Erreur d'état stable : Qu'est-ce que c'est? (Gain d'état stable, Valeur & Formule)

Champ: Électricité de base

China

Qu'est-ce que l'erreur en régime permanent

L'erreur en régime permanent est définie comme la différence entre la valeur souhaitée et la valeur réelle de la sortie d'un système lorsque le temps tend vers l'infini (c'est-à-dire lorsque la réponse du système de commande a atteint un état stable).

L'erreur en régime permanent est une propriété de la réponse entrée/sortie pour un système linéaire. En général, un bon système de commande sera celui qui présente une faible erreur en régime permanent.

Tout d'abord, nous discuterons de l'erreur en régime permanent dans une fonction de transfert du premier ordre en analysant sa réponse en régime permanent. Considérons la fonction de transfert suivante :

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Il s'agit d'une simple fonction de transfert du premier ordre, ayant un gain égal à un et une constante de temps de 0,7 seconde. Notez qu'elle est appelée fonction de transfert du premier ordre car le 's' au dénominateur a la puissance la plus élevée de '1'. Si c'était plutôt $0.7s^2 + 1$ , il s'agirait d'une fonction de transfert du second ordre.

La réponse de cette fonction de transfert à une entrée en régime permanent est montrée à la Figure-1. On peut voir que, en régime permanent, la sortie est exactement égale à l'entrée. Par conséquent, l'erreur en régime permanent est nulle.

Réponse temporelle d'une fonction de transfert du premier ordre face à une entrée en échelon. — Figure-1 : Il s'agit de la réponse temporelle d'une fonction de transfert du premier ordre face à une entrée en échelon. On peut observer que l'erreur en régime permanent est nulle.

La réponse de cette fonction à une entrée en rampe unitaire est montrée dans la Figure-2. On peut observer qu'en régime permanent, il existe une différence entre l'entrée et la sortie. Ainsi, pour une entrée en rampe unitaire, une erreur en régime permanent existe.

Réponse temporelle d'une fonction de transfert du premier ordre face à une entrée en rampe. — Figure-2 : Il s'agit de la réponse temporelle d'une fonction de transfert du premier ordre face à une entrée en rampe. On peut observer qu'une erreur en régime permanent existe dans ce cas.

Notez que dans de nombreux livres sur les systèmes de contrôle, on peut trouver que face à une entrée en rampe, l'erreur en régime permanent d'une fonction de transfert du premier ordre est égale à la constante de temps. En observant la Figure-2 ci-dessus, nous pouvons voir que c'est vrai. À t=3 secondes, l'entrée est de 3 tandis que la sortie est de 2,3. Ainsi, l'erreur en régime permanent est de 0,7, qui est égale à la constante de temps pour cette fonction de transfert du premier ordre.

Veuillez noter les conseils importants suivants :

L'erreur en régime permanent est la plus élevée si l'entrée est parabolique, généralement plus faible pour une entrée en rampe, et encore plus faible pour une entrée en échelon. Comme expliqué ci-dessus, l'erreur en régime permanent est nulle face à une entrée en échelon, et 0,7 face à une entrée en rampe, et on peut constater qu'elle est ∞ face à une entrée parabolique.
Il convient de noter que l'erreur en régime permanent dépend de l'entrée, alors que la stabilité ne dépend pas de l'entrée.

Considérons un système de contrôle en boucle fermée ayant une fonction de transfert

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Où les symboles ont leur signification habituelle. La stabilité du système dépend du dénominateur, c'est-à-dire '1+G(s)H(s)'. L'équation caractéristique est '1+G(s)H(s) = 0'. Ses racines indiquent la stabilité du système. L'erreur à l'état stable dépend de R(s).

Dans un système de contrôle en boucle fermée, le signal d'erreur peut être calculé comme $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ L'erreur à l'état stable peut être trouvée comme ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , où l'erreur à l'état stable est la valeur du signal d'erreur à l'état stable. De cela, nous pouvons voir que l'erreur à l'état stable dépend de R(s).

