Steady State Error: Hvad er det? (Steady-State Forstærkning, Værdi & Formel)

Felt: Grundlæggende elektricitet

China

Hvad er stabiltilstand fejl

Hvad er stabiltilstand fejl?

Stabiltilstand fejl defineres som forskellen mellem den ønskede værdi og den faktiske værdi af systemets output i grænse til uendelig tid (dvs. når kontrollsystemets respons har nået stabiltilstand).

Stabiltilstand fejl er en egenskab ved input/output-respons for et lineært system. Generelt vil et godt kontrollsystem være et, der har en lav stabiltilstand fejl.

Først vil vi diskutere stabiltilstand fejl i en førsteordens overførselsfunktion ved at analysere dens stabiltilstand respons. Lad os overveje følgende overførselsfunktion:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Dette er en simpel førsteordens overførselsfunktion, med en gain på én og en tidskonstant på 0.7 sekunder. Bemærk, at det kaldes en førsteordens overførselsfunktion, fordi 's' i nævneren har den højeste potens på '1'. Hvis det i stedet var $0.7s^2 + 1$ , ville det være en andenordens overførselsfunktion i stedet.

Responsen fra denne overførselsfunktion til en stabiltilstand input vises i figur 1. Det kan ses, at i stabiltilstand er output præcis lig med input. Derfor er stabiltilstand fejlen nul.

Tidsrespons for en førsteordens overførselsfunktion mod et trininput. — Figur-1: Dette er tidsresponsen for en førsteordens overførselsfunktion mod et trininput. Det kan ses, at den stationære fejl er nul

Funktionsresponsen til et enhedsrampeinput vises i figur-2. Det kan ses, at der i det stationære tilstand findes en forskel mellem input og output. Derfor findes der en stationær fejl for et enhedsrampeinput.

Tidsrespons for en førsteordens overførselsfunktion mod et rampeinput. — Figur-2: Dette er tidsresponsen for en førsteordens overførselsfunktion mod et rampeinput. Det kan ses, at der findes en stationær fejl i dette tilfælde

Bemærk, at i mange kontrolsystembøger kan du finde, at den stationære fejl for en førsteordens overførselsfunktion mod et rampeinput er lig med tidskonstanten. Ved at observere figur-2 ovenfor, kan vi se, at dette er sandt. Ved t=3 sekunder er inputtet 3, mens outputtet er 2.3. Dermed er den stationære fejl 0.7, hvilket er lig med tidskonstanten for denne førsteordens overførselsfunktion.

Vær venlig at bemærke følgende vigtige tips:

Den stationære fejl er højst, hvis inputtet er parabelisk, generelt lavere for et rampeinput, og endnu lavere for et trininput. Som forklaret ovenfor, er den stationære fejl nul mod et trininput, 0.7 mod et rampeinput, og kan det findes, at den er ∞ mod et parabelisk input.
Det skal bemærkes, at den stationære fejl afhænger af input, mens stabilitet ikke afhænger af input.

Lad os overveje et lukket kredsløbsreguleringssystem med overførselsfunktion

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Hvor symbolerne har deres sædvanlige betydning. Stabiliteten af systemet afhænger af nævneren dvs. '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' kaldes karakteristisk ligning. Dens rødder indikerer systemets stabilitet. Stabil tilstand fejl afhænger af R(s).

I et lukket kredsløbsreguleringssystem kan fejl-signalet beregnes som $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Stabil tilstand fejl kan findes som ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , hvor stabil tilstand fejl er værdien af fejl-signalet i stabil tilstand. Herfra kan vi se, at stabil tilstand fejl afhænger af R(s).

