Erro de Estado Estacionário: O que é? (Ganho em Estado Estacionário, Valor e Fórmula)

Campo: Eletricidade Básica

China

O que é Erro de Estado Estacionário

Erro de estado estacionário é definido como a diferença entre o valor desejado e o valor real da saída do sistema no limite quando o tempo tende ao infinito (ou seja, quando a resposta do sistema de controle atinge o estado estacionário).

O erro de estado estacionário é uma propriedade da resposta de entrada/saída para um sistema linear. Em geral, um bom sistema de controle será aquele que tenha um erro de estado estacionário baixo.

Primeiro, discutiremos o erro de estado estacionário em uma função de transferência de primeira ordem analisando sua resposta de estado estacionário. Consideremos a função de transferência abaixo:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Esta é uma simples função de transferência de primeira ordem, com um ganho igual a um e uma constante de tempo de 0,7 segundos. Note que é conhecida como função de transferência de primeira ordem porque o 's' no denominador tem a maior potência de '1'. Se fosse, em vez disso, $0.7s^2 + 1$ , seria uma função de transferência de segunda ordem.

A resposta desta função de transferência a uma entrada de estado estacionário é mostrada na Figura-1. Pode-se ver que, no estado estacionário, a saída é exatamente igual à entrada. Portanto, o erro de estado estacionário é zero.

Resposta temporal da Função de Transferência de Primeira Ordem a uma entrada degrau. — Figura-1: É a resposta temporal da Função de Transferência de Primeira Ordem a uma entrada degrau. Pode-se observar que o erro em estado estacionário é zero

A resposta desta função a uma entrada rampa unitária é mostrada na Figura-2. Pode-se observar que, no estado estacionário, existe uma diferença entre a entrada e a saída. Portanto, para uma entrada rampa unitária, existe um erro em estado estacionário.

Resposta temporal da Função de Transferência de Primeira Ordem a uma entrada rampa. — Figura-2: É a resposta temporal da Função de Transferência de Primeira Ordem a uma entrada rampa. Pode-se observar que, neste caso, existe um erro em estado estacionário

Observe que, em muitos livros de sistemas de controle, você pode encontrar que, contra uma entrada rampa, o erro em estado estacionário de uma função de transferência de primeira ordem é igual à constante de tempo. A partir da observação da Figura-2 acima, podemos ver que isso é verdade. Em t=3 segundos, a entrada é 3, enquanto a saída é 2,3. Portanto, o erro em estado estacionário é 0,7, que é igual à constante de tempo para esta função de transferência de primeira ordem.

Por favor, observe as seguintes dicas importantes:

O erro em estado estacionário é o maior se a entrada for parabólica, geralmente menor para entrada rampa e ainda menor para entrada degrau. Como explicado acima, o erro em estado estacionário é zero contra entrada degrau, e 0,7 contra entrada rampa, e pode ser encontrado que é ∞ contra entrada parabólica.
Deve-se notar que o erro em estado estacionário depende da entrada, enquanto a estabilidade não depende da entrada.

Vamos considerar um sistema de controle em malha fechada com função de transferência

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Onde os símbolos têm seus significados usuais. A estabilidade do sistema depende do denominador, ou seja, '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' é chamada de equação característica. Suas raízes indicam a estabilidade do sistema. O erro em regime permanente depende de R(s).

Em um sistema de controle em malha fechada, o sinal de erro pode ser calculado como $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ O erro em regime permanente pode ser encontrado como ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , onde o erro em regime permanente é o valor do sinal de erro em regime permanente. A partir disso, podemos ver que o erro em regime permanente depende de R(s).

Como mencionado acima, a estabilidade depende do denominador, ou seja, 1 + G(s)H(s). Aqui, '1' é constante, portanto a estabilidade depende de G(s)H(s), que é a parte da equação que pode mudar. Assim, você pode entender que o gráfico de Bode, gráfico de Nyquist são traçados com a ajuda de G(s)H(s), mas eles indicam a estabilidade de $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) é chamada de função de transferência em malha aberta e $\frac{C(s)}{R(s)}$ é chamada de função de transferência em malha fechada. Pela análise da função de transferência em malha aberta, ou seja, G(s)H(s), podemos determinar a estabilidade de uma função de transferência em malha fechada através do diagrama de Bode e do diagrama de Nyquist.

Exemplos de Erro em Estado Estacionário

Erro em Estado Estacionário para uma Entrada de Degrau Unitário

Agora, explicaremos o erro em estado estacionário em um sistema de controle em malha fechada com alguns exemplos numéricos. Começaremos com um sistema de controle com uma entrada de degrau unitário.
Exemplo-1:
Considere o seguinte sistema de controle (sistema-1) mostrado na Figura-3:

Figura-3: Sistema de Controle em Malha Fechada

A entrada de referência ‘Rs’ é uma entrada de degrau unitário.
Os vários valores em estado estacionário do Sistema-1 são mostrados na Figura-4.

