Lỗi trạng thái ổn định: Điều gì là nó? (Tăng益处稳定状态, 值与公式) 看起来在翻译过程中出现了错误，我将更正并重新提供正确的翻译： Lỗi trạng thái ổn định: Điều gì là nó? (Tăng trạng thái ổn định, Giá trị & Công thức)

Trường dữ liệu: Điện Cơ Bản

China

Sai số trạng thái ổn định là gì

Sai số trạng thái ổn định được định nghĩa là sự khác biệt giữa giá trị mong muốn và giá trị thực tế của đầu ra hệ thống khi thời gian tiến tới vô cùng (tức là khi phản ứng của hệ thống điều khiển đã đạt đến trạng thái ổn định).

Sai số trạng thái ổn định là một thuộc tính của phản ứng đầu vào/đầu ra cho một hệ thống tuyến tính. Nói chung, một hệ thống điều khiển tốt sẽ là hệ thống có sai số trạng thái ổn định thấp.

Trước tiên, chúng ta sẽ thảo luận về sai số trạng thái ổn định trong hàm truyền bậc nhất bằng cách phân tích phản ứng trạng thái ổn định của nó. Hãy xem xét hàm truyền dưới đây:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Đây là một hàm truyền bậc nhất đơn giản, có độ lợi bằng một và hằng số thời gian là 0.7 giây. Lưu ý rằng nó được gọi là hàm truyền bậc nhất vì 's' trong mẫu có bậc cao nhất là '1'. Nếu thay vào đó là $0.7s^2 + 1$ , thì nó sẽ là hàm truyền bậc hai thay vì bậc nhất.

Phản ứng của hàm truyền này đối với đầu vào trạng thái ổn định được thể hiện trong Hình 1. Có thể thấy rằng ở trạng thái ổn định, đầu ra chính xác bằng đầu vào. Do đó, sai số trạng thái ổn định là không.

Đáp ứng thời gian của Hàm Chuyển Đổi bậc nhất đối với Đầu vào Bước. — Hình 1: Đây là đáp ứng thời gian của Hàm Chuyển Đổi bậc nhất đối với Đầu vào Bước. Có thể thấy lỗi ổn định trạng thái là không.

Đáp ứng của hàm này đối với đầu vào đường dốc đơn vị được hiển thị trong Hình 2. Có thể thấy rằng ở trạng thái ổn định có sự khác biệt giữa đầu vào và đầu ra. Do đó, đối với đầu vào đường dốc đơn vị, tồn tại lỗi ổn định trạng thái.

Đáp ứng thời gian của Hàm Chuyển Đổi bậc nhất đối với Đầu vào Đường Dốc. — Hình 2: Đây là đáp ứng thời gian của Hàm Chuyển Đổi bậc nhất đối với Đầu vào Đường Dốc. Có thể thấy rằng lỗi ổn định trạng thái tồn tại trong trường hợp này.

Lưu ý rằng trong nhiều sách về hệ thống điều khiển, bạn có thể tìm thấy rằng đối với đầu vào đường dốc, lỗi ổn định trạng thái của hàm chuyển đổi bậc nhất bằng hằng số thời gian. Từ việc quan sát Hình 2 trên, chúng ta có thể thấy điều này là đúng. Tại t = 3 giây, đầu vào là 3 trong khi đầu ra là 2.3. Do đó, lỗi ổn định trạng thái là 0.7, tương đương với hằng số thời gian cho hàm chuyển đổi bậc nhất này.

Xin lưu ý các mẹo quan trọng sau:

Lỗi ổn định trạng thái cao nhất nếu đầu vào là parabol, thường thấp hơn đối với đầu vào đường dốc, và thậm chí thấp hơn nữa đối với đầu vào bước. Như đã giải thích ở trên, lỗi ổn định trạng thái là không đối với đầu vào bước, và 0.7 đối với đầu vào đường dốc, và có thể thấy rằng nó là ∞ đối với đầu vào parabol.
Nên lưu ý rằng lỗi ổn định trạng thái phụ thuộc vào đầu vào, trong khi độ ổn định không phụ thuộc vào đầu vào.