Som nævnt ovenfor afhænger stabiliteten af nævneren dvs. 1 + G(s)H(s). Her er '1' konstant, så stabiliteten afhænger af G(s)H(s), som er den del af ligningen, der kan ændre sig. Så, du kan forstå Bode plot, Nyquist plot tegnes med hjælp fra G(s)H(s), men de indikerer stabiliteten af $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) kaldes en åben sløjfe overføringsfunktion, og $\frac{C(s)}{R(s)}$ kaldes en lukket sløjfe overføringsfunktion. Ved analyse af den åbne sløjfe overføringsfunktion, dvs. G(s)H(s), kan vi finde stabiliteten af en lukket sløjfe overføringsfunktion gennem Bode-plot og Nyquist-plot.

Eksempler på konstanttilstand fejl

Konstanttilstand fejl for en enhedssteg indgang

Nu vil vi forklare konstanttilstand fejl i et lukket sløjfe kontrolsystem med nogle numeriske eksempler. Vi starter med et kontrolsystem med en enhedssteg indgang.

Eksempel-1:

Betragt det følgende kontrolsystem (system-1) som vist på figur-3:

Referencen indgang ‘Rs’ er en enhedssteg indgang.

De forskellige konstanttilstand værdier for System-1 vises på figur-4.

Steady State Value Block Diagram — Figur-4: Forskelige stabile værdier i et styresystem

Det kan ses, at den stabile værdi af fejl-signalet er 0,5, hvilket betyder, at den stabile fejl er 0,5. Hvis systemet er stabil og forskellige signaler er konstante, kan følgende stabile værdier opnås:

I overførselsfunktionen som $s\rightarrow 0$ , vil du få den stabile forstærkning af overførselsfunktionen.

Du kan beregne outputtet som følger:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Husk, at $R(s)$ = enhedstrin-input = $\frac{1}{s}$ , kan vi omskrive dette til:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Den konstante værdi af udgangssignalet er:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Vi kan bruge ovenstående metode til at beregne den konstante værdi af ethvert signal. For eksempel:

Inputtet er $R(s)= \frac{1}{s}$ (inputtet er en enhedstrin-input)

Dens konstante værdi= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

På samme måde kan fejl-signalet beregnes som:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Den konstante værdi af fejl-signalet (dvs. den konstante fejl) er:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Det kan også ses fra figur-4, at forskellen mellem input og output er 0,5. Derfor er den konstante fejl 0,5.

En anden metode til at beregne den konstante fejl indebærer at finde fejlkonstanterne, som følger:

Beregn positionfejlkoefficient Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , du vil finde Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Du vil finde samme svar.

Hvis input er et trin-input, lad os sige $R(s)=\frac{3}{s}$ (det er et trin-input, men ikke et enhedstrin-input), så er den stabile fejl ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Hvis input er en enhedsløb-input, så beregn, hastighedsfejlkoefficient Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Hvis inputtet er enhedsparabelinput, så beregn Accelerationsfejlkonstanten Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Ved at analysere fejlkonstanterne Kp, Kv og Ka, kan du forstå, hvordan den stabile tilstandsfejl afhænger af inputtet.

PI-regulator og stabil tilstandsfejl

En PI-regulator (dvs. en proportional regulator plus integralregulator) reducerer den stabile tilstandsfejl (ess), men har en negativ effekt på stabiliteten.

PI-regulatoren har fordel af at reducere systemets stabile tilstandsfejl, samtidig med at den har ulemper ved at reducere systemets stabilitet.

En PI-regulator reducerer stabiliteten. Dette betyder, at dempingen falder; toppoverskydelse og indstillingstid øges på grund af PI-regulatoren; Rødderne i karakteristiske ligninger (polerne i lukket circuits overføringsfunktion) på venstre side kommer tættere på den imaginære akse. Systemets orden øges også pga. PI-regulatoren, hvilket tendere til at reducere stabiliteten.

Overvej to karakteristiske ligninger, den ene er s3+ s2+ 3s+20=0, den anden er s2+3s+20=0. Bare ved observation kan vi fortælle, at systemet relateret til den første ligning har lavere stabilitet sammenlignet med den anden ligning. Du kan verificere det ved at finde rødderne i ligningen. Så kan du forstå, at højere ordens karakteristiske ligninger har lavere stabilitet.

