Steady State Error: Bu nima? (Steady-State Gain, Value & Formula)

Maydon: Elektr tushunchalari

China

Steady State Error nima?

Steady-state error tizim chiqishining istalgan qiymati va chekli vaqtga erishganda (ya'ni, boshqaruv tizimining javobi o'zgarishsiz holatga yetkazilganda) tizimning talab etilgan qiymati orasidagi farq hisoblanadi.

O'zgarishsiz xato bu, doiralar soni uchun kirish-chiqish javobining xususiyati. Umuman olganda, yaxshi boshqaruv tizimi, o'zgarishsiz xatosi past bo'lgan tizimdir.

Birinchi, birinchi darajali o'tkazma funksiyasidagi o'zgarishsiz xato haqida uning o'zgarishsiz javobi ni tahlil qilib ko'rib chiqamiz. Quyidagi o'tkazma funksiyasini ko'rib chiqaylik:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Bu soddalashtirilgan birinchi darajali o'tkazma funksiyasi, koeffitsienti birga teng va 0.7 sekundlik vaqt sabiti. Eslatma, bu birinchi darajali o'tkazma funksiyasi deb atiladi, chunki paydodagi 's' ning eng yuqori darajasi '1'. Agar u o'rniga $0.7s^2 + 1$ bo'lsa, bu ikkinchi darajali o'tkazma funksiyasi bo'lar edi.

Bu o'tkazma funksiyasining o'zgarishsiz kirishga javobi Rasm-1 da ko'rsatilgan. O'zgarishsiz holatda, chiqish to'g'ridan-to'g'ri kirishga teng ekanligi ko'rinadi. Shuning uchun o'zgarishsiz xato nolga teng.

Birinchi darajali transfer funksiyasining bosqichli kirishga qarshi vaqt javobi. — Rasm-1: Bu birinchi darajali transfer funksiyasining bosqichli kirishga qarshi vaqt javobidir. Ko'rinib turibdiki, doimiy rejim xatosi nolga teng

Bu funksiyaning birlik rampa kirishga berilgan javobi Rasm-2-da ko'rsatilgan. Ko'rinib turibdiki, doimiy rejimda kirish va chiqish orasida farq mavjud. Shuning uchun, birlik rampa kirish uchun, doimiy rejim xatosi mavjud.

Birinchi darajali transfer funksiyasining rampa kirishga qarshi vaqt javobi. — Rasm-2: Bu birinchi darajali transfer funksiyasining rampa kirishga qarshi vaqt javobidir. Ko'rinib turibdiki, ushbu holatda doimiy rejim xatosi mavjud

Ko'plab boshqaruv tizimlari kitoblarda, birlik rampa kirish uchun, birinchi darajali transfer funksiyasining doimiy rejim xatosi vaqt sabiti bilan teng bo'lishi haqidagi ma'lumot topiladi. Rasm-2 ni ko'rib chiqqanda, bu to'g'ri ekanini ko'rish mumkin. t=3 soniya bo'lganda, kirish 3, lekin chiqish 2.3. Demak, doimiy rejim xatosi 0.7, bu birinchi darajali transfer funksiyasi uchun vaqt sabitiga teng.

Quyidagi muhim maslahatlarni esda tuting:

Kirish parabolik bo'lsa, doimiy rejim xatosi eng yuqori bo'ladi, rampa kirish uchun umumiy holda pastroq bo'ladi, va bosqichli kirish uchun hozirdan ham pastroq bo'ladi. Yuqoridagi tushuntirishda, doimiy rejim xatosi bosqichli kirish uchun nol, rampa kirish uchun 0.7, va parabolik kirish uchun ∞ bo'lishi aniqlanadi.
Eslatma, doimiy rejim xatosi kirishdan qat'iy qilib, stabillik kirishdan qat'iy emas.

