Állandó Állapot Hiba: Miben foglalható meg? (Állandó Állapot Erősítés, Érték & Formula)

Mező: Alapvető Elektrotechnika

China

Mi a Végállapot Hiba

Mi a végállapot hiba?

A végállapot hiba definiálva van, mint a kívánt érték és a rendszer kimeneti értéke közötti különbség, amikor az idő végtelenhez tart (azaz, amikor a vezérlő rendszer válasza elérte a végállapotot).

A végállapot hiba egy lineáris rendszer bemeneti/kimeneti válaszának tulajdonsága. Általában, egy jó vezérlő rendszernek alacsony végállapot hibája kell, hogy legyen.

Először is, a végállapot hibát elemezzük egy elsőrendű átmeneti függvény esetén, elemződve annak végállapot válaszán. Nézzük meg a következő átmeneti függvényt:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Ez egy egyszerű elsőrendű átmeneti függvény, amelynek erősítése egy, és időállandója 0,7 másodperc. Figyelembe véve, hogy az 's' a nevezőben a legmagasabb hatványkitevője '1'. Ha ez helyette $0.7s^2 + 1$ lenne, akkor másodrendű átmeneti függvény lenne.

Ez az átmeneti függvény válasza egy végállapot bemenetre, ahogy az 1. ábrán látható. Látható, hogy a végállapotban a kimenet pontosan megegyezik a bemenettel. Tehát a végállapot hiba nulla.

Elsőrendű átmeneti függvény időbeli válasza lépcsős bemenetre. — Ábra-1: Az elsőrendű átmeneti függvény időbeli válasza lépcsős bemenetre. Látható, hogy a szabályozott állapotbeli hiba nulla.

A függvény válasza az egységnyi rampa bemenetre Ábra-2-ben látható. Látható, hogy a szabályozott állapotban különbség van a bemenet és a kimenet között. Tehát az egységnyi rampa bemenet esetén létezik egy szabályozott állapotbeli hiba.

Elsőrendű átmeneti függvény időbeli válasza rampa bemenetre. — Ábra-2: Az elsőrendű átmeneti függvény időbeli válasza rampa bemenetre. Látható, hogy ebben az esetben létezik szabályozott állapotbeli hiba.

Sok irányítási rendszerek könyvben található, hogy a rampa bemenet esetén az elsőrendű átmeneti függvény szabályozott állapotbeli hibája megegyezik az időállandóval. Az Ábra-2 alapján látható, hogy ez igaz. 3 másodpercnél a bemenet 3, míg a kimenet 2,3. Így a szabályozott állapotbeli hiba 0,7, ami megegyezik az időállandóval ezen elsőrendű átmeneti függvény esetén.

Kérjük, vegye figyelembe a következő fontos tippeket:

A szabályozott állapotbeli hiba a legnagyobb, ha a bemenet parabolikus, általában kisebb a rampa bemenet esetén, és még kisebb a lépcsős bemenet esetén. Ahogy a fenti magyarázatban is említettük, a szabályozott állapotbeli hiba nulla a lépcsős bemenet esetén, 0,7 a rampa bemenet esetén, és végtelen a parabolikus bemenet esetén.
Fontos megjegyezni, hogy a szabályozott állapotbeli hiba a bemenettől függ, míg a stabilitás nem függ a bemenettől.

Vegyük egy zárt hurok irányító rendszert, amelynek átmeneti függvénye

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Ahol a szimbólumok a szokásos jelentésükkel bírnak. A rendszer stabilitása a nevezőtől, azaz '1+G(s)H(s)'-től függ. A '1+G(s)H(s) = 0' jellegű egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük. Gyökei utalnak a rendszer stabilitására. A állapotban maradó hiba R(s)-től függ.

Egy zárt hurok irányító rendszerben a hibajel kiszámítható, mint $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Az állapotban maradó hiba meghatározható, mint ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , ahol az állapotban maradó hiba a hibajel értéke az állapotban. Innen látható, hogy az állapotban maradó hiba R(s)-től függ.

Ahogy fent említettük, a stabilitás a nevezőtől, azaz 1 + G(s)H(s)-től függ. Itt az '1' konstans, tehát a stabilitás G(s)H(s)-től függ, ami a változó rész az egyenletben. Tehát megértheti a Bode-diagramot, a Nyquist-diagramot G(s)H(s) segítségével rajzolják, de ezek a C(s)/R(s) stabilitását mutatják be.

