Error sa Steady State: Ano ito? (Steady-State Gain, Value & Formula)

Larangan: Basic Electrical Basikong Elektikal

China

Unsa ang Steady State Error

Unsa ang Steady State Error?

Ang steady-state error mao ang pagkakaiba tali sa gipangita nga value ug ang aktwal nga value sa output sa sistema sa limit nga ang panahon nagpadayon sa infinity (i.e. kon ang response sa control system nagsugyot na sa steady-state).

Ang steady-state error mao ang katangian sa input/output response alang sa linear system. Sa general, ang maayo nga control system mao ang usa nga adunay kaayo nga gamay nga steady-state error.

Unang-una, atong ibasehan ang steady-state error sa first-order transfer function pinaagi sa pag-analisa sa iyang steady state response. Konsidera ang transfer function sa ubos:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Kini usa ka simple first order transfer function, adunay gain sama sa uno ug time constant sama sa 0.7 seconds. Note nga gitawag kini og first-order transfer function tungod kay ang 's' sa denominator adunay pinakataas nga power sama sa '1'. Kon kini mao ang $0.7s^2 + 1$ , mahimong second order transfer function ang kini.

Ang response niining transfer function sa steady-state input makita sa Figure-1. Makita nga sa steady-state, ang output eksakto sama sa input. Busa ang steady-state error zero.

Ang pagresponde sa oras sa Unang Klase nga Transfer Function labi sa step Input. — Figure-1: Kini ang pagresponde sa oras sa Unang Klase nga Transfer Function labi sa step Input. Makita nimo nga ang steady state error mahimong zero

Ang pagresponde niining function sa unit ramp input makita sa Figure-2. Makita nimo nga sa steady-state adunay kaibhan tali sa input ug output. Busa para sa unit ramp input, adunay steady-state error.

Ang pagresponde sa oras sa Unang Klase nga Transfer Function labi sa Ramp Input. — Figure-2: Kini ang pagresponde sa oras sa Unang Klase nga Transfer Function labi sa ramp Input. Makita nimo nga ang steady state error nahimong ania

Pwede nimong makita sa daghang libro sa control system nga ang steady-state error sa unang klase nga transfer function labi sa ramp input sama sa time constant. Gikan sa pagsusi sa Figure-2, makita nimo nga kini ang totoon. Sa t=3 seconds, ang input 3 samtang ang output 2.3. Busa ang steady-state error 0.7, sama sa time constant niining unang klase nga transfer function.

Pahinumdomi ang sumala nga importante nga tips:

Ang steady-state error mas taas kung ang input parabolic, mas baba sa ramp input, ug mas baba pa sa step input. Gisulti na sa ubos, ang steady-state error zero labi sa step input, ug 0.7 labi sa ramp input, ug makita nga ∞ labi sa parabolic input.
Pwede nimong maingon nga ang steady-state error depende sa input, pero ang stability dili depende sa input.

Pagsibaw sa usa ka closed loop control system nga adunay transfer function

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Kung diin ang simbolo adunay ilang kasagaran nga kahulugan. Ang estabilidad sa sistema depende sa denominator o '1+G(s)H(s)'. Ang '1+G(s)H(s) = 0' gitawag og characteristics equation. Ang mga ugat niini nagpakita sa estabilidad sa sistema. Ang steady-state error depende sa R(s).

Sa usa ka closed loop control system, ang error signal mahimong makalkula isip $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Ang steady state error mahimong makit-an isip ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , kung diin ang steady-state error mao ang halaga sa error signal sa steady state. Gikan niini makita nato nga ang steady-state error depende sa R(s).

Isip giingon sa itaas, ang estabilidad depende sa denominator o 1 + G(s)H(s). Ania ang '1' mao ang konstante, kaya ang estabilidad depende sa G(s)H(s), nga mao ang bahin sa equation nga mahimo mogusli. Kini mas maayo nga maintindihan ang Bode plot, Nyquist plot gihimo pinaagi sa G(s)H(s), apan sila nagpakita sa estabilidad sa C(s)/R(s).