Kelibir yopiq doiradagi boshqaruv tizimini ko'rib chiqaylik, uning o'tkazish funksiyasi bor

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Bu yerda belgilar ularning oddiy ma'nolarni anglatadi. Tizimning qonqirlikligi paydo bo'lgan ifodaga, ya'ni '1+G(s)H(s)' ga bog'liq. '1+G(s)H(s) = 0' ifodasi xarakteristik tenglama deb ataladi. Uning ildizlari tizimning qonqirlikligini ko'rsatadi. Stabil holatdagi xato R(s) ga bog'liq.

Yopiq doiradagi boshqaruv tizimida xato signali quyidagicha hisoblanishi mumkin $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Stabil holatdagi xato ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , bu yerda stabil holatdagi xato bu xato signali stabil holatdagi qiymati. Bu orqali biz stabil holatdagi xato R(s) ga bog'liq ekanligini ko'rib turamiz.

Yuqorida aytib o'tilganidek, qonqirliklik paydo bo'lgan ifodaga, ya'ni 1 + G(s)H(s) ga bog'liq. Bu yerda '1' doimiy, shuning uchun qonqirliklik G(s)H(s) ga bog'liq, bu ozroq o'zgarishi mumkin bo'lgan ifoda qismi. Shunday qilib, siz Bode chizmasi, Nyquist chizmasi G(s)H(s) yordamida chiziladi, ammo ular $\frac{C(s)}{R(s)}$ ning qonqirlikligini ko'rsatadi.
G(s)H(s) ochilgan oqibatli funktsiyasi deb ataladi va $\frac{C(s)}{R(s)}$ yopiq oqibatli funktsiya deb ataladi. G(s)H(s) yordamida, biz Bode chizmasi va Nyquist chizmasi orqali yopiq oqibatli funktsiyani nisbatan qonroqlikni topa olamiz.

Qonroq holat xatosi misollar

Birlik qadam kirish uchun qonroq holat xatosi

Endi, bir nechta sonli misollar orqali yopiq oqibatli tizimlarda qonroq holat xatosini tushuntiramiz. Birlik qadam kirish bilan boshlaymiz.

Misollar-1:

Quyidagi tizim (tizim-1) Figure-3 da ko'rsatilganidek hisoblaymiz:

Referensiya kirish ‘Rs’ birlik qadam kirishi.

Tizim-1 ning turli qonroq holat qiymatlari Figure-4 da ko'rsatilgan.

Steady State Value Block Diagram — Rasm-4: Boshqaruv tizimidagi turli doimiy rejim qiymatlari

Xatolik signali doimiy rejim qiymati 0.5 ga teng bo'lganini ko'rish mumkin, shuning uchun doimiy rejim xatoligi 0.5 bo'ladi. Agar tizim o'zgarishsiz va qo'shimcha signallar doimiy bo'lsa, quyidagicha doimiy rejim qiymatlari olinishi mumkin:

Transfer funksiyasida $s\rightarrow 0$ , transfer funksiyasining doimiy rejim koeffitsientini olishingiz mumkin.

Chiqishni quyidagicha hisoblash mumkin:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Bu yerda $R(s)$ = birlik qadam kirish = $\frac{1}{s}$ , biz bu formulani quyidagicha qilib yozishimiz mumkin:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Chiqarishning doimiy o'lcham qiymati:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Yuqorida keltirilgan usulni istalgan signalning doimiy o'lcham qiymatini hisoblash uchun ishlatish mumkin. Misol uchun:

Kirish $R(s)= \frac{1}{s}$ (kirish birlik qadam kirishi)

Uning doimiy o'lcham qiymati= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Shunday qilib, xato signali quyidagicha hisoblanadi:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Xatolik signalning doimiy holat qiymati (ya'ni, doimiy xatolik):

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Shuningdek, Rasm-4 dan ko'rinib turibdiki, kirish va chiqish orasidagi farq 0.5 ga teng. Shunday qilib, doimiy xatolik 0.5.

Doimiy xatolikni hisoblash uchun yana bir usul - xatolik o'zgaruvchilarini topish, quyidagicha:

Joylashma xato koeffitsiyenti Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Siz Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Sizning javobingiz shundan farq qilmaydi.