A G(s)H(s) nyitott kör átmeneti függvényként ismert, és a $\frac{C(s)}{R(s)}$ záró kör átmeneti függvényként ismert. A nyitott kör átmeneti függvény, azaz a G(s)H(s) elemzésével meghatározhatjuk a záró kör átmeneti függvény stabilitását Bode-diagram és Nyquist-diagram segítségével.

Állandó állapotú hiba példák

Egységugrás bemenet esetén az állandó állapotú hiba

Most néhány számítási példával foglalkozunk, amelyekben bemutatjuk, hogyan alakul az állandó állapotú hiba egy visszacsatolt rendszerben. Kezdjük egy egységugrás bemenettel rendelkező rendszerről.

Példa-1:

Vegyünk egy olyan irányítási rendszert (rendszermag-1), amelyet a 3. ábra mutat be:

A 'Rs' referencia bemenet egy egységugrás bemenet.

A Rendszermag-1 különböző állandó állapotú értékeit a 4. ábra mutatja be.

Állandó állapot értékek blokkdiagramja — Ábra-4: Különböző állandó állapot értékek egy irányító rendszerben

Látható, hogy a hibajel állandó állapot értéke 0,5, tehát az állandó állapot hiba 0,5. Ha a rendszer stabil és a különböző jelek állandók, akkor a következőképpen számolhatók ki a különböző állandó állapot értékek:

A transzfert függvényben, amikor $s\rightarrow 0$ , megkapjuk a transzfert függvény állandó állapot növekményét.

A kimenetet a következőképpen számíthatod:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Figyelembe véve, hogy $R(s)$ = egység lépéses bemenet = $\frac{1}{s}$ , átrendezhetjük ezt a következőképpen:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

A kimenet állandó állapotbeli értéke:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

A fenti módszerrel meghatározhatjuk bármely jel állandó állapotbeli értékét. Például:

Bemenet $R(s)= \frac{1}{s}$ (Egységugrás bemenet)

Állandó állapotbeli értéke= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Hasonlóképpen, a hibajel meghatározható így:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

A hibajel állandó állapotú értéke (azaz az állandó állapotú hiba):

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Látható, hogy a 4. ábra alapján a bemenet és a kimenet közötti különbség 0,5. Tehát az állandó állapotú hiba 0,5.

Az állandó állapotú hiba meghatározásának egy másik módja, hogy meghatározzuk a hibaállandókat, mint a következőkben:

Számítsa ki a pozíciós hibakoefficiens Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , megtalálja, hogy Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Ugyanazt a választ találja.

Ha a bemenet egy lépésként adott, mondjuk $R(s)=\frac{3}{s}$ (ez egy lépéses bemenet, de nem egység lépéses bemenet), akkor a állapotban lévő hiba ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Ha a bemenet egy egység rampa, akkor számolja a sebességi hibakoefficienst Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Ha a bemenet egységparabolikus, akkor számolja ki a gyorsulási hibaegyütthatót (Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

A Kp, Kv és Ka hibaegyütthatók elemzésével megértheti, hogyan függ a állapotállományi hiba a bemenettől.

PI vezérlő és állapotállományi hiba

Egy PI vezérlő (azaz egy arányos vezérlő plusz integráló vezérlő) csökkenti az állapotállományi hibát (ess), de negatívan hat a stabilitásra.

A PI vezérlők előnye, hogy csökkentik a rendszer állapotállományi hibáját, míg hátrányuk, hogy csökkentik a rendszer stabilitását.

Egy PI vezérlő csökkenti a stabilitást. Ez azt jelenti, hogy a lecsengés csökken; a csúcs túlszárítás és a beállási idő növekszik a PI vezérlő miatt; A karakterisztikus egyenlet gyökei (a zárt körű átmeneti függvény pólusai) a képzeleti tengelyhez közelebb kerülnek a bal oldalon. A rendszer sorrendje is növekszik a PI vezérlő miatt, ami csökkenti a stabilitást.

Vegyünk két karakterisztikus egyenletet, az egyik s3+ s2+ 3s+20=0, a másik pedig s2+3s+20=0. Csak látványszervel elmondhatjuk, hogy az első egyenlettel kapcsolatos rendszer alacsonyabb stabilitást mutat, mint a második egyenlettel. Ellenőrizheti ezt az egyenlet gyökeinek meghatározásával. Így megértetheti, hogy a magasabb rendű karakterisztikus egyenletek alacsonyabb stabilitást biztosítanak.

