به طور مشابه، 's' نیز برابر با صفر نیست، بلکه به صفر میل می‌کند. فرض کنید در هر لحظه خطای حالت پایدار ۲×۱۰-۳ باشد، در همان زمان 's' (به طور خاص در مخرج کنترل‌گر PI) نیز برابر با ۲×۱۰-۳ است، بنابراین خروجی کنترل‌گر PI برابر با ۱ است.

حال سیستم کنترل دیگری را در شکل ۶ در نظر بگیرید:

Closed Loop Control System with PI Controller — شکل ۶: یک نمونه از سیستم کنترل حلقه بسته با کنترل‌گر PI

در این حالت، می‌توانیم بگوییم که در هر لحظه، فرض کنید خطای حالت پایدار ۲×۱۰-۳ باشد، در همان زمان 's' برابر با ۴×۱۰-۳ است؛ بنابراین خروجی کنترل‌گر PI برابر با ۰.۵ است. این بدان معناست که هم 'ess' و هم 's' به صفر میل می‌کنند، اما نسبت آن‌ها یک مقدار محدود است.

در کتاب‌های سیستم کنترل هرگز s=0 یا t=∞ را پیدا نخواهید کرد؛ همیشه خواهید دید
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(۲) توضیح دوم این است که خطای حالت ماندگار صفر است، 's' نیز در حالت ماندگار صفر است. تابع انتقال کنترل‌کننده PI به صورت $\frac{Kps+Ki}{s}$ . در کتاب‌های ریاضیات، خواهید دید که $\frac{0}{0}$ تعریف نشده است، بنابراین می‌تواند هر مقدار محدودی باشد (به شکل ۷ مراجعه کنید).

PI Controller — شکل ۷: ورودی به تابع انتقال صفر است اما خروجی مقدار محدودی است

(۳) توضیح سوم این است که $\frac{1}{s}$ یک انتگرال‌گیر است. ورودی صفر است، انتگرال صفر تعریف نشده است. بنابراین خروجی کنترل‌کننده PI می‌تواند هر مقدار محدودی باشد.

یک تفاوت اساسی در سیستم کنترل باز و سیستم کنترل بسته

با توجه به توضیحات فوق، یک تفاوت اساسی در سیستم کنترل باز و سیستم کنترل بسته را توضیح می‌دهیم. تفاوت‌های سیستم کنترل باز و سیستم کنترل بسته را می‌توانید در هر کتاب سیستم کنترل* پیدا کنید، اما یک تفاوت اساسی که مرتبط با توضیحات فوق است در اینجا ارائه شده و امیدواریم به خوانندگان مفید باشد.

یک سیستم کنترل باز می‌تواند به صورت زیر نمایش داده شود:

Open Loop Control System — شکل ۸: این نمودار سیستم کنترل باز استاندارد است

سیستم کنترل حلقه بسته (سیستم کنترل با پیشخور) می‌تواند به صورت زیر نمایش داده شود:

تابع تبدیل سیستم ثابت است (تابع تبدیل سیستم می‌تواند به خاطر تغییرات محیطی، اختلالات و غیره به طور خودکار تغییر کند). در تمامی بحث‌های ما فرض کرده‌ایم که H(s)=1؛ یک عملگر می‌تواند تابع تبدیل کنترل‌کننده را کنترل کند (یعنی پارامترهای کنترل‌کننده مانند Kp, Kd, Ki) و غیره.

کنترل‌کننده می‌تواند کنترل‌کننده تناسبی (P)، کنترل‌کننده PI، کنترل‌کننده PD، کنترل‌کننده PID، کنترل‌کننده منطق فازی و غیره باشد. دو هدف اصلی یک کنترل‌کننده (i) حفظ پایداری، یعنی دمپینگ باید حدود ۰.۷-۰.۹ باشد، پیک افزونگی و زمان رسیدن به حالت دائمی باید کم باشد (ii) خطای حالت دائمی باید حداقل باشد (باید صفر باشد).