Ang G(s)H(s) gitawag og open-loop transfer function ug ang $\frac{C(s)}{R(s)}$ gitawag og closed-loop transfer function. Pwede nato masabot ang estabilidad sa closed-loop transfer function pinaagi sa pag-analisa sa open-loop transfer function iya G(s)H(s) gamit ang Bode plot & Nyquist plot.

Mga Halimbawa sa Steady State Error

Steady State Error para sa Unit Step Input

Karon, ipahibalo nato ang steady-state error sa usa ka closed-loop control system pinaagi sa pipila ka mga halimbawa nga may numero. Magsugod ta sa usa ka control system nga may unit step input.

Halimbawa-1:

Konsidera ang sumusunod nga control system (system-1) sama sa ipahayag sa Figure-3:

Ang reference input ‘Rs’ mao ang unit step input.

Ang iba pang mga steady-state values sa System-1 gitray sa Figure-4.

Steady State Value Block Diagram — Figure-4: Mga Kostante nga mga Halaga sa usa ka Sistema sa Paghimo

Mahimong makita nga ang kostante nga halaga sa signal sa sayop mao ang 0.5, kaya ang kostante nga sayop mao usab ang 0.5. Kon ang sistema stable ug ang iba pang mga signal nagkostante, ang mga sumusunod nga kostante nga mga halaga mahimong makuhon:

Sa transfer function ingon nga $s\rightarrow 0$ , makakuhon nimo ang kostante nga gain sa transfer function.

Mahimong makalkula nimo ang output ingon niini:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Hinumdumi nga $R(s)$ = unit step input = $\frac{1}{s}$ , mahimong mapagbag-o niini ngadto ha:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Ang steady state value sa output mao kini:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Mahimo nato gamiton ang susama nga paagi aron masukod ang steady state value sa bisan unsang signal. Tumong:

Input mao kini $R(s)= \frac{1}{s}$ (Input mao kini unit step input)

Ang steady state value niini= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Parehas ra, ang error signal mahimo mapasabot ingon:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Ang steady state value sa error signal (i.e. ang steady state error) mao kini:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Usab, makita gikan sa Figure-4 nga ang kaibhan tali sa input & output mao ang 0.5. Bisan na, ang steady state error mao ang 0.5.

Usa pa ka paraan aron pagkuha sa steady state error mao ang pagpangita sa error constants, sama sa mosunod:

Pagsulayi ang koepisyal nga sayop nga posisyon Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Makakita ka og Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Makakita ka og sama nga tubag.

Kon ang input mao ang step input, sabihon nato $R(s)=\frac{3}{s}$ (mga step input, pero dili unit step input), makakita ka og steady state error nga ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Kon ang input mao ang unit ramp input, Pagsulayi, Velocity error coefficient Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Kon unsa ang input nga parabolic, kini ang pagkalkula, Acceleration error coefficient Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Pinaagi sa pag-analisa sa mga error constants Kp, Kv ug Ka, makapahibalo ka kung asa ang steady state error nagdepende sa input.

PI Controller Ug Steady State Error

Ang PI controller (usa ka proportional controller plus integral controller) nagsulay sa steady state error (ess), apan may negatibong epekto sa estabilidad.

Ang PI controllers adunay abilidad sa pagbawas sa steady-state error sa usa ka sistema, apan may disadvantage sa pagbawas sa estabilidad sa sistema.

Nagbawas ang PI controller sa estabilidad. Kini nagpasabot nga mobaba ang damping; mobata ang peak overshoot ug settling time tungod sa PI controller; Ang roots sa characteristics equation (poles sa closed-loop transfer function) sa left-hand side mas mapailhan sa imaginary axis. Mouban usab ang order sa sistema tungod sa PI controller, nga nagtumong sa pagbawas sa estabilidad.