Agar kirish qadam kirishi bo'lsa, masalan, $R(s)=\frac{3}{s}$ (bu qadam kirishi, lekin birlik qadam kirishi emas), keyin doimiy rejimda xato ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Agar kirish birligacha tebranish kirishi bo'lsa, unda hisoblang, tebranish xato koeffitsiyenti Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Agar kirish parabolik bo'lsa, hisoblang, tezlanish xatolik koeffitsiyenti Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Xatolik doiralarini Kp, Kv va Ka tahlil qilish orqali, siz o'zgaruvchan kirishga qanday qilib muntazam holatdagi xato bog'liq ekanligini tushunishingiz mumkin.

PI regulyator va muntazam holatdagi xato

PI regulyator (ya'ni proporsional regulyator plus integral regulyator) muntazam holatdagi xatoni (ess) kamaytiradi, lekin muvofiqlikka salbiy ta'sir ko'rsatadi.

PI regulyatorlari sistemadagi muntazam holatdagi xatoni kamaytirishda afzallikka ega, lekin bu sistemani muvofiqligini kamaytiradi.

PI regulyator muvofiqlikni kamaytiradi. Bu demakki, amortizatsiya pasaydi; qiymatashishning maksimal yuksilishi va to'g'rilanish vaqti PI regulyator orqali oshadi; Xarakteristik tenglamani ildizlari (yopiq doira transfer funksiyasining polusi) chap tomondagi maydon bo'lgan joyda g'alati o'qqa yaqinlashadi. PI regulyator orqali sistemani tartibi ham oshadi, bu esa muvofiqlikni kamaytiradi.

Ikki xarakteristik tenglamani ko'rib chiqing, biri s3+ s2+ 3s+20=0, ikkinchi s2+3s+20=0. Fazla tahlil qilmasdan, birinchi tenglama bilan bog'liq sistema ikkinchi tenglama bilan bog'liq sistemaga nisbatan kamroq muvofiq bo'lishi aniq. Bu niqtodan quyidagi ildizlarni topish orqali tekshirib ko'rishingiz mumkin. Shunday qilib, siz yuqori tartibli xarakteristik tenglamalarning kamroq muvofiqlik ekanligini tushuning.

Endi, biz birinchi sistemasiga (Rasm-3) bir PI regulyator (proporsional plus integral regulyator) qo'shib, natijalarni ko'rib chiqamiz. PI regulyatorni birinchi sistemasiga qo'shganidan so'ng, Rasm-5 da turli muntazam holat qiymatlari ko'rsatilgan. Natijada, chiqish to'liq ravishda referensiyaviy kirishga teng bo'lganini ko'rish mumkin. Bu PI regulyatorning afzalligi, muntazam holatdagi xatoni minimal qilib, chiqish referensiyaviy kirishni takrorlashga urinadi.

PI Controller Block Diagram — Rasm-5: PI regulyatorining ta'siri bu diagramma orqali ko'rinadi

PI regulyatorining o'tkazish funksiyasi quyidagicha hisoblanishi mumkin $Kp+\frac{Ki}{s}$ yoki $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Agar har qanday o'tkazish funksiyasining kirishi nol bo'lsa, uning chiqishi ham nol bo'lishi kerak. Shunday qilib, hozirgi holatda PI regulyatorining kirishi nol, lekin PI regulyatorining chiqishi cheklangan qiymat (ya'ni 1). Bu tushuntirish hech qanday boshqaruv tizimlari kitobida berilmagan, shuning uchun biz uni quyidagide tushuntiramiz:

(1) Daimi xatoni aniq nol emas, u nolgacha yetadi, oxir-oqibat 's' nolga teng emas, u nolgacha yetadi. Misol uchun, agar daimi xato 2x10-3 bo'lsa, bir vaqtda 's' (aloqada PI regulyatorining maxrajida) ham 2x10-3 ga teng bo'lsa, PI regulyatorining chiqishi '1' bo'ladi.