Nu vil vi tilføje en PI-regulator (Proportional Plus Integral regulator) i system-1 (Figur-3) og undersøge resultaterne. Efter at have tilføjet PI-regulatoren i system-1, vises de forskellige stabile tilstandsværdier i figur-5. Det kan ses, at outputtet er præcis lig med referencet-inputtet. Det er en fordel ved PI-regulatoren, at den minimerer den stabile tilstandsfejl, så outputtet forsøger at følge reference-inputtet.

PI Controller Block Diagram — Figur-5: Effekten af PI-regulatoren kan ses på dette diagram

Overførselsfunktionen for PI-regulatoren kan beregnes som $Kp+\frac{Ki}{s}$ eller $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Et spørgsmål, der kan stilles, er, om inputtet til en hvilken som helst overførselsfunktion er nul, så skal dens output også være nul. Så i det aktuelle tilfælde, hvor inputtet til PI-regulatoren er nul, men outputtet fra PI-regulatoren er en endelig værdi (dvs. 1). Denne forklaring findes ikke i nogen kontrolsystembog, så vi vil forklare det her:

(1) Stabiltilstandfejlen er ikke præcis nul, den nærmer sig nul, ligesom 's' ikke er lig med nul, det nærmer sig nul. Så lad os antage, at stabiltilstandfejlen ved et givent tidspunkt er 2x10-3, og samtidig er 's' (specielt taler vi om 's' i nævneren af PI-regulatoren) også lig med 2x10-3, således er outputtet fra PI-regulatoren '1'.

Lad os nu betragte et andet kontrolsystem, vist i figur-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Figur-6: Et eksempel på et lukket sløjtekontrolsystem med PI-regulatoren

I dette tilfælde kan vi sige, at ved ethvert tidspunkt, hvis stabiltilstandfejlen f.eks. er 2x10-3, og samtidig er 's' lig med 4×10-3, så er outputtet fra PI-regulatoren '0.5'. Det betyder, at både 'ess' og 's' nærmer sig nul, men deres forhold er en endelig værdi.

I kontrolsystembøger vil du aldrig finde s=0 eller t=∞; du vil altid finde
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Den anden forklaring er, at stedtilstandfejlen er nul, og 's' er også nul i stedtilstanden. PI-regulatorens overføringsfunktion er $\frac{Kps+Ki}{s}$ . I matematikbøger vil du finde, at $\frac{0}{0}$ er udefineret, så det kan være enhver endelig værdi (se figur-7).

PI Controller — Figur-7: Input til overføringsfunktionen er nul, men output er en endelig værdi

(3) Tredje forklaring er, at $\frac{1}{s}$ er en integrator. Inputtet er nul, integration af nul er udefineret. Så outputtet fra PI-regulatoren kan være enhver endelig værdi.

En grundlæggende forskel mellem åben sløjfe kontrolsystem & lukket sløjfe kontrolsystem

Med hensyn til den ovenstående forklaring, vil vi forklare en grundlæggende forskel mellem et åbent sløjfe kontrolsystem & et lukket sløjfe kontrolsystem. Forskelle mellem åbne sløjfe kontrolsystemer & lukkede sløjfe kontrolsystemer, kan du finde i ethvert kontrolsystembog*, men en grundlæggende forskel, der relaterer sig til den ovenstående forklaring, er givet her, og vi håber, at det bestemt vil være nyttigt for læserne.

Et åbent sløjfe kontrolsystem kan repræsenteres som følger:

Åben sløjfe kontrolsystem — Figur-8: Dette er en diagram af standard åben sløjfe kontrolsystem

Et lukket sløjfe kontrolsystem (feedback kontrolsystem) kan vises som følger:

Overførselsfunktionen for anlægget er fast (Overførselsfunktionen for anlægget kan ændres automatisk på grund af miljøændringer, støj etc.). I alle vores diskussioner har vi antaget, at H(s)=1; En operatør kan kontrollere overførselsfunktionen for styren (dvs. parametrene for styren såsom Kp, Kd, Ki) osv.

