Постоянна грешка: Какво е това? (Постоянна печалба, стойност и формула)

Поле: Основни електротехника

China

Какво е стационарна грешка

Какво е стационарна грешка?

Стационарната грешка се дефинира като разликата между желаната и реалната стойност на изхода на системата в границата, когато времето клони към безкрайност (т.е. когато отговорът на контролния систем е достигнал стационарен режим).

Стационарната грешка е свойство на вход/изходния отговор за линейна система. Общо взето, добра контролна система ще бъде тази, която има ниска стационарна грешка.

Първо, ще обсъдим стационарната грешка в преносна функция от първи ред, анализирайки нейния стационарен отговор. Да разгледаме следната преносна функция:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Това е проста преносна функция от първи ред, с печалба равна на единица и времева константа от 0.7 секунди. Забележете, че тя се нарича преносна функция от първи ред, защото 's' в знаменателя има най-висока степен '1'. Ако вместо това беше $0.7s^2 + 1$ , тя щеше да бъде преносна функция от втори ред.

Отговорът на тази преносна функция към стационарен вход е показан на Фигура-1. Може да се види, че в стационарен режим, изходът е точно равен на входа. Следователно, стационарната грешка е нула.

Отговорът във времето на функцията от първи ред спрямо стъпков вход. — Фигура-1: Това е отговорът във времето на функцията от първи ред спрямо стъпков вход. Може да се види, че стационарната грешка е нула

Отговорът на тази функция към единичен линеен вход е показан на Фигура-2. Може да се види, че в стационарен режим има разлика между вход и изход. Следователно за единичен линеен вход, съществува стационарна грешка.

Отговорът във времето на функцията от първи ред спрямо линеен вход. — Фигура-2: Това е отговорът във времето на функцията от първи ред спрямо линеен вход. Може да се види, че в този случай съществува стационарна грешка

Забележете, че в много книги по управление можете да намерите, че при линеен вход, стационарната грешка на функция от първи ред е равна на времевата константа. От наблюдението на Фигура-2 по-горе, можем да видим, че това е вярно. При t=3 секунди, входът е 3, докато изходът е 2.3. Следователно стационарната грешка е 0.7, което е равно на времевата константа за тази функция от първи ред.

Моля, забележете следните важни съвети:

Стационарната грешка е най-висока, ако входът е параболичен, обикновено е по-ниска при линеен вход и е още по-ниска при стъпков вход. Както в горния пример, стационарната грешка е нула при стъпков вход, 0.7 при линеен вход и може да се установи, че е ∞ при параболичен вход.
Трябва да се отбележи, че стационарната грешка зависи от входа, докато устойчивостта не зависи от входа.

Да разгледаме затворена система за управление с преходна функция

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Където символите имат своето обикновено значение. Стабилността на системата зависи от знаменателя, т.е. '1+G(s)H(s)'. Уравнението '1+G(s)H(s) = 0' се нарича характеристично уравнение. Неговите корени показват стабилността на системата. Постоянната грешка в стационарно състояние зависи от R(s).

В затворена система за управление сигналът за грешка може да бъде изчислен като $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Постоянната грешка в стационарно състояние може да бъде намерена като ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , където постоянната грешка в стационарно състояние е стойността на сигнала за грешка в стационарно състояние. От тук можем да видим, че постоянната грешка в стационарно състояние зависи от R(s).

Както е споменато по-горе, стабилността зависи от знаменателя, т.е. 1 + G(s)H(s). Тук '1' е константа, следователно стабилността зависи от G(s)H(s), което е част от уравнението, която може да се промени. Така че, можете да разберете диаграмата на Бод (Bode plot), диаграмата на Найквист (Nyquist plot), които се чертаят с помощта на G(s)H(s), но те показват стабилността на $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) се нарича функция на откритата връзка, а $\frac{C(s)}{R(s)}$ се нарича функция на затворената връзка. Чрез анализ на функцията на откритата връзка, т.е. G(s)H(s), можем да намерим стабилността на функцията на затворената връзка чрез диаграмите на Бод и Найквист.

Примери за постоянна грешка

Постоянна грешка при единичен стъпков вход

Сега ще обясним постоянната грешка в системата с затворена връзка с няколко числови примера. Започваме с контролна система с единичен стъпков вход.

Пример-1:

Разгледайте следната контролна система (система-1), показана на Фигура-3:

Closed Loop Control System — Фигура-3: Система с затворена връзка

Референтният вход ‘Rs’ е единичен стъпков вход.

Различни постоянни стойности на Система-1 са показани на Фигура-4.