Boshqa boshqaruv tizimini Rasm-6 da ko'rib chiqamiz:

Closed Loop Control System with PI Controller — Rasm-6: PI regulyatori bilan yopiq tsikl boshqaruv tizimi misoli

Bu holatda, daimi xato 2x10-3 bo'lganda, 's' 4×10-3 ga teng bo'lsa, PI regulyatorining chiqishi '0.5' bo'ladi. Bu demak, 'ess' va 's' ikkalasi nolgacha yetadi, ammo ularning nisbati cheklangan qiymat.

Nazorat tizimlari kitoblari orasida hech qachon s=0 yoki t=∞ topa olmaysiz; doimo topasiz
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Ikkinchi tushuntirish shundaki, o'zgarishsiz xatolik nolga teng bo'lganda, 's' ham o'zgarishsiz holatda nolga teng. PI boshqaruvchining uzluksiz funksiyasi quyidagicha $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Matematika kitoblari orasida topasiz ki $\frac{0}{0}$ aniqlikka ega emas, shuning uchun bu har qanday cheklangan qiymat bo'lishi mumkin (ko'rsatkich-7 ga qarang).

PI Controller — Ko'rsatkich-7: Uzluksiz funksiya kirmog'i nolga teng, lekin chiqishi cheklangan qiymat

(3) Uchinchi tushuntirish shundaki, $\frac{1}{s}$ integrator. Kirish nolga teng, nolning integratsiyasi aniqlikka ega emas. Shuning uchun PI boshqaruvchining chiqishi har qanday cheklangan qiymat bo'lishi mumkin.

Achkilashsiz boshqaruv tizimi va achkilangan boshqaruv tizimining asosiy farqi

Yuqorida berilgan tushuntirishga asosan, achkilashsiz boshqaruv tizimi va achkilangan boshqaruv tizimining asosiy farqini tushuntiramiz. Boshqaruv tizimlari kitoblari orasida achkilashsiz boshqaruv tizimi va achkilangan boshqaruv tizimining farqlarini topa olasiz*, lekin bu yerda beriladigan asosiy farq, yuqorida berilgan tushuntirish bilan bog'liq va ulkan nisbatda o'quvchilar uchun foydali bo'lishi umid qilinadi.

Achkilashsiz boshqaruv tizimi quyidagicha ifodalash mumkin:

Ochiq oq yuzasidagi boshqaruv tizimi — Rasm-8: Bu standart ochiq oq yuzasidagi boshqaruv tizimining diagrammasi

Yopiq oq yuzasidagi boshqaruv tizimi (orqaga qaytariladigan boshqaruv tizimi) quyidagicha ifodalash mumkin:

Plantning transfer funksiyasi sabit (plantning transfer funksiyasi mohiyat, xavflar va h.k. sababli avtomatik ravishda o'zgarishi mumkin). Barcha muhokamalarimizda H(s)=1 deb qabul qilganmiz; Operator boshqaruvchining transfer funksiyasini (ya'ni, Kp, Kd, Ki) kabi parametrlarni boshqarishi mumkin.

Boshqaruvchi proporsional boshqaruvchi (P boshqaruvchi), PI boshqaruvchi, PD boshqaruvchi, PID boshqaruvchi, fuzzy logika boshqaruvchi va h.k. bo'lishi mumkin. Boshqaruvchinin ikki maqsadi mavjud (i) Stabillikni saqlash, ya'ni demping 0.7-0.9 orasida bo'lishi, peak overshoot va settling time kam bo'lishi (ii) Steady-state error minimal bo'lishi (bu nol bo'lishi kerak).

Lekin agar dempingni oshirishga harakat qilsak, steady-state error o'sishi mumkin. Shuning uchun boshqaruvchini ishlab chiqish shunday bo'lishi kerakki, ikkalasi (stabillik va steady-state error) nazorat ichida bo'lishi kerak. Boshqaruvchining optimal ishlab chiqarish juda keng tadqiqot mavzusi.