Konsidera ang duha ka characteristics equations, ang una mao ang s3+ s2+ 3s+20=0, ang ikaduha mao ang s2+3s+20=0. Pwede nimong sabihon pinaagi sa pag-observa nga mas baba ang estabilidad sa sistema nga related sa unang equation kon parehas sa ikaduhang equation. Mahimo nimong i-verify niini pinaagi sa pagpangita sa roots sa equation. Busa, makapahibalo ka nga ang mas taas nga order sa characteristics equations adunay mas baba nga estabilidad.

Ngayon, miyaong mog dugang og usa ka PI controller (Proportional Plus Integral controller) sa system-1 (Figure-3) ug imo-examine ang resulta. Pagkahuman sa pag-dugang sa PI controller sa system-1, ang iba't ibang steady state values gisipon sa Figure-5, Makita nga ang output eksakto ra ang sama sa reference input. Adunay advantage ang PI controller nga gitubigan nia ang steady state error aron ang output mag-follow sa reference input.

PI Controller Block Diagram — Figure-5: Ang epekto sa PI Controller makita kini sa diagram

Ang transfer function sa PI controller mahimong mokalkula isip $Kp+\frac{Ki}{s}$ o $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Usa ka pangutana mahimong gipangutana nga kon ang input sa bisan unsang transfer function zero, ang output usab zero. Sa kasagaran, ang input sa PI controller zero, apan ang output sa PI controller usa ka finite value (i.e. 1). Wala kini gitumong sa bisan unsang libro sa control system, kaya gi-explain nami kini dinhi:

(1) Ang steady state error wala eksakto zero, nagtend siya ngadto sa zero, sama sa 's' wala equal sa zero, nagtend siya ngadto sa zero, Kon adunay instant ang steady state error 2x10-3, sa samang panahon ang 's' (partikular na ang 's' sa denominator sa PI controller) usab equal sa 2x10-3, kaya ang output sa PI controller '1'.

Himo ta og consider sa usa ka bag-ong control system nga nakita sa Figure-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Figure-6: USA ka Example sa Closed Loop Control System nga may PI Controller

Sa kaso niini, mahimo ta mogwanti, sa bisan unsang instant, ang steady state error 2x10-3, sa samang panahon ang 's' equal sa 4×10-3; kaya ang output sa PI controller '0.5'. Nanginahanglan kini nga parehas ang 'ess' ug 's' nagtend ngadto sa zero, apan ang ilang ratio usa ka finite value.

Sa mga libro sa sistema sa pagkotrol, wala ka masayran og s=0 o t=∞; masayran nimo
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Ang ikaduhang pagsabot mao ang steady-state error nga zero, ang 's' usa usab zero sa steady state. Ang PI controller transfer function mao $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Sa mga libro sa matematika, masayran nimo nga $\frac{0}{0}$ dili nailhan, kaya mahimong bisan unsa nga finite value (tumong Figure-7).

(3) Ang ikatulo nga pagsabot mao, $\frac{1}{s}$ mao integrator. Ang input mao zero, ang integration sa zero dili nailhan. Kaya ang output sa PI controller mahimong bisan unsa nga finite value.

Ang usa ka basic difference sa open loop control system & closed loop control system

Basa sa uban paagi, ipahibalo nato ang usa ka basic difference sa open-loop control system & closed-loop control system. Ang differences sa open-loop control system & closed-loop control system, makita nimo sa bisan unsa nga libro sa control systems*, pero ang usa ka basic difference nga adunay kalabutan sa uban paagi gihatag niini ug asa miyud na hopeful nga useful sa mga readers.

Ang open loop control system mahimong representar bahin sa sumala:

Sistema nga Open Loop Control — Figure-8: Kini usa ka diagram sa Standard Open Loop Control System

Ang closed loop control system (feedback control system) mahimong ipahayag kini:

Sistema nga Closed Loop Control — Figure-9: Kini usa ka diagram sa Standard Closed Loop Control System

Ang transfer function sa plant gipirmahan (Transfer Function sa plant mahimo molusob sa automatic tungod sa pagbag-o sa environment, disturbances, etc.). Sa tanang aming diskusyon, gihatagan nato H(s)=1; Ang operator makontrol ang transfer function sa controller (i.e parameter sa controller sama sa Kp, Kd, Ki) etc.