Figura-4: Vários Valores Estacionários em um Sistema de Controle

Pode-se observar que o valor estacionário do sinal de erro é 0,5, portanto, o erro estacionário é 0,5. Se o sistema for estável e os diversos sinais forem constantes, então vários valores estacionários podem ser obtidos da seguinte forma:
Na função de transferência, quando $s\rightarrow 0$ , você obterá o ganho estacionário da função de transferência.
Você pode calcular a saída da seguinte forma:

   $\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Lembrando que $R(s)$ = entrada degrau unitário = $\frac{1}{s}$ , podemos rearranjar isso para:

   $\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

O valor em estado estacionário da saída é:

   $\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Podemos usar o método acima para calcular o valor em estado estacionário de qualquer sinal. Por exemplo:
A entrada é $R(s)= \frac{1}{s}$ (a entrada é um degrau unitário)
Seu valor em estado estacionário= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.
De forma semelhante, o sinal de erro pode ser calculado como:

   $\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

O valor em estado estacionário do sinal de erro (ou seja, o erro em estado estacionário) é:

   $\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Também pode ser visto na Figura-4 que a diferença entre a entrada e a saída é 0,5. Portanto, o erro em estado estacionário é 0,5.
Outro método para calcular o erro em estado estacionário envolve encontrar as constantes de erro, conforme segue:
Calcule o coeficiente de erro posicional Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , você encontrará Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Você encontrará a mesma resposta.
Se a entrada for uma entrada em degrau, digamos $R(s)=\frac{3}{s}$ (é uma entrada em degrau, mas não uma entrada em degrau unitário), então o erro em estado estacionário é ess= $\frac{3}{1+Kp}$
Se a entrada for uma rampa unitária, então calcule, o coeficiente de erro de velocidade Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$
Se a entrada for uma entrada parabólica unitária, então calcule, o coeficiente de erro de aceleração Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .
Com a análise das constantes de erro Kp, Kv e Ka, você pode entender como o erro em estado estacionário depende da entrada.

Controlador PI e Erro em Estado Estacionário

Um controlador PI (ou seja, um controlador proporcional mais integral) reduz o erro em estado estacionário (ess), mas tem um efeito negativo na estabilidade.
Os controladores PI têm a vantagem de reduzir o erro em estado estacionário de um sistema, enquanto têm a desvantagem de reduzir a estabilidade do sistema.
Um controlador PI reduz a estabilidade. Isso significa que o amortecimento diminui; o sobressinal máximo e o tempo de acomodação aumentam devido ao controlador PI; as raízes da equação característica (polos da função de transferência em malha fechada) no lado esquerdo se aproximam mais do eixo imaginário. A ordem do sistema também aumenta devido ao controlador PI, o que tende a reduzir a estabilidade.
Considere duas equações características, uma é s3+ s2+ 3s+20=0, outra é s2+3s+20=0. Apenas com observação, podemos dizer que o sistema relacionado à primeira equação tem menor estabilidade em comparação com a segunda equação. Você pode verificar isso encontrando as raízes da equação. Portanto, você pode entender que equações características de ordem superior têm menor estabilidade.
Agora, adicionaremos um controlador PI (Proporcional Mais Integral) no sistema-1 (Figura-3) e examinaremos os resultados. Após inserir o controlador PI no sistema-1, vários valores em estado estacionário são mostrados na Figura-5, pode-se ver que a saída é exatamente igual à entrada de referência. É a vantagem do controlador PI, que minimiza o erro em estado estacionário para que a saída tente seguir a entrada de referência.

Figura-5: O efeito do controlador PI pode ser visto neste diagrama

A função de transferência do controlador PI pode ser calculada como $Kp+\frac{Ki}{s}$ ou $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Uma pergunta que pode ser feita é: se a entrada de qualquer função de transferência for zero, então sua saída deve ser zero. Portanto, no caso atual, a entrada para o controlador PI é zero, mas a saída do controlador PI é um valor finito (ou seja, 1). Esta explicação não é dada em nenhum livro de sistemas de controle, portanto, vamos explicá-la aqui:
(1) O erro em estado estacionário não é exatamente zero, ele tende a zero, assim como 's' não é igual a zero, ele tende a zero. Então, suponha que, em algum momento, o erro em estado estacionário seja 2x10-3, ao mesmo tempo, 's' (especificamente, estamos falando de 's' no denominador do controlador PI) também é igual a 2x10-3, portanto, a saída do controlador PI é '1'.
Vamos considerar outro sistema de controle mostrado na Figura-6:

Figura-6: Um Exemplo de Sistema de Controle em Malha Fechada com Controlador PI

Neste caso, podemos dizer que, em algum momento, suponha que o erro em estado estacionário seja 2x10-3, ao mesmo tempo, 's' é igual a 4×10-3; portanto, a saída do controlador PI é '0,5'. Isso significa que tanto 'ess' quanto 's' tendem a zero, mas sua razão é um valor finito.
Nos livros de sistemas de controle, você nunca encontrará s=0 ou t=∞; você sempre encontrará
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$
(2) A segunda explicação é que o erro em estado estacionário é zero, 's' também é zero no estado estacionário. A função de transferência do controlador PI é $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Nos livros de matemática, você encontrará que $\frac{0}{0}$ é indefinido, então pode ser qualquer valor finito (ver Figura-7).

