Błąd stanu ustalonego: Co to jest? (Wzmocnienie stanu ustalonego, wartość i wzór)

Pole: Podstawowe Elektryka

China

Co to jest błąd stanu ustalonego

Błąd stanu ustalonego definiuje się jako różnicę między pożądaną wartością a rzeczywistą wartością wyjścia systemu w granicy, gdy czas dąży do nieskończoności (tzn. gdy odpowiedź systemu sterowania osiągnęła stan ustalony).

Błąd stanu ustalonego jest właściwością odpowiedzi wejście/wyjście dla liniowego systemu. Ogólnie rzecz biorąc, dobry system sterowania będzie takim, który ma niski błąd stanu ustalonego.

Najpierw omówimy błąd stanu ustalonego w funkcji przenoszenia pierwszego rzędu, analizując jej odpowiedź stanu ustalonego. Rozważmy poniższą funkcję przenoszenia:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Jest to prosta funkcja przenoszenia pierwszego rzędu, mająca wzmocnienie równe jedności i stałą czasową 0,7 sekundy. Zauważ, że nazywa się ją funkcją przenoszenia pierwszego rzędu, ponieważ 's' w mianowniku ma najwyższą potęgę '1'. Gdyby zamiast tego było $0.7s^2 + 1$ , byłaby to funkcja przenoszenia drugiego rzędu.

Odpowiedź tej funkcji przenoszenia na stałe wejście pokazana jest na Rysunku-1. Można zauważyć, że w stanie ustalonym wyjście jest dokładnie równe wejściu. Dlatego błąd stanu ustalonego wynosi zero.

Odpowiedź czasowa funkcji przenoszenia pierwszego rzędu na skokowe wejście. — Rysunek-1: Jest to odpowiedź czasowa funkcji przenoszenia pierwszego rzędu na skokowe wejście. Można zauważyć, że błąd ustalony wynosi zero

Odpowiedź tej funkcji na wejście rampowe przedstawiona jest na Rysunku-2. Można zauważyć, że w stanie ustalonym istnieje różnica między sygnałem wejściowym i wyjściowym. Zatem dla wejścia rampowego występuje błąd ustalony.

Odpowiedź czasowa funkcji przenoszenia pierwszego rzędu na wejście rampowe. — Rysunek-2: Jest to odpowiedź czasowa funkcji przenoszenia pierwszego rzędu na wejście rampowe. Można zauważyć, że w tym przypadku występuje błąd ustalony

Warto zauważyć, że w wielu podręcznikach systemów sterowania można znaleźć informację, że błąd ustalony funkcji przenoszenia pierwszego rzędu na wejście rampowe jest równy stałej czasowej. Obserwując powyższy Rysunek-2, możemy zobaczyć, że to jest prawda. W momencie t=3 sekundy, sygnał wejściowy wynosi 3, podczas gdy sygnał wyjściowy wynosi 2,3. Zatem błąd ustalony wynosi 0,7, co jest równe stałej czasowej dla tej funkcji przenoszenia pierwszego rzędu.

Proszę zwrócić uwagę na następujące ważne wskazówki:

Błąd ustalony jest najwyższy, jeśli wejście jest paraboliczne, jest ogólnie niższy dla wejścia rampowego, a jeszcze niższy dla wejścia skokowego. Jak w powyższym wyjaśnieniu, błąd ustalony wynosi zero dla wejścia skokowego, 0,7 dla wejścia rampowego, a dla wejścia parabolicznego wynosi ∞.
Warto zauważyć, że błąd ustalony zależy od wejścia, podczas gdy stabilność nie zależy od wejścia.

Rozważmy zamknięty system sterowania o funkcji przekazu

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Gdzie symbole mają swoje zwykłe znaczenie. Stabilność systemu zależy od mianownika, czyli '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' nazywane jest równaniem charakterystycznym. Jego pierwiastki wskazują na stabilność systemu. Błąd ustalony zależy od R(s).

W zamkniętym systemie sterowania sygnał błędu można obliczyć jako $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Błąd ustalony można znaleźć jako ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , gdzie błąd ustalony to wartość sygnału błędu w stanie ustalonym. Z tego możemy wnioskować, że błąd ustalony zależy od R(s).