Ang controller mahimong Proportional controller (P controller), PI controller, PD controller, PID controller, Fuzzy logic controller, etc. Duha ang layo sa controller (i) Pagmaintain sa stability, i.e. damping dapat mobalhin sa 0.7-0.9, peak overshoot ug settling time dapat gamay (ii) Steady-state error dapat gamay (dapat zero).

Pero kon mag-attempt mi mogamayon sa damping, maka-increase ang steady-state error. Dili lang gani designing sa controller dapat parehas (stability & steady-state error) dapat kontrolado. Ang optimal design sa controller usa ka dako nga research topic.

Giisip na, ang PI controller nagreduce sa Steady state error (ess) drastic, pero may negative effect sa stability.

Karon, ipahayag nami ang basic difference tali sa open loop control system & closed loop control system, nga related sa explanation sa itaas.

Konsidera ang Figure-10; kini usa ka open loop control system.

Ang input mao ang unit step input. Busa, ang steady-state value sa input mao ang ‘1’. Maipangita nga ang steady state value sa output mao ang ‘2’. Usa ka pag-usab sa transfer function [G(s)] sa plant tungod sa bisan unsang rason, unsa ang epekto sa input & output? Ang kasagaran mao ang input sa plant dili mag-usab, ang output sa plant mag-usab.

Karon, konsidera ang mga Larawan-11 &12

Duha kini nga sistema nga gi balik. Sa Larawan-11, supon na may pag-usab sa transfer function sa plant tungod sa bisan unsang rason, unsa ang epekto sa input & output? Sa kasong ini, ang input sa plant mag-usab, ang output sa plant dili mag-usab. Ang output sa plant naggahin sa pag follow sa reference input.

Ang Larawan -12 nagpakita sa bag-ong kondisyon, diin ang mga parametro sa plant nag-usab. Makita nimo ang input sa plant nag-usab gikan sa 0.5 hangtod sa 0.476, samtang ang output wala mag-usab. Sa duha ka kasong ini, ang input sa PI controller zero, ang mga specification sa PI controller sama pero ang output sa PI controller nagkaiba.

Busa, makakasabot ka, sa sistema nga wala gi balik, ang output sa plant mag-usab samtang sa sistema nga gi balik, ang input sa plant mag-usab.

Sa mga libro sa control system, makita nimo ang sumala nga pahayag:

“Kontra sa pagbago sa mga parametro sa plant transfer function, ang closed loop control system mas less sensitive kumpara sa open loop control system” (i.e. ang variation sa output sa closed loop control system mas less kumpara sa open loop control system).

Nadumot nato nga ang statement sa itaas mas clear sukad sa mga examples nga gihatag aning article.

___________________________________________________________________

*Mga kauban sa Electrical4U, palihug butangi nga ang katuyoan sa article niini wala mao ang reproduksiyon sa mga topics nga naa na sa mga libro; apan ang aming katuyoan mao ang pagpresentar sa mga kompleksong topics sa Control Engineering pinaagi sa easy language kasama ang numerical examples. Nangin-angay namo nga makatabang kini nga article ninyo aron mas maunawaan ninyo ang mga complexities bahin sa steady-state error & PI controllers.

Statement: Respetar ang orihinal, maayo ang articles na gipangandoy, kon may infringement palihug kontak delete.

Maghatag og tip ug pagsalig sa author

Mga Paksa:

Sistema sa Pwerha

Sistema sa Kontrol

Mahitungod sa mga eksperto

Electrical4u

China

Larangan nga Eskperto

Basic Electrical

Artikulo nga Profesyonale

607