Comme mentionné ci-dessus, la stabilité dépend du dénominateur, c'est-à-dire 1 + G(s)H(s). Ici, '1' est constant, donc la stabilité dépend de G(s)H(s), qui est la partie de l'équation qui peut changer. Ainsi, vous pouvez comprendre le diagramme de Bode, diagramme de Nyquist est tracé avec l'aide de G(s)H(s), mais ils indiquent la stabilité de $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) est appelée une fonction de transfert en boucle ouverte et $\frac{C(s)}{R(s)}$ est appelée une fonction de transfert en boucle fermée. Par l'analyse de la fonction de transfert en boucle ouverte, c'est-à-dire G(s)H(s), nous pouvons déterminer la stabilité d'une fonction de transfert en boucle fermée à travers le diagramme de Bode et le diagramme de Nyquist.

Exemples d'erreur en régime permanent

Erreur en régime permanent pour une entrée échelon unitaire

Maintenant, nous allons expliquer l'erreur en régime permanent dans un système de contrôle en boucle fermée avec quelques exemples numériques. Nous commencerons par un système de contrôle avec une entrée échelon unitaire.

Exemple-1:

Considérons le système de contrôle suivant (système-1) tel qu'il est montré dans la Figure-3:

Figure-3: Système de contrôle en boucle fermée

L'entrée de référence ‘Rs’ est une entrée échelon unitaire.

Les différentes valeurs en régime permanent du Système-1 sont montrées dans la Figure-4.

Diagramme en bloc des valeurs d'état stable — Figure-4 : Diverses valeurs d'état stable dans un système de contrôle

On peut constater que la valeur d'état stable du signal d'erreur est 0,5, donc l'erreur d'état stable est 0,5. Si le système est stable et que divers signaux sont constants, on peut obtenir diverses valeurs d'état stable comme suit :

Dans la fonction de transfert, lorsque $s\rightarrow 0$ , vous obtiendrez le gain d'état stable de la fonction de transfert.

Vous pouvez calculer la sortie comme suit :

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

En se souvenant que $R(s)$ = entrée échelon unitaire = $\frac{1}{s}$ , nous pouvons réarranger ceci pour obtenir :

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

La valeur en régime permanent de la sortie est:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Nous pouvons utiliser cette méthode pour calculer la valeur en régime permanent de n'importe quel signal. Par exemple:

L'entrée est $R(s)= \frac{1}{s}$ (l'entrée est une entrée échelon unitaire)

Sa valeur en régime permanent = $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

De même, le signal d'erreur peut être calculé comme suit:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

La valeur en régime permanent du signal d'erreur (c'est-à-dire l'erreur en régime permanent) est :

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

De plus, on peut voir sur la Figure-4 que la différence entre l'entrée et la sortie est de 0,5. Ainsi, l'erreur en régime permanent est de 0,5.

Une autre méthode pour calculer l'erreur en régime permanent consiste à trouver les constantes d'erreur, comme suit :

Calculer le coefficient d'erreur positionnelle Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , vous trouverez Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Vous obtiendrez la même réponse.

Si l'entrée est une entrée en échelon, disons $R(s)=\frac{3}{s}$ (c'est une entrée en échelon, mais pas une entrée en échelon unitaire), alors l'erreur en régime permanent est ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Si l'entrée est une entrée en rampe unitaire, alors calculez, le coefficient d'erreur de vitesse Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Si l'entrée est une entrée parabolique unitaire, alors le coefficient d'erreur d'accélération Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Avec l'analyse des constantes d'erreur Kp, Kv et Ka, vous pouvez comprendre comment l'erreur en régime permanent dépend de l'entrée.

Contrôleur PI et erreur en régime permanent

Un contrôleur PI (c'est-à-dire un contrôleur proportionnel plus un contrôleur intégral) réduit l'erreur en régime permanent (ess), mais a un effet négatif sur la stabilité.

Les contrôleurs PI ont l'avantage de réduire l'erreur en régime permanent d'un système, tout en ayant l'inconvénient de réduire la stabilité du système.

Un contrôleur PI réduit la stabilité. Cela signifie que l'amortissement diminue ; le dépassement maximal et le temps de réponse augmentent en raison du contrôleur PI ; les racines de l'équation caractéristique (les pôles de la fonction de transfert en boucle fermée) du côté gauche se rapprochent de l'axe imaginaire. L'ordre du système augmente également en raison du contrôleur PI, ce qui tend à réduire la stabilité.