اما اگر سعی کنیم دمپینگ را افزایش دهیم، خطای حالت دائمی ممکن است افزایش یابد. بنابراین طراحی کنترل‌کننده باید به گونه‌ای باشد که هر دو (پایداری و خطای حالت دائمی) تحت کنترل باشند. طراحی بهینه کنترل‌کننده یک موضوع تحقیق گسترده است.

همان‌طور که قبلاً ذکر شد، کنترل‌کننده PI خطای حالت دائمی (ess) را به طور قابل توجهی کاهش می‌دهد، اما تأثیر منفی بر پایداری دارد.

حالا، یک تفاوت اساسی بین سیستم کنترل باز و سیستم کنترل حلقه بسته را که مرتبط با توضیحات بالا است، توضیح می‌دهیم.

به شکل ۱۰ توجه کنید؛ این یک سیستم کنترل باز است.

فرض کنید ورودی یک ورودی پله واحد است. بنابراین، مقدار حالت پایدار ورودی برابر با '۱' است. می‌توان محاسبه کرد که مقدار حالت پایدار خروجی برابر با '۲' است. فرض کنید تابع انتقال [G(s)] ناشی از هر دلیلی تغییر کند، تأثیر آن بر ورودی و خروجی چه خواهد بود؟ پاسخ این است که ورودی به سیستم تغییر نخواهد کرد، اما خروجی سیستم تغییر خواهد کرد.

حال شکل‌های ۱۱ و ۱۲ را در نظر بگیرید

Closed loop system — شکل-۱۲: سیستم با حلقه بسته، خروجی سیستم مشابه است اما ورودی سیستم به دلیل تغییر در تابع انتقال تغییر کرده است

هر دو سیستم کنترل با حلقه بسته هستند. در شکل-۱۱، فرض کنید تابع انتقال سیستم به دلیل هر دلیلی تغییر کند، تأثیر آن بر ورودی و خروجی چه خواهد بود؟ در این صورت، ورودی به سیستم تغییر خواهد کرد، اما خروجی سیستم تغییر نخواهد کرد. خروجی سیستم سعی می‌کند ورودی مرجع را دنبال کند.

شکل-۱۲ شرایط جدید را نشان می‌دهد که در آن پارامترهای سیستم تغییر کرده‌اند. می‌توانید ببینید که ورودی سیستم از ۰.۵ به ۰.۴۷۶ تغییر کرده است، در حالی که خروجی تغییر نکرده است. در هر دو حالت، ورودی به کنترل‌کننده PI صفر است، مشخصات کنترل‌کننده PI یکسان است اما خروجی کنترل‌کننده PI متفاوت است.

بنابراین می‌توانید بفهمید که در سیستم کنترل با حلقه باز خروجی سیستم تغییر می‌کند، در حالی که در سیستم کنترل با حلقه بسته ورودی به سیستم تغییر می‌کند.

در کتاب‌های سیستم کنترل می‌توانید عبارت زیر را پیدا کنید:

در صورت تغییر پارامترهای تابع انتقال سیستم، سیستم کنترل حلقه بسته در مقایسه با سیستم کنترل حلقه باز کمتر حساس است (یعنی تغییر خروجی سیستم کنترل حلقه بسته نسبت به سیستم کنترل حلقه باز کمتر است).

امیدواریم این بیان با مثال‌های ذکر شده در این مقاله واضح‌تر باشد.

___________________________________________________________________

*عزیزان IEE-Business، لطفاً توجه داشته باشید که هدف این مقاله تکرار موضوعات موجود در کتاب‌ها نیست؛ بلکه هدف ما ارائه موضوعات پیچیده مهندسی کنترل به زبان ساده و با مثال‌های عددی است. امیدواریم این مقاله در درک پیچیدگی‌های مختلف مربوط به خطای حالت پایدار و کنترل‌کننده‌های PI برای شما مفید باشد.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوبی که قابل تقسیم‌بندی هستند، اگر نقض حق تکثیر وجود دارد لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.

هدیه دادن و تشویق نویسنده

موضوعات:

سیستم‌های برق

سیستم‌های کنترل

درباره متخصصان

Electrical4u

China