Hãy xem xét một hệ thống điều khiển vòng kín có hàm chuyển

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Trong đó các ký hiệu có ý nghĩa thông thường. Độ ổn định của hệ thống phụ thuộc vào mẫu số tức là ‘1+G(s)H(s)’. Phương trình đặc trưng ‘1+G(s)H(s) = 0’ được gọi là phương trình đặc trưng. Các nghiệm của nó chỉ ra độ ổn định của hệ thống. Lỗi trạng thái ổn định phụ thuộc vào R(s).

Trong một hệ thống điều khiển vòng kín, tín hiệu lỗi có thể được tính như sau $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Lỗi trạng thái ổn định có thể tìm thấy như ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , trong đó lỗi trạng thái ổn định là giá trị của tín hiệu lỗi ở trạng thái ổn định. Từ đây ta có thể thấy rằng lỗi trạng thái ổn định phụ thuộc vào R(s).

Như đã đề cập ở trên, độ ổn định phụ thuộc vào mẫu số tức là 1 + G(s)H(s). Trong đó ‘1’ là hằng số, do đó độ ổn định phụ thuộc vào G(s)H(s), phần của phương trình có thể thay đổi. Vì vậy, bạn có thể hiểu được đồ thị Bode, đồ thị Nyquist được vẽ với sự giúp đỡ của G(s)H(s), nhưng chúng chỉ ra độ ổn định của $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) được gọi là hàm truyền vòng mở và $\frac{C(s)}{R(s)}$ được gọi là hàm truyền vòng kín. Bằng cách phân tích hàm truyền vòng mở G(s)H(s), chúng ta có thể tìm thấy sự ổn định của hàm truyền vòng kín thông qua biểu đồ Bode & Nyquist.

Ví dụ về Lỗi Trạng thái Steady

Lỗi Trạng thái Steady cho Đầu vào Bước Đơn vị

Bây giờ, chúng tôi sẽ giải thích, lỗi trạng thái steady trong hệ thống điều khiển vòng kín với một số ví dụ số học. Chúng tôi sẽ bắt đầu với hệ thống điều khiển có đầu vào bước đơn vị.

Ví dụ-1:

Xem xét hệ thống điều khiển sau (hệ thống-1) như được hiển thị trong Hình-3:

Closed Loop Control System — Hình-3: Hệ thống Điều khiển Vòng Kín

Đầu vào tham chiếu ‘Rs’ là đầu vào bước đơn vị.

Các giá trị trạng thái ổn định khác nhau của Hệ thống-1 được hiển thị trong Hình-4.

Steady State Value Block Diagram — Hình 4: Các giá trị ổn định khác nhau trong hệ thống điều khiển

Có thể thấy rằng giá trị ổn định của tín hiệu lỗi là 0,5, do đó lỗi ổn định là 0,5. Nếu hệ thống ổn định và các tín hiệu khác không đổi thì các giá trị ổn định khác có thể được xác định như sau:

Trong hàm truyền khi $s\rightarrow 0$ , bạn sẽ nhận được lợi ích ổn định của hàm truyền.

Bạn có thể tính toán đầu ra như sau:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Nhớ rằng $R(s)$ = đầu vào bước đơn vị = $\frac{1}{s}$ , chúng ta có thể sắp xếp lại thành:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Giá trị ổn định của đầu ra là:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp trên để tính giá trị ổn định của bất kỳ tín hiệu nào. Ví dụ:

Đầu vào là $R(s)= \frac{1}{s}$ (đầu vào là bước đơn vị)

Giá trị ổn định của nó = $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Tương tự, tín hiệu lỗi có thể được tính như sau:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Giá trị ổn định của tín hiệu lỗi (tức là lỗi ổn định) là:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Cũng có thể thấy từ Hình 4 rằng sự khác biệt giữa đầu vào và đầu ra là 0,5. Do đó, lỗi ổn định là 0,5.