Jak wspomniano powyżej, stabilność zależy od mianownika, czyli 1 + G(s)H(s). Tutaj '1' jest stałą, więc stabilność zależy od G(s)H(s), które jest częścią równania, która może się zmieniać. Dlatego możesz zrozumieć wykres Bode'a, wykres Nyquista, który jest rysowany za pomocą G(s)H(s), ale wskazuje on stabilność $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) nazywana jest funkcją przekazu otwartego obiegu, a $\frac{C(s)}{R(s)}$ nazywana jest funkcją przekazu zamkniętego obiegu. Przeanalizowawszy funkcję przekazu otwartego obiegu, czyli G(s)H(s), możemy określić stabilność funkcji przekazu zamkniętego obiegu za pomocą wykresów Bode'a i Nyquista.

Przykłady błędu stanu ustalonego

Błąd stanu ustalonego dla jednostkowego skoku wejściowego

Teraz wyjaśnimy błąd stanu ustalonego w systemie sterowania zamkniętego z kilkoma numerycznymi przykładami. Zacznijmy od systemu sterowania z jednostkowym skokiem wejściowym.

Przykład-1:

Rozważmy poniższy system sterowania (system-1) pokazany na Rysunku-3:

Closed Loop Control System — Rysunek-3: System sterowania zamkniętego

Sygnał referencyjny 'Rs' jest jednostkowym skokiem wejściowym.

Różne wartości stanu ustalonego Systemu-1 są przedstawione na Rysunku-4.

Steady State Value Block Diagram — Rysunek-4: Różne wartości ustalone w systemie sterowania

Można zauważyć, że wartość ustalona sygnału błędu wynosi 0,5, więc błąd ustalony to 0,5. Jeśli system jest stabilny i różne sygnały są stałe, to można uzyskać różne wartości ustawione w następujący sposób:

W transmitancji jako $s\rightarrow 0$ , otrzymasz wzrostową wartość przekazu.

Możesz obliczyć wyjście w następujący sposób:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Pamiętając, że $R(s)$ = jednostkowe wejście skokowe = $\frac{1}{s}$ , możemy to przearanżować do:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stały stan wartości wyjścia to:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Możemy użyć powyższej metody do obliczenia stałego stanu wartości dowolnego sygnału. Na przykład:

Wejście to $R(s)= \frac{1}{s}$ (wejście to jednostkowy skok wejściowy)

Jego stała wartość stanu wynosi $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Podobnie, sygnał błędu można obliczyć jako:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stały stan wartości sygnału błędu (tj. stały stan błędu) wynosi:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Ponadto, można zauważyć na Rysunku-4, że różnica między wejściem i wyjściem wynosi 0,5. Stąd stały stan błędu wynosi 0,5.

Inna metoda obliczania stałego stanu błędu polega na znalezieniu stałych błędów, jak następuje:

Oblicz współczynnik błędu pozycyjnego Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Znajdziesz Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Znajdziesz tę samą odpowiedź.

Jeśli wejście jest skokowe, powiedzmy $R(s)=\frac{3}{s}$ (jest to wejście skokowe, ale nie jednostkowe), wtedy błąd ustalony wynosi ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Jeśli wejście jest jednostkowym wejściem rampowym, wtedy oblicz, współczynnik błędu prędkości Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Jeśli wejściem jest jednostkowe paraboliczne wejście, to oblicz współczynnik błędu przyspieszenia Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Przeanalizowawszy stałe błędów Kp, Kv i Ka, możesz zrozumieć, jak błąd stanu ustalonego zależy od wejścia.

Kontroler PI i błąd stanu ustalonego

Kontroler PI (tzn. kontroler proporcjonalny plus całkujący) redukuje błąd stanu ustalonego (ess), ale ma negatywny wpływ na stabilność.

Kontrolery PI mają zaletę polegającą na zmniejszaniu błędu stanu ustalonego systemu, jednocześnie mają wadę polegającą na zmniejszaniu stabilności systemu.

Kontroler PI zmniejsza stabilność. Oznacza to, że tłumienie maleje; maksymalne przeregulowanie i czas ustalania zwiększają się z powodu kontrolera PI; pierwiastki równania charakterystycznego (bieguny transmitancji zamkniętego układu) po lewej stronie zbliżają się do osi urojonej. Rząd systemu również zwiększa się z powodu kontrolera PI, co prowadzi do zmniejszenia stabilności.