Стойка стойност на блок-схема — Фигура-4: Различни стойки на стабилното състояние в управляваща система

Може да се види, че стойността на сигналата за грешка в стабилното състояние е 0.5, следователно статичната грешка е 0.5. Ако системата е стабилна и различните сигнали са постоянни, то различните стойности на стабилното състояние могат да бъдат получени по следния начин:

В преносната функция, когато $s\rightarrow 0$ , получавате статичното усиление на преносната функция.

Можете да изчислите изхода по следния начин:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Помня, че $R(s)$ = единичен стъпков вход = $\frac{1}{s}$ , можем да преаранжируем това като:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Стационарната стойност на изхода е:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Можем да използваме горния метод за изчисление на стационарната стойност на всякакъв сигнал. Например:

Входът е $R(s)= \frac{1}{s}$ (Входът е единична стъпкова функция)

Неговата стационарна стойност = $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

По същия начин, сигнала на грешката може да бъде изчислен като:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Постоянната стойност на сигнала за грешка (т.е. постоянната грешка в равновесно състояние) е:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Освен това, от Фигура-4 може да се види, че разликата между входа и изхода е 0.5. Следователно постоянната грешка в равновесно състояние е 0.5.

Друг метод за изчисление на постоянната грешка в равновесно състояние включва намирането на константи за грешка, както следва:

Изчислете позиционния коефициент на грешка Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , ще намерите Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Ще получите същия отговор.

Ако входът е стъпков вход, например $R(s)=\frac{3}{s}$ (това е стъпков вход, но не единичен стъпков вход), тогава устойчивата грешка е ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Ако входът е единичен линеен вход, тогава изчислете, скоростен коефициент на грешка Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Ако входът е единичен параболичен вход, то се изчислява, което дава коефициент на ускорението за грешка Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Чрез анализ на константи за грешки Kp, Kv и Ka, можете да разберете как стационарната грешка зависи от входа.

Контролер PI и стационарна грешка

Контролер PI (тоест пропорционален контролер плюс интегрален контролер) намалява стационарната грешка (ess), но има неблагоприятно въздействие върху стабилността.

Контролери PI имат предимството да намаляват стационарната грешка на системата, докато недостатъкът им е, че намаляват стабилността на системата.

Контролер PI намалява стабилността. Това означава, че демпфиранието намалява; пиково превишаване и време за установяване се увеличават поради контролера PI; Корените на характеристичното уравнение (полюсите на затворена система) в лявата страна ще се приближат до имагинерната ос. Поради контролера PI, редът на системата също се увеличава, което тенденцията е да намали стабилността.

Разгледайте два характеристични уравнения, едното е s3+ s2+ 3s+20=0, другото е s2+3s+20=0. Само чрез наблюдение, можем да ви кажем, че системата свързана с първото уравнение има по-ниска стабилност в сравнение с второто уравнение. Можете да го проверите, като намерите корените на уравнението. Така, можете да разберете, че характеристичните уравнения с по-висок ред имат по-ниска стабилност.

Сега, ще добавим един контролер PI (пропорционален плюс интегрален контролер) в системата-1 (Фигура-3) и ще проучим резултатите. След вмъкването на контролер PI в системата-1, различните стационарни стойности са показани в Фигура-5, може да се види, че изходът е точно равен на референтния вход. Това е предимството на контролера PI, че минимизира стационарната грешка, така че изходът се стреми да следва референтния вход.

PI Controller Block Diagram — Фигура-5: Ефектът от PI контролера може да се види в тази диаграма

Преходната функция на PI контролера може да бъде изчислена като $Kp+\frac{Ki}{s}$ или $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Може да се зададе въпрос, че ако входът на някаква преходна функция е нула, то нейният изход трябва да е нула. Така, в настоящия случай входът към PI контролера е нула, но изходът на PI контролера е крайна стойност (т.е. 1). Това обяснение не е дадено в никоя книга по системи за управление, затова ще го обясним тук:

(1) Стационарната грешка не е точно нула, тя клони към нула, същото важи и за 's', което не е равно на нула, а клони към нула. Нека в даден момент стационарната грешка е 2x10-3, в същото време 's' (особено говорим за 's' в знаменателя на PI контролера) също е равно на 2x10-3, следователно изходът на PI контролера е '1'.

Нека разгледаме друга система за управление, показана в Фигура-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Фигура-6: Пример за затворена система за управление с PI контролер

В този случай, можем да кажем, че в даден момент, ако стационарната грешка е 2x10-3, в същото време 's' е равно на 4×10-3; следователно изходът на PI контролера е '0.5'. Това означава, че както 'ess' така и 's' клонят към нула, но техният отношение е крайна стойност.

В книгите по системи за управление никога няма да намерите s=0 или t=∞; винаги ще намерите
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Второто обяснение е, че стационарната грешка е нула, 's' също е нула в стационарно състояние. Трансферната функция на PI контролера е $\frac{Kps+Ki}{s}$ . В книгите по математика, ще намерите, че $\frac{0}{0}$ е неопределено, така че може да бъде всяка крайна стойност (вж. Фигура-7).