Phương pháp khác để tính lỗi ổn định bao gồm việc tìm hằng số lỗi, như sau:

Tính hệ số lỗi vị trí Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Bạn sẽ tìm thấy Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Bạn sẽ tìm thấy cùng một câu trả lời.

Nếu đầu vào là đầu vào bước, ví dụ như $R(s)=\frac{3}{s}$ (đây là đầu vào bước, nhưng không phải là đầu vào bước đơn vị), thì lỗi ổn định là ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Nếu đầu vào là đầu vào dốc đơn vị, thì Tính, Hệ số lỗi vận tốc Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Nếu đầu vào là tín hiệu parabol đơn vị, thì tính hệ số lỗi gia tốc Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Với phân tích các hằng số lỗi Kp, Kv và Ka, bạn có thể hiểu cách mà lỗi trạng thái ổn định phụ thuộc vào đầu vào.

Bộ Điều Khiển PI Và Lỗi Trạng Thái Ổn Định

Một bộ điều khiển PI (tức là một bộ điều khiển tỷ lệ cộng với bộ điều khiển tích phân) giảm thiểu lỗi trạng thái ổn định (ess), nhưng có tác động tiêu cực đến sự ổn định.

Bộ điều khiển PI có ưu điểm là giảm thiểu lỗi trạng thái ổn định của hệ thống, trong khi có nhược điểm là làm giảm sự ổn định của hệ thống.

Bộ điều khiển PI làm giảm sự ổn định. Điều này có nghĩa là độ giảm chấn giảm; đỉnh vượt mức và thời gian ổn định tăng do bộ điều khiển PI; Các nghiệm của phương trình đặc trưng (các cực của hàm chuyển đóng vòng) ở bên trái sẽ gần trục ảo hơn. Thứ tự của hệ thống cũng tăng do bộ điều khiển PI, điều này có xu hướng làm giảm sự ổn định.

Xem xét hai phương trình đặc trưng, một là s3+ s2+ 3s+20=0, còn lại là s2+3s+20=0. Chỉ bằng quan sát, chúng ta có thể nói rằng hệ thống liên quan đến phương trình thứ nhất có độ ổn định thấp hơn so với phương trình thứ hai. Bạn có thể kiểm chứng điều này bằng cách tìm các nghiệm của phương trình. Vì vậy, bạn có thể hiểu rằng các phương trình đặc trưng bậc cao có độ ổn định thấp hơn.

Bây giờ, chúng ta sẽ thêm một bộ điều khiển PI (Bộ điều khiển Tỷ lệ cộng Tích phân) vào hệ thống-1 (Hình 3) và xem xét kết quả. Sau khi chèn bộ điều khiển PI vào hệ thống-1, các giá trị trạng thái ổn định khác nhau được hiển thị trong Hình 5, có thể thấy rằng đầu ra chính xác bằng với đầu vào tham chiếu. Đây là ưu điểm của bộ điều khiển PI, nó giảm thiểu lỗi trạng thái ổn định để đầu ra cố gắng theo dõi đầu vào tham chiếu.

PI Controller Block Diagram — Hình 5: Tác động của bộ điều khiển PI có thể được thấy trong sơ đồ này

Hàm chuyển của bộ điều khiển PI có thể được tính như sau $Kp+\frac{Ki}{s}$ hoặc $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Một câu hỏi có thể được đặt ra rằng nếu đầu vào của bất kỳ hàm chuyển nào là không thì đầu ra của nó cũng phải là không. Vì vậy, trong trường hợp hiện tại, đầu vào của bộ điều khiển PI là không, nhưng đầu ra của bộ điều khiển PI lại là một giá trị hữu hạn (tức là 1). Giải thích này không được đưa ra trong bất kỳ sách hệ thống điều khiển nào, vì vậy chúng tôi sẽ giải thích ở đây:

(1) Lỗi ổn định không hoàn toàn bằng không, nó có xu hướng về không, tương tự 's' không bằng không, nó có xu hướng về không. Giả sử tại bất kỳ thời điểm nào lỗi ổn định là 2x10-3, cùng lúc đó 's' (đặc biệt chúng ta đang nói về 's' trong mẫu số của bộ điều khiển PI) cũng bằng 2x10-3, do đó đầu ra của bộ điều khiển PI là '1'.