Most adjunk hozzá egy PI vezérlőt (arányos plusz integráló vezérlőt) a 1. rendszert (Ábra-3) és vizsgáljuk meg az eredményeket. A PI vezérlő beillesztése után a 1. rendszerben a különböző állapotállományi értékek az Ábra-5-ben láthatók. Látható, hogy a kimenet pontosan egyenlő a referencia bemenettel. Ez a PI vezérlő előnye, hogy minimalizálja az állapotállományi hibát, így a kimenet igyekszik követni a referencia bemenetet.

PI Controller Block Diagram — Ábra-5: A PI-vezérlő hatása látható ezen a diagramon

A PI-vezérlő átmeneti függvénye a következőképpen számítható: $Kp+\frac{Ki}{s}$ vagy $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Egy kérdést feltehetünk, hogy ha egy átmeneti függvény bemenete nulla, akkor a kimenete is nulla kellene legyen. Tehát, jelen esetben a PI-vezérlő bemenete nulla, de a PI-vezérlő kimenete véges érték (azaz 1). Ez a magyarázat nem található meg semmilyen irányítási rendszert említő könyvben, ezért itt fogjuk elmagyarázni:

(1) A stacionárius hiba nem pontosan nulla, hanem nullához tart, hasonlóképpen az 's' sem nulla, hanem nullához tart. Tegyük fel, hogy valamely pillanatban a stacionárius hiba 2x10-3, ugyanakkor az 's' (különösen a PI-vezérlő nevezőjében lévő 's'-ről beszélünk) is 2x10-3, tehát a PI-vezérlő kimenete '1'.

Vegyünk egy másik irányítási rendszert, amit az Ábra-6 mutat:

Closed Loop Control System with PI Controller — Ábra-6: Zárt hurokú irányítási rendszer PI-vezérlővel

Ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy valamely pillanatban a stacionárius hiba 2x10-3, ugyanakkor az 's' 4×10-3, tehát a PI-vezérlő kimenete '0.5'. Ez azt jelenti, hogy mind az 'ess', mind az 's' nullához tart, de arányuk véges érték.

A vezérlőrendszer könyveiben soha nem található s=0 vagy t=∞; mindig megtalálja
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) A második magyarázat az, hogy a sebességállapotú hiba nulla, ‘s’ is nulla a sebességállapotban. A PI-vezérlő átmeneti függvénye $\frac{Kps+Ki}{s}$ . A matematika könyveiben megtalálható, hogy $\frac{0}{0}$ nincs meghatározva, így bármilyen véges érték lehet (lásd 7. ábra).

PI Controller — 7. ábra: Az átmeneti függvény bemenete nulla, de a kimenet véges érték

(3) A harmadik magyarázat, $\frac{1}{s}$ egy integráló. A bemenet nulla, a nullának az integrálása nincs meghatározva. Így a PI-vezérlő kimenete bármilyen véges érték lehet.

Egy alapvető különbség a nyílt hurok vezérlőrendszer és a zárt hurok vezérlőrendszer között

Fentiek alapján magyarázzuk egy alapvető különbséget a nyílt hurok vezérlőrendszerek és a zárt hurok vezérlőrendszerek között. A nyílt hurok vezérlőrendszerek és a zárt hurok vezérlőrendszerek közötti különbségeket bármely vezérlőrendszer könyvben megtalálja*, de itt adunk egy alapvető különbséget, ami kapcsolódik a fenti magyarázathoz, és remélhetőleg hasznos lesz a olvasók számára.

Egy nyílt hurok vezérlőrendszert a következőképpen ábrázolhatunk:

Nyitott hurok irányító rendszer — Ábra-8: Ez egy diagram a szabványos nyitott hurok irányító rendszerről

A zárt hurok irányító rendszer (visszacsatolásos irányító rendszer) a következőképpen ábrázolható:

A berendezés átmeneti függvénye fix (a berendezés átmeneti függvénye automatikusan változhat környezeti változások, zavaró tényezők stb. miatt). Minden beszélgetésünkben feltételeztük, hogy H(s)=1; Egy operátor vezérelheti a vezérlő átmeneti függvényét (azaz a vezérlő paramétereit, mint például Kp, Kd, Ki) stb.