Rozważ dwa równania charakterystyczne, jedno to s3+ s2+ 3s+20=0, drugie to s2+3s+20=0. Tylko przez obserwację możemy stwierdzić, że system związany z pierwszym równaniem ma niższą stabilność w porównaniu do drugiego równania. Możesz to zweryfikować znajdując pierwiastki równania. Zatem można zrozumieć, że równania charakterystyczne wyższego rzędu mają niższą stabilność.

Teraz dodamy jeden kontroler PI (proporcjonalny plus całkujący) do systemu-1 (Rysunek-3) i przeanalizujemy wyniki. Po wprowadzeniu kontrolera PI do systemu-1, różne wartości stanu ustalonego są pokazane na Rysunku-5, widać, że wyjście jest dokładnie równe wejściu referencyjnemu. Jest to zaleta kontrolera PI, który minimalizuje błąd stanu ustalonego, aby wyjście próbowało śledzić wejście referencyjne.

Schemat blokowy kontrolera PI — Rysunek 5: Efekt działania kontrolera PI można zobaczyć na tym schemacie

Funkcja przejściowa kontrolera PI może być obliczona jako $Kp+\frac{Ki}{s}$ lub $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Można zadać pytanie, czy jeśli wejście jakiegokolwiek transmitancji jest równe zero, to jego wyjście również powinno wynosić zero. W obecnej sytuacji wejście do kontrolera PI wynosi zero, ale wyjście kontrolera PI ma skończoną wartość (tj. 1). Ta wyjaśnienie nie jest podane w żadnej książce o systemach sterowania, dlatego wyjaśnimy to tutaj:

(1) Błąd ustalony nie jest dokładnie równy zero, tylko dąży do zera, podobnie 's' nie jest równe zero, tylko dąży do zera. Załóżmy, że w dowolnym momencie błąd ustalony wynosi 2x10-3, jednocześnie 's' (szczególnie mówimy o 's' w mianowniku kontrolera PI) również wynosi 2x10-3, więc wyjście kontrolera PI wynosi '1'.

Rozważmy inny system sterowania przedstawiony na Rysunku 6:

Zamknięty system sterowania z kontrolerem PI — Rysunek 6: Przykład zamkniętego systemu sterowania z kontrolerem PI

W tym przypadku możemy powiedzieć, że w dowolnym momencie, załóżmy, że błąd ustalony wynosi 2x10-3, jednocześnie 's' wynosi 4×10-3; więc wyjście kontrolera PI wynosi '0,5'. Oznacza to, że zarówno 'ess' jak i 's' dążą do zera, ale ich stosunek jest skończoną wartością.

W książkach o systemach sterowania nigdy nie znajdziesz s=0 lub t=∞; zawsze znajdziesz
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Drugie wyjaśnienie polega na tym, że błąd ustalony jest równy zero, a 's' również wynosi zero w stanie ustalonym. Funkcja przejściowa kontrolera PI to $\frac{Kps+Ki}{s}$ . W książkach matematycznych znajdziesz, że $\frac{0}{0}$ jest nieokreślone, więc może to być dowolna skończona wartość (patrz Rysunek-7).

PI Controller — Rysunek-7: Wejście do funkcji przejściowej wynosi zero, ale wyjście ma skończoną wartość

(3) Trzecie wyjaśnienie polega na tym, że $\frac{1}{s}$ to całkowacz. Wejście wynosi zero, a całka z zera jest nieokreślona. Dlatego wyjście kontrolera PI może mieć dowolną skończoną wartość.

Podstawowa różnica między systemem sterowania otwartego a zamkniętego

W odniesieniu do powyższego wyjaśnienia przedstawimy podstawową różnicę między systemem sterowania otwartym a zamkniętym. Różnice między systemem sterowania otwartym a zamkniętym można znaleźć w każdej książce o systemach sterowania*, ale jedna podstawowa różnica związana z powyższym wyjaśnieniem jest przedstawiona tutaj i mamy nadzieję, że będzie ona przydatna dla czytelników.

System sterowania otwartego można przedstawić w następujący sposób:

System sterowania otwartego typu — Rysunek-8: To jest diagram standardowego systemu sterowania otwartego typu

System sterowania zamkniętego (system sterowania z sprzężeniem zwrotnym) można przedstawić w następujący sposób:

Funkcja przenoszenia obiektu jest stała (funkcja przenoszenia obiektu może się automatycznie zmieniać ze względu na zmiany środowiskowe, zakłócenia itp.). W całej naszej dyskusji zakładaliśmy, że H(s)=1; Operator może kontrolować funkcję przenoszenia regulatora (tzn. parametry regulatora takie jak Kp, Kd, Ki) itp.