Giả sử một hệ thống điều khiển khác được hiển thị trong Hình 6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Hình 6: Một ví dụ về hệ thống điều khiển vòng kín với bộ điều khiển PI

Trong trường hợp này, chúng ta có thể nói, tại bất kỳ thời điểm nào, giả sử lỗi ổn định là 2x10-3, cùng lúc đó 's' bằng 4×10-3; do đó đầu ra của bộ điều khiển PI là '0.5'. Điều này có nghĩa là cả 'ess' và 's' đều có xu hướng về không, nhưng tỷ lệ của chúng là một giá trị hữu hạn.

Trong các sách về hệ thống điều khiển, bạn sẽ không bao giờ tìm thấy s=0 hoặc t=∞; bạn sẽ luôn tìm thấy
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Giải thích thứ hai là lỗi ổn định là không, 's' cũng là không trong trạng thái ổn định. Hàm chuyển của bộ điều khiển PI là $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Trong các sách toán học, bạn sẽ tìm thấy rằng $\frac{0}{0}$ không xác định, do đó nó có thể là bất kỳ giá trị hữu hạn nào (xem Hình 7).

PI Controller — Hình 7: Đầu vào cho hàm chuyển là không nhưng đầu ra là một giá trị hữu hạn

(3) Giải thích thứ ba là, $\frac{1}{s}$ là một tích phân. Đầu vào là không, tích phân của không là không xác định. Do đó, đầu ra của bộ điều khiển PI có thể là bất kỳ giá trị hữu hạn nào.

Một sự khác biệt cơ bản giữa hệ thống điều khiển vòng mở và hệ thống điều khiển vòng kín

Dựa trên giải thích ở trên, chúng ta sẽ giải thích một sự khác biệt cơ bản giữa hệ thống điều khiển vòng mở và hệ thống điều khiển vòng kín. Sự khác biệt giữa hệ thống điều khiển vòng mở và hệ thống điều khiển vòng kín, bạn có thể tìm thấy trong bất kỳ cuốn sách nào về hệ thống điều khiển*, nhưng một sự khác biệt cơ bản liên quan đến giải thích ở trên được đưa ra ở đây và chúng tôi hy vọng chắc chắn nó sẽ hữu ích cho người đọc.

Một hệ thống điều khiển vòng mở có thể được biểu diễn như sau:

Một hệ thống điều khiển vòng kín (hệ thống điều khiển phản hồi) có thể được biểu diễn như sau:

Hàm chuyển của thiết bị được cố định (Hàm chuyển của thiết bị có thể thay đổi tự động do thay đổi môi trường, nhiễu, v.v.). Trong tất cả các thảo luận của chúng tôi, chúng tôi đã giả định H(s)=1; Một người vận hành có thể kiểm soát hàm chuyển của bộ điều khiển (tức là các tham số của bộ điều khiển như Kp, Kd, Ki) v.v.

Bộ điều khiển có thể là bộ điều khiển tỷ lệ (P), bộ điều khiển PI, bộ điều khiển PD, bộ điều khiển PID, bộ điều khiển logic mờ v.v. Có hai mục tiêu của bộ điều khiển (i) Để duy trì sự ổn định, tức là hệ số giảm chấn nên ở khoảng 0,7-0,9, sai số đỉnh và thời gian ổn định nên thấp (ii) Sai số trạng thái ổn định nên tối thiểu (nó nên bằng không).

Nhưng nếu chúng ta cố gắng tăng hệ số giảm chấn thì sai số trạng thái ổn định có thể tăng lên. Do đó, việc thiết kế bộ điều khiển nên sao cho cả hai (ổn định và sai số trạng thái ổn định) đều được kiểm soát. Thiết kế tối ưu của bộ điều khiển là một chủ đề nghiên cứu rộng lớn.