PI Controller — Фигура-7: Входът към трансферната функция е нула, но изходът е крайна стойност

(3) Третото обяснение е, $\frac{1}{s}$ е интегратор. Входът е нула, интегрирането на нула е неопределено. Така че изходът на PI контролера може да бъде всяка крайна стойност.

Една основна разлика между отворена система за управление и затворена система за управление

С оглед на горното обяснение, ще обясним една основна разлика между отворена система за управление и затворена система за управление. Разликите между отворена система за управление и затворена система за управление, можете да намерите във всяка книга по системи за управление*, но една основна разлика, свързана с горното обяснение, е дадена тук и надяваме се, че ще бъде полезна за читателите.

Отворената система за управление може да бъде представена по следния начин:

Затворената система за управление (система с обратна връзка) може да бъде представена по следния начин:

Затворена система за управление — Фигура-9: Това е диаграма на стандартна затворена система за управление

Передаточната функция на обекта е фиксирана (Може да се промени автоматично поради промени в околната среда, разстройства и т.н.). В целия ни разговор предполагаме, че H(s)=1; Операторът може да контролира передаточната функция на контролера (т.е. параметри на контролера като Kp, Kd, Ki) и т.н.

Контролерът може да бъде пропорционален контролер (P контролер), PI контролер, PD контролер, PID контролер, контролер с нечетка логика и т.н. Има две цели на контролера: (i) Да поддържа стабилност, т.е. демпфиранието трябва да е около 0,7-0,9, пикото на прекомерното регулиране и времето за установяване трябва да са ниски (ii) Стационарната грешка трябва да е минимална (трябва да е нула).

Но ако опитаме да увеличим демпфиранието, стационарната грешка може да се увеличи. Затова проектирането на контролера трябва да бъде такова, че и двете (стабилността и стационарната грешка) да са под контрол. Оптималното проектиране на контролера е обширна тема за изследване.

Както е споменато по-рано, PI контролерът рязко намалява стационарната грешка (ess), но има отрицателен ефект върху стабилността.

Сега ще обясним основна разлика между отворената система за управление и затворената система за управление, свързана с горния обяснение.

Разгледайте Фигура-10; това е отворена система за управление.

Нека входът е единичен стъпков вход. Така че, установената стойност на входа е '1'. Може да се изчисли, че установената стойност на изхода е '2'. Предположим, че има промяна в преходната функция [G(s)] на системата поради някаква причина, какво ще бъде влиянието върху входа и изхода? Отговорът е, че входът към системата няма да се промени, изходът от системата ще се промени.

Сега разгледайте Фигури-11 и 12

Фигура-12: Затворена система, изходът на системата е същият, но входът на системата се променя поради промяна в преходната функция

Двете са затворени системи за управление. В Фигура-11, предположим, че има промяна в преходната функция на системата поради някаква причина, какво ще бъде влиянието върху входа и изхода? В този случай, входът към системата ще се промени, изходът от системата ще остане непроменен. Изходът от системата се опитва да следва референтния вход.

Фигура-12 показва новите условия, при които параметрите на системата са променени. Можете да видите, че входът на системата е променен от 0.5 до 0.476, докато изходът не се променя. В двете случаи входът към PI контролера е нула, спецификациите на PI контролера са същите, но изходът на PI контролера е различен.

Така че, можете да разберете, че в отворената система за управление изходът на системата се променя, докато в затворената система за управление входът към системата се променя.

В книгите по системи за управление, можете да намерите следното твърдение:

„В случай на вариация на параметрите на преходната функция на системата, затворената система за управление е по-малко чувствителна в сравнение с отворената система за управление“ (т.е. вариациите в изхода на затворената система за управление са по-малки в сравнение с отворената система за управление).

Надяваме се, че горното твърдение ще бъде по-ясно с примерите, дадени в тази статия.

___________________________________________________________________

*Уважаеми читатели на Electrical4U, моля, забележете, че целта на тази статия не е да възпроизведе темите, които вече са налични в книгите; но нашата цел е да представим различни сложни теми от инженерията за управление с лесен език и числови примери. Надяваме се, че тази статия ще бъде полезна за вас, за да разберете различните сложности свързани с постоянната грешка и контролери PI.

Заявление: Почитайте оригинала, добрият статии са стойни за споделяне, ако има нарушение на правата върху авторската собственост моля се обратете за изтриване.

Дайте бакшиш и поощрете автора

Теми:

Електрически системи

Управлени системи

За експертите

Electrical4u

China

Област на експертиза

Basic Electrical

Профессионална статия

607