Figura-7: Entrada para a Função de Transferência é zero, mas a saída é um valor finito

(3) A terceira explicação é, $\frac{1}{s}$ é um integrador. A entrada é zero, a integração de zero é indefinida. Portanto, a saída do controlador PI pode ser qualquer valor finito.
Uma diferença básica entre o sistema de controle em malha aberta e o sistema de controle em malha fechada
Em referência à explicação acima, explicaremos uma diferença básica entre um sistema de controle em malha aberta e um sistema de controle em malha fechada. As diferenças entre o sistema de controle em malha aberta e o sistema de controle em malha fechada, você pode encontrar em qualquer livro de sistemas de controle*, mas uma diferença básica relacionada à explicação acima é dada aqui e esperamos certamente que seja útil para os leitores.
Um sistema de controle em malha aberta pode ser representado da seguinte forma:

Figura-8: É um diagrama do Sistema de Controle em Malha Aberta Padrão

Um sistema de controle em malha fechada (sistema de controle com realimentação) pode ser representado da seguinte forma:

Figura-9: É um diagrama do Sistema de Controle em Malha Fechada Padrão

A função de transferência da planta é fixa (a Função de Transferência da planta pode ser alterada automaticamente devido a mudanças ambientais, perturbações, etc.). Em todas as nossas discussões, assumimos H(s)=1; Um operador pode controlar a função de transferência do controlador (ou seja, parâmetros do controlador como Kp, Kd, Ki) etc.
O controlador pode ser um controlador proporcional (controlador P), controlador PI, controlador PD, controlador PID, controlador lógico fuzzy, etc. Existem dois objetivos de um controlador (i) Manter a estabilidade, ou seja, o amortecimento deve estar em torno de 0,7-0,9, o sobressinal e o tempo de acomodação devem ser baixos (ii) O erro em estado estacionário deve ser mínimo (deve ser zero).
Mas se tentarmos aumentar o amortecimento, o erro em estado estacionário pode aumentar. Portanto, o projeto do controlador deve ser tal que ambos (estabilidade e erro em estado estacionário) estejam sob controle. O design ótimo do controlador é um vasto tema de pesquisa.
Como foi escrito anteriormente, o controlador PI reduz drasticamente o erro em estado estacionário (ess), mas tem efeito negativo na estabilidade.
Agora, explicaremos uma diferença básica entre o sistema de controle em malha aberta e o sistema de controle em malha fechada, que está relacionada à explicação acima.
Considere a Figura-10; é um sistema de controle em malha aberta.

Figura-10: Um Sistema de Controle em Malha Aberta

Suponha que a entrada seja uma entrada degrau unitário. Portanto, o valor estacionário da entrada é '1'. Pode-se calcular que o valor estacionário da saída é '2'. Suponha que haja uma mudança na função de transferência [G(s)] da planta devido a qualquer motivo, qual será o efeito na entrada e na saída? A resposta é que a entrada para a planta não mudará, a saída da planta mudará.
Agora considere as Figuras-11 e 12

Figura-11: Um Sistema de Controle em Malha Fechada

Figura-12: Sistema em Malha Fechada, a saída da planta é a mesma, mas a entrada da planta muda devido à mudança na Função de Transferência

Ambos são sistemas de controle em malha fechada. Na Figura-11, suponha que haja uma mudança na função de transferência da planta devido a qualquer motivo, qual será o efeito na entrada e na saída? Neste caso, a entrada para a planta mudará, a saída da planta permanecerá inalterada. A saída da planta tenta seguir a entrada de referência.
A Figura-12 mostra as novas condições, nas quais os parâmetros da planta foram alterados. Você pode ver que a entrada da planta mudou de 0,5 para 0,476, enquanto a saída não mudou. Em ambos os casos, a entrada para o controlador PI é zero, as especificações do controlador PI são as mesmas, mas a saída do controlador PI é diferente.
Portanto, você pode entender que, no sistema de controle em malha aberta, a saída da planta muda, enquanto no sistema de controle em malha fechada, a entrada para a planta muda.
Nos livros de sistemas de controle, você pode encontrar a seguinte afirmação:
"Em caso de variação dos parâmetros da função de transferência da planta, o sistema de controle em malha fechada é menos sensível em comparação com o sistema de controle em malha aberta" (ou seja, a variação na saída do sistema de controle em malha fechada é menor em comparação com o sistema de controle em malha aberta).
Esperamos que a afirmação acima fique mais clara com os exemplos fornecidos neste artigo.
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*Caros leitores do Electrical4U, por favor, notem que o objetivo deste artigo não é reproduzir os tópicos já disponíveis nos livros; mas nosso objetivo é apresentar diversos tópicos complexos da Engenharia de Controle em linguagem fácil, com exemplos numéricos. Esperamos que este artigo seja útil para vocês entenderem as várias complexidades relacionadas ao erro em estado estacionário e aos controladores PI.
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