Đã được viết trước đây, bộ điều khiển PI giảm đáng kể sai số trạng thái ổn định (ess), nhưng có tác động tiêu cực đến sự ổn định.

Bây giờ, chúng ta sẽ giải thích một sự khác biệt cơ bản giữa hệ thống điều khiển vòng mở và hệ thống điều khiển vòng kín, liên quan đến giải thích trên.

Xem Hình 10; đây là một hệ thống điều khiển vòng mở.

Giả sử đầu vào là một tín hiệu bước đơn vị. Do đó, giá trị ổn định của đầu vào là '1'. Có thể tính được giá trị ổn định của đầu ra là '2'. Giả sử có sự thay đổi trong hàm truyền [G(s)] của hệ thống do bất kỳ lý do nào, tác động lên đầu vào và đầu ra sẽ như thế nào? Câu trả lời là đầu vào của hệ thống sẽ không thay đổi, đầu ra của hệ thống sẽ thay đổi.

Bây giờ hãy xem Hình 11 và 12

Hình 12: Hệ thống vòng kín, đầu ra của hệ thống không thay đổi nhưng đầu vào của hệ thống thay đổi do sự thay đổi trong hàm truyền

Cả hai đều là hệ thống điều khiển vòng kín. Trong Hình 11, giả sử có sự thay đổi trong hàm truyền của hệ thống do bất kỳ lý do nào, tác động lên đầu vào và đầu ra sẽ như thế nào? Trong trường hợp này, đầu vào của hệ thống sẽ thay đổi, đầu ra của hệ thống sẽ không thay đổi. Đầu ra của hệ thống cố gắng theo dõi đầu vào tham chiếu.

Hình 12 cho thấy các điều kiện mới, trong đó các thông số của hệ thống đã thay đổi. Bạn có thể thấy đầu vào của hệ thống đã thay đổi từ 0.5 thành 0.476, trong khi đầu ra không thay đổi. Trong cả hai trường hợp, đầu vào cho bộ điều khiển PI là không, các thông số kỹ thuật của bộ điều khiển PI là giống nhau nhưng đầu ra của bộ điều khiển PI là khác nhau.

Vì vậy, bạn có thể hiểu rằng, trong hệ thống điều khiển vòng mở, đầu ra của hệ thống thay đổi, trong khi trong hệ thống điều khiển vòng kín, đầu vào của hệ thống thay đổi.

Trong sách về hệ thống điều khiển, bạn có thể tìm thấy câu sau:

"Trong trường hợp tham số của hàm truyền động nhà máy thay đổi, hệ thống điều khiển vòng kín ít nhạy cảm hơn so với hệ thống điều khiển vòng hở" (tức là sự biến đổi đầu ra của hệ thống điều khiển vòng kín ít hơn so với hệ thống điều khiển vòng hở).

Chúng tôi hy vọng rằng tuyên bố trên sẽ được rõ ràng hơn qua các ví dụ được đưa ra trong bài viết này.

___________________________________________________________________

*Thân gửi độc giả của Electrical4U, xin lưu ý rằng mục đích của bài viết này không phải là tái tạo lại các chủ đề đã có sẵn trong sách; mà mục tiêu của chúng tôi là trình bày các chủ đề phức tạp khác nhau về Kỹ thuật Điều khiển bằng ngôn ngữ dễ hiểu cùng với các ví dụ số học. Chúng tôi hy vọng rằng bài viết này sẽ hữu ích cho bạn để hiểu các tính chất phức tạp về lỗi trạng thái ổn định và bộ điều khiển PI.

Tuyên bố: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.

Đóng góp và khuyến khích tác giả!

Chủ đề:

Hệ thống điện

Hệ thống điều khiển

Về chuyên gia

Electrical4u

China

Lĩnh vực chuyên môn

Basic Electrical

Bài viết chuyên ngành

607