Considérons deux équations caractéristiques, l'une est s3+ s2+ 3s+20=0, l'autre est s2+3s+20=0. D'après une simple observation, nous pouvons dire que le système lié à la première équation a une stabilité moindre par rapport à la deuxième équation. Vous pouvez le vérifier en trouvant les racines de l'équation. Ainsi, vous pouvez comprendre que les équations caractéristiques d'ordre supérieur ont une stabilité moindre.

Maintenant, nous ajouterons un contrôleur PI (contrôleur Proportionnel Plus Intégral) au système-1 (Figure-3) et examinerons les résultats. Après l'insertion du contrôleur PI dans le système-1, diverses valeurs en régime permanent sont montrées dans la Figure-5. On peut voir que la sortie est exactement égale à l'entrée de référence. C'est l'avantage du contrôleur PI, qui minimise l'erreur en régime permanent afin que la sortie tente de suivre l'entrée de référence.

Diagramme du contrôleur PI — Figure-5 : L'effet du contrôleur PI peut être observé dans ce diagramme

La fonction de transfert du contrôleur PI peut être calculée comme $Kp+\frac{Ki}{s}$ ou $\frac{Kps+Ki}{s}.$ On peut se demander si l'entrée de toute fonction de transfert est nulle, alors sa sortie devrait être nulle. Ainsi, dans le cas présent, l'entrée du contrôleur PI est nulle, mais la sortie du contrôleur PI est une valeur finie (c'est-à-dire 1). Cette explication n'est donnée dans aucun livre de systèmes de contrôle, nous allons donc l'expliquer ici :

(1) L'erreur en régime permanent n'est pas exactement nulle, elle tend vers zéro, de même que 's' n'est pas égal à zéro, il tend vers zéro. Supposons qu'à un instant donné, l'erreur en régime permanent soit 2x10-3, au même moment, 's' (nous parlons particulièrement de 's' dans le dénominateur du contrôleur PI) est également égal à 2x10-3, par conséquent, la sortie du contrôleur PI est '1'.

Considérons un autre système de contrôle illustré dans la Figure-6 :

Système de contrôle en boucle fermée avec contrôleur PI — Figure-6 : Un exemple de système de contrôle en boucle fermée avec contrôleur PI

Dans ce cas, on peut dire, à un instant donné, supposons que l'erreur en régime permanent soit 2x10-3, au même moment, 's' est égal à 4×10-3 ; par conséquent, la sortie du contrôleur PI est '0.5'. Cela signifie que 'ess' et 's' tendent tous deux vers zéro, mais leur rapport est une valeur finie.

Dans les livres de systèmes de contrôle, vous ne trouverez jamais s=0 ou t=∞; vous trouverez toujours
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) La deuxième explication est que l'erreur en régime permanent est nulle, 's' est également nul en régime permanent. La fonction de transfert du contrôleur PI est $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Dans les livres de mathématiques, vous trouverez que $\frac{0}{0}$ est indéfini, il peut donc être n'importe quelle valeur finie (voir Figure-7).

PI Controller — Figure-7 : L'entrée de la fonction de transfert est nulle mais la sortie est une valeur finie

(3) La troisième explication est, $\frac{1}{s}$ est un intégrateur. L'entrée est nulle, l'intégration de zéro est indéfinie. Ainsi, la sortie du contrôleur PI peut être n'importe quelle valeur finie.

Une différence fondamentale entre le système de contrôle en boucle ouverte et le système de contrôle en boucle fermée

En référence à l'explication ci-dessus, nous expliquerons une différence fondamentale entre un système de contrôle en boucle ouverte et un système de contrôle en boucle fermée. Les différences entre un système de contrôle en boucle ouverte et un système de contrôle en boucle fermée, vous pouvez les trouver dans n'importe quel livre de systèmes de contrôle*, mais une différence fondamentale liée à l'explication ci-dessus est donnée ici et nous espérons certainement qu'elle sera utile aux lecteurs.