Avvalroq yozilganidek, PI boshqaruvchi steady state error (ess) ni drastik ravishda pasaytiradi, lekin stabillikka salbiy ta'sir ko'rsatadi.

Endi, ochiq oq yuzasidagi boshqaruv tizimi va yopiq oq yuzasidagi boshqaruv tizimi orasidagi asosiy farqni tushuntiramiz, bu yuqorida berilgan tushuntirishga bog'liq.

Rasm-10 ni ko'rib chiqing; bu ochiq oq yuzasidagi boshqaruv tizimi.

Rasm-10: Achchi qatordan boshqaruv tizimi

Faraz qilamiz, kirish birlik bosqich kirishi bo'lsin. Demak, kirishning o'zgarmsiz qiymati '1' bo'ladi. Hisoblanishi mumkin ki, chiqishning o'zgarmsiz qiymati '2' bo'ladi. Faraz qilamiz, istalgan sababli zavodning o'tkazgich funksiyasi [G(s)] o'zgaradi, bu kirish va chiqishga qanday ta'sir qiladi? Javob: zavodga beriladigan kirish o'zgarmaydi, zavodning chiqishi o'zgaradi.

Endi Rasm-11 va 12 ni ko'rib chiqing

Rasm-11: Yopiq qatordan boshqaruv tizimi

Rasm-12: Yopiq qator tizimi, zavodning chiqishi o'zgarmaydi, lekin o'tkazgich funksiyasining o'zgarishi sababli zavodga beriladigan kirish o'zgaradi

Ikki tizim ham yopiq qatordan boshqaruv tizimlari. Rasm-11 da, faraz qilamiz, istalgan sababli zavodning o'tkazgich funksiyasi o'zgaradi, bu kirish va chiqishga qanday ta'sir qiladi? Bu holatda, zavodga beriladigan kirish o'zgaradi, zavodning chiqishi o'zgarmaydi. Zavodning chiqishi referensiya kirishiga qoshnashga harakat qiladi.

Rasm-12 yangi shartlarni ko'rsatadi, bu yerda zavodning parametrlari o'zgaradi. Ko'rish mumkin, zavodga beriladigan kirish 0.5 dan 0.476 ga o'zgaradi, lekin chiqish o'zgarmaydi. Ikki holatda ham PI regulatorga beriladigan kirish nol, PI regulatorning xususiyatlari bir xil, lekin PI regulatorning chiqishi farqli.

Demak, achchi qatordan boshqaruv tizimida zavodning chiqishi o'zgaradi, yopiq qatordan boshqaruv tizimida esa zavodga beriladigan kirish o'zgaradi.

Boshqaruv tizimlari kitoblari orasida quyidagi ifoda topa olasiz:

"Zavodning o'tkazish funktsiyasining parametrlariga o'zgarishlar bo'lganda, yopiq tsikl tizimi ochiq tsikl tizimiga nisbatan kamroq ta'sir qiladi" (ya'ni, yopiq tsikl tizimining chiqishi ochiq tsikl tizimiga nisbatan kamroq o'zgaradi).

Ushbu maqoladagi misollar orqali bu izoh aniqroq bo'lishini umid qilamiz.

___________________________________________________________________

*Qadrli Electrical4U o'quvchilar, bu maqolaning maqsadi kitoblar band qilgan mavzularni takrorlash emas; balki bizning maqsadimiz kompleks Control Engineering mavzularini oddiy til bilan raqamli misollar bilan ifodalash. Umid qilamiz, bu maqola sizga davriy xato va PI kontrollerlar haqida turli murakkabliklarni tushunishda yordam beradi.

Izoh: Aslini hurmat qiling, yaxshi maqolalar ulashishga layiq, agar huquqlar buzilsa iltimos o'chirib tashlash uchun bog'laning.

Авторга сўров ва қўлланма беринг!

Мавзулар:

Электр тизимлари

Boshqaruv tizimlari

Mutaxassislardan

Electrical4u

China