Regulator może być proporcjonalnym regulatorem (regulatorem P), regulatorem PI, regulatorem PD, regulatorem PID, regulatorem logiki rozmytej itp. Regulator ma dwa cele: (i) utrzymanie stabilności, tzn. tłumienie powinno wynosić około 0,7-0,9, przeregulowanie i czas ustalania powinny być niskie (ii) błąd ustalony powinien być minimalny (powinien wynosić zero).

Jednak jeśli spróbujemy zwiększyć tłumienie, to błąd ustalony może wzrosnąć. Dlatego projektowanie regulatora powinno być takie, aby zarówno stabilność, jak i błąd ustalony były pod kontrolą. Optymalne projektowanie regulatora to szeroki temat badań.

Wcześniej napisałem, że regulator PI drastycznie redukuje błąd ustalony (ess), ale ma negatywny wpływ na stabilność.

Teraz wyjaśnimy jedną podstawową różnicę między systemem sterowania otwartego typu a systemem sterowania zamkniętego, która jest związana z powyższymi wyjaśnieniami.

Rozważ Rysunek-10; to jest system sterowania otwartego typu.

Przyjmijmy, że wejściem jest skok jednostkowy. Wartość ustalona wejścia wynosi ‘1’. Można obliczyć, że wartość ustalona wyjścia wynosi ‘2’. Załóżmy, że funkcja przekazywania [G(s)] obiektu uległa zmianie z jakiegoś powodu, jakie będą skutki dla wejścia i wyjścia? Odpowiedź brzmi: wejście do obiektu nie ulegnie zmianie, wyjście obiektu się zmieni.

Teraz rozważmy Rysunki-11 i 12

Rysunek-12: System zamknięty, wyjście obiektu jest takie samo, ale wejście obiektu uległo zmianie z powodu zmiany funkcji przekazywania

Oba są systemami sterowania zamkniętymi. Na Rysunku-11, załóżmy, że funkcja przekazywania obiektu uległa zmianie z jakiegoś powodu, jakie będą skutki dla wejścia i wyjścia? W tym przypadku, wejście do obiektu się zmieni, wyjście obiektu pozostanie niezmienione. Wyjście obiektu próbuje śledzić wejście referencyjne.

Rysunek-12 pokazuje nowe warunki, w których parametry obiektu uległy zmianie. Możesz zauważyć, że wejście obiektu zmieniło się z 0,5 na 0,476, podczas gdy wyjście nie uległo zmianie. W obu przypadkach wejście do kontrolera PI wynosi zero, specyfikacje kontrolera PI są takie same, ale wyjście kontrolera PI jest inne.

Więc, możesz zrozumieć, że w systemie sterowania otwartym wyjście obiektu się zmienia, podczas gdy w systemie sterowania zamkniętym wejście do obiektu się zmienia.

W książkach o systemach sterowania można znaleźć następujące stwierdzenie:

"W przypadku zmiany parametrów transmitancji obiektu, układ sterowania w pętli zamkniętej jest mniej wrażliwy w porównaniu do układu sterowania w pętli otwartej" (czyli zmiana na wyjściu układu sterowania w pętli zamkniętej jest mniejsza w porównaniu do układu sterowania w pętli otwartej).

Mamy nadzieję, że powyższe stwierdzenie będzie bardziej zrozumiałe dzięki przykładom przedstawionym w tym artykule.

___________________________________________________________________

*Szanowni czytelnicy Electrical4U, prosimy o zwrócenie uwagi, że celem tego artykułu nie jest reprodukcja tematów już dostępnych w książkach, ale naszym celem jest przedstawienie różnych skomplikowanych tematów inżynierii sterowania prostym językiem i z przykładami numerycznymi. Mamy nadzieję, że ten artykuł pomoże Wam zrozumieć różne złożoności związane z błędem ustalonym i regulatorami PI.

Oświadczenie: Szanuj oryginał, dobre artykuły są warte udostępniania, jeśli wystąpi naruszenie praw autorskich, prosimy o kontakt w celu usunięcia.

Daj napiwek i zachęć autora

Tematy:

Systemy energetyczne

Systemy sterowania

O ekspertach

Electrical4u

China