Styren kan være proportional styre (P-styre), PI-styre, PD-styre, PID-styre, fuzzy logik styre osv. Der er to formål med en styre (i) At opretholde stabilitет, dvs. demping skal være omkring 0,7-0,9, peakoverskydelse og stabiliserings tid skal være lav (ii) Stabil tilstand fejl skal være minimal (den bør være nul).

Men hvis vi forsøger at øge demningen, kan den stabile tilstand fejl øges. Derfor bør designet af styren være sådan, at både (stabilitet & stabil tilstand fejl) er under kontrol. Optimalt design af styren er et omfattende forskningsemne.

Det er skrevet tidligere, at PI-styre reducerer stabil tilstand fejl (ess) drastisk, men har en negativ effekt på stabiliteten.

Nu vil vi forklare en grundlæggende forskel mellem åben sløjfe kontrolsystem & lukket sløjfe kontrolsystem, der relaterer sig til ovenstående forklaring.

Betrakt figur-10; det er et åben sløjfe kontrolsystem.

Åben løkke kontrolsystem — Figur-10: Et åbent løkke kontrolsystem

Lad input være en enhedssteg-input. Så er den stabile tilstandsværdi for input '1'. Det kan beregnes, at den stabile tilstandsværdi for output er '2'. Antag, der sker en ændring i overførselsfunktionen [G(s)] af anlægget på grund af en eller anden årsag, hvad vil effekten være på input og output? Svaret er, at input til anlægget ikke vil ændre sig, mens output fra anlægget vil ændre sig.

Overvej nu Figurer-11 &12

Lukket løkke kontrolsystem — Figur-11: Et lukket løkke kontrolsystem

Figur-12: Lukket løkke system, anlægsoutput er det samme, men anlægsinput er ændret pga. ændring i overførselsfunktion

Begge er lukkede løkke kontrolsystemer. I figur-11, antag, der sker en ændring i overførselsfunktionen af anlægget på grund af en eller anden årsag, hvad vil effekten være på input og output? I dette tilfælde vil input til anlægget ændre sig, mens output fra anlægget vil blive uændret. Output fra anlægget forsøger at følge reference-input.

Figur-12 viser de nye betingelser, hvor anlægsparametrene er ændret. Du kan se, at anlægsinput er ændret fra 0,5 til 0,476, mens output ikke er ændret. I begge tilfælde er input til PI-regulatoren nul, specifikationerne for PI-regulatoren er de samme, men output fra PI-regulatoren er forskelligt.

Så du kan forstå, at i et åbent løkke kontrolsystem ændres output fra anlægget, mens i et lukket løkke kontrolsystem ændres input til anlægget.

I kontrolsystembøger kan du finde følgende udsagn:

"I tilfælde af parametervariation i overførselsfunktionen for anlægget, er lukket sløjfe kontrollsystem mindre følsomt sammenlignet med åben sløjfe kontrollsystem" (dvs. variationen i output fra lukket sløjfe kontrollsystem er mindre sammenlignet med åben sløjfe kontrollsystem).

Vi håber, at ovenstående udsagn bliver mere klart med eksemplerne givet i denne artikel.

___________________________________________________________________

*Kære IEE-Business læsere, bemærk venligst, at formålet med denne artikel ikke er at reproducere de emner, der allerede findes i bøgerne; men vores mål er at præsentere forskellige komplekse emner inden for kontrolteknik på letforståelig sprog med numeriske eksempler. Vi håber, at denne artikel vil være hjælpfuld for jer til at forstå de forskellige kompleksiteter ved stedsevarende fejl og PI-regulatører.

Erklæring: Respektér det originale, godt indhold fortjener at deles, hvis der sker krænkelser kontakt os venligst for sletning.

Giv en gave og opmuntre forfatteren

Emner:

Kraftsystemer

Styringsystemer

Om eksperter

Electrical4u

China