Un système de contrôle en boucle ouverte peut être représenté comme suit :

Figure-8: Il s'agit d'un diagramme de Système de commande en boucle ouverte standard

Un système de commande en boucle fermée (système de commande avec retour) peut être représenté comme suit:

La fonction de transfert de la machine est fixe (la fonction de transfert de la machine peut changer automatiquement en raison des changements environnementaux, des perturbations, etc.). Dans toutes nos discussions, nous avons supposé que H(s)=1; Un opérateur peut contrôler la fonction de transfert du contrôleur (c'est-à-dire les paramètres du contrôleur tels que Kp, Kd, Ki) etc.

Le contrôleur peut être un contrôleur proportionnel (contrôleur P), un contrôleur PI, un contrôleur PD, un contrôleur PID, un contrôleur logique flou, etc. Il y a deux objectifs d'un contrôleur (i) Maintenir la stabilité, c'est-à-dire que l'amortissement devrait être autour de 0,7 à 0,9, le dépassement et le temps de stabilisation devraient être faibles (ii) L'erreur en régime permanent devrait être minimale (elle devrait être nulle).

Mais si nous essayons d'augmenter l'amortissement, l'erreur en régime permanent peut augmenter. Par conséquent, la conception du contrôleur doit être telle que les deux (stabilité et erreur en régime permanent) soient sous contrôle. La conception optimale du contrôleur est un vaste sujet de recherche.

Il a été mentionné précédemment, le contrôleur PI réduit considérablement l'erreur en régime permanent (ess), mais a un effet négatif sur la stabilité.

Maintenant, nous expliquerons une différence fondamentale entre le système de commande en boucle ouverte et le système de commande en boucle fermée, qui est liée à l'explication ci-dessus.

Considérez la Figure-10; il s'agit d'un système de commande en boucle ouverte.

Système de contrôle à boucle ouverte — Figure-10: Un système de contrôle à boucle ouverte

Supposons que l'entrée est une entrée échelon unitaire. Ainsi, la valeur en régime permanent de l'entrée est '1'. On peut calculer que la valeur en régime permanent de la sortie est '2'. Supposons qu'il y ait un changement dans la fonction de transfert [G(s)] de la plante pour une raison quelconque, quel sera l'effet sur l'entrée et la sortie ? La réponse est que l'entrée de la plante ne changera pas, mais la sortie de la plante changera.

Considérons maintenant les Figures-11 &12

Système de contrôle à boucle fermée — Figure-11: Un système de contrôle à boucle fermée

Figure-12: Système à boucle fermée, la sortie de la plante reste la même mais l'entrée de la plante change en raison d'un changement dans la fonction de transfert

Il s'agit tous deux de systèmes de contrôle à boucle fermée. Dans la Figure-11, supposons qu'il y ait un changement dans la fonction de transfert de la plante pour une raison quelconque, quel sera l'effet sur l'entrée et la sortie ? Dans ce cas, l'entrée de la plante changera, mais la sortie de la plante restera inchangée. La sortie de la plante tente de suivre l'entrée de référence.

La Figure-12 montre les nouvelles conditions, dans lesquelles les paramètres de la plante ont changé. Vous pouvez voir que l'entrée de la plante a changé de 0,5 à 0,476, tandis que la sortie n'a pas changé. Dans les deux cas, l'entrée du contrôleur PI est nulle, les spécifications du contrôleur PI sont les mêmes, mais la sortie du contrôleur PI est différente.

Ainsi, vous pouvez comprendre, dans le système de contrôle à boucle ouverte, la sortie de la plante change, tandis que dans le système de contrôle à boucle fermée, l'entrée de la plante change.

Dans les livres de systèmes de contrôle, on peut trouver la déclaration suivante :

"En cas de variation des paramètres de la fonction de transfert de l'usine, le système de commande en boucle fermée est moins sensible par rapport au système de commande en boucle ouverte" (c'est-à-dire que la variation de la sortie du système de commande en boucle fermée est moindre par rapport à celle du système de commande en boucle ouverte).

Nous espérons que cette déclaration sera plus claire grâce aux exemples donnés dans cet article.

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*Chers lecteurs d'Electrical4U, veuillez noter que le but de cet article n'est pas de reproduire les sujets déjà disponibles dans les livres, mais notre objectif est de présenter divers sujets complexes de l'ingénierie de contrôle en langage simple avec des exemples numériques. Nous espérons que cet article vous aidera à comprendre diverses complexités concernant l'erreur en régime permanent et les contrôleurs PI.

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