A vezérlő lehet arányos vezérlő (P vezérlő), PI vezérlő, PD vezérlő, PID vezérlő, fuzzy logika alapú vezérlő stb. A vezérlőnek két célja van (i) az állapotstabilitás fenntartása, azaz a csillapítás körülbelül 0,7-0,9 között kell legyen, a csúcs túllövés és a beállási idő alacsonyak (ii) a sebességállapot-hiba minimálisnak kell lennie (nullának kell lennie).

De ha a csillapítást próbáljuk növelni, akkor a sebességállapot-hiba is növekedhet. Ezért a vezérlő tervezése úgy történjen, hogy mindkét (stabilitás és sebességállapot-hiba) érték a kontrollon belül maradjon. A vezérlő optimális tervezése egy nagy kutatási téma.

Ahogy korábban említettük, a PI vezérlő drasztikusan csökkenti a sebességállapot-hibát (ess), de negatívan hat az állapotstabilitásra.

Most megvilágítunk egy alapvető különbséget a nyitott hurok irányító rendszer és a zárt hurok irányító rendszer között, ami kapcsolódik a fenti magyarázathoz.

Vegyük figyelembe az Ábra-10-t; ez egy nyitott hurok irányító rendszer.

Tegyük fel, hogy a bemenet egy egységugrás jel. Így a bemenet állandó állapotbeli értéke ‘1’. Kiszámítható, hogy a kimenet állandó állapotbeli értéke ‘2’. Ha valamilyen okból a berendezés átmeneti függvénye [G(s)] megváltozik, milyen hatással lesz ez a bemenetre és a kimenetre? A válasz az, hogy a berendezés bemenete nem fog változni, a berendezés kimenete viszont változni fog.

Most tekintsük az Ábra-11-et és az Ábra-12-t

Ábra-12: Zárt hurok rendszer, a berendezés kimenete ugyanaz, de a berendezés bemenete megváltozik az átmeneti függvény változása miatt

Mindkettő zárt hurok irányító rendszer. Az Ábra-11-ben tegyük fel, hogy valamilyen okból a berendezés átmeneti függvénye megváltozik, milyen hatással lesz ez a bemenetre és a kimenetre? Ebben az esetben a berendezés bemenete változni fog, a berendezés kimenete viszont nem fog változni. A berendezés kimenete próbálja követni a referencia bemenetet.

Az Ábra-12 mutatja az új feltételeket, amelyekben a berendezés paraméterei megváltoztak. Látható, hogy a berendezés bemenete 0,5-ről 0,476-ra változott, míg a kimenet nem változott. Mindkét esetben a PI-irányító bemenete nulla, a PI-irányító specifikációi azonosak, de a PI-irányító kimenete eltérő.

Így látható, hogy a nyitott hurok irányító rendszerben a berendezés kimenete változik, míg a zárt hurok irányító rendszerben a berendezés bemenete változik.

A vezérlő rendszerek könyveiben megtalálható a következő állítás:

„A növény átmeneti függvényének paraméterei változásánál a zárt hurok irányító rendszer kevésbé érzékeny, mint a nyílt hurok irányító rendszer” (azaz a zárt hurok irányító rendszer kimenetének változása kevesebb, mint a nyílt hurok irányító rendszerének).

Reméljük, hogy a fenti állítást a cikkben szereplő példák segítenek megvilágosítani.

___________________________________________________________________

*Kedves Electrical4U olvasóink, kérjük, vegye figyelembe, hogy ennek a cikknek az célja nem a könyvekben már elérhető témák reprodukálása; hanem a célunk, hogy a vezérlési mérnöki tudomány különböző összetett témáit egyszerű nyelven, numerikus példákkal bemutassuk. Reméljük, hogy ez a cikk segít abban, hogy jobban megértsd a kiegyenlített állapotbeli hiba és a PI-irányítók összetettségét.

Nyilatkozat: Tartsa szem előtt az eredetit, jó cikkek megosztásra méltóak, ha sérül a szerzői jog, kérjük, lépjen kapcsolatba a törlésért.

Adományozz és bátorítsd a szerzőt!

Témák:

Energiaszerkezetek

Irányító rendszerek

Szakértők névjegye

Electrical4u

China