Estatu estabilaren errorea: Zer da? (Estatu estabilaren Gaintza Balioa & Formula)

Eremua: Elektrizitate Oinarrizko

China

Zeroko egoera errorea zer den

Zeroko egoera errorea zer da?

Zeroko egoera errorea sistema baten irteeren balio desideratua eta erabakiaren arteko aldea da, tarte infinituan (hau da, kontrol-sistema erantzunak zeroko egoera iritsi ondoren).

Zeroko egoera errorea linear sistema baten sarrera/irteeren erantzuna duen ezaugarria da. Oro har, kontrol-sistema on bat zeroko egoera errore txikia duena izango da.

Lehenik, lehen mailako transferentzia funtzio batean zeroko egoera errorea aztertuko dugu bere zeroko egoera erantzuna aztertuz. Kontsideratu transferentzia funtzio hau:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Hau da lehen mailako transferentzia funtzio sinple bat, unitateeko gaindua eta 0.7 segundoko denbora konstantea dituena. Kontuan hartu ‘s’ adierazpenaren zatitzailean 1ra eskalatua dagoela. Hori dela eta, lehen mailako transferentzia funtzio deritzo. Hona hemen ordea, $0.7s^2 + 1$ bada, bigarren mailako transferentzia funtzio bihurtuko litzateke.

Transferentzia funtzio honen erantzuna zeroko egoera sarrerara ikus daiteke Figure-1-an. Ikus daiteke zeroko egoeran, irteera sarrera berdinak dela. Beraz, zeroko egoera errorea zeroa da.

Irudia-1: Aldagai bateko transfer funtzioaren erantzun denboralarra aldaketa inputa aurkitzean. Ikusten da egoera estabiloan errore estabiloa zero dela

Funtzio honen erantzuna unitateko rampa inputa aurkitzean Irudia-2-n ikus daiteke. Ikusten da egoera estabiloan input eta output artean desberdintasun bat dagoela. Beraz, unitateko rampa inputa aurkitzean, errore estabilo bat existitzen da.

Irudia-2: Aldagai bateko transfer funtzioaren erantzun denboralarra rampa inputa aurkitzean. Ikusten da egoera estabiloan errore estabilo bat existitzen dela kasu honetan

Ohartu behar da kontrol sistema askotan liburuetan aurkitzen da rampa inputa aurkitzean, aldagai bateko transfer funtzioaren errore estabiloa denbora konstantea dela. Irudia-2-n ikusten da hau egia dela. t=3 segundoan, inputa 3 da, eta outputa 2.3. Beraz, errore estabiloa 0.7 da, hau da aldagai bateko transfer funtzio honentzako denbora konstantea.

Mesedez kontuan izan jarraian dagoen garrantzitsu ohar batzuk:

Errore estabiloa gehien da inputa parabolikoa bada, orokorrean txikiagoa da rampa inputa badela, eta txikiagoa da aldaketa inputa badela. Aurreko azalpenan, errore estabiloa zero da aldaketa inputa aurkitzean, eta 0.7 da rampa inputa aurkitzean, eta aurkitu daiteke ∞ dela paraboliko inputa aurkitzean.
Ohartu behar da errore estabiloa inputaren menpe dago, baina estabilitatea inputaren menpe ez dago.

Erabili gaitasun kontrola itxurako sistema bat transfer funtzioarekin

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Non sinboloek zure adierazpen arruntak dituzte. Sistemaren estabilitatea hondarrizko adierazpenen gainean datza, hau da, '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' ekuazio karakteristikoa deitzen da. Egoiten dituen errooak sistemaren estabilitatea adierazten dute. Egoiko egoera erroea R(s)-n mendeko da.

Itxurako kontrol sistema batean erro oharra honela kalkula daiteke $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Egoiko egoera erroa horrela aurkitu daiteke: ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , non egoiko egoera erroa erro oharren balioa den egoiko egoeran. Honek ikusten digu egoiko egoera erroa R(s)-n mendeko dela.

Aipatu bezala, estabilitatea hondarrizko adierazpenen gainean datza, hau da, 1 + G(s)H(s). '1' konstantea da, beraz, estabilitatea G(s)H(s)-n mendeko da, hau da, ekuazioaren aldatu daitekeen atala. Hortaz, ulertzeko moduan Bode grafikoa, Nyquist grafikoa G(s)H(s) laguntzan dibujatzen dira, baina $\frac{C(s)}{R(s)}$ estabilitatea adierazten dute.
G(s)H(s) deitu zabal-iturako funtzioa da eta $\frac{C(s)}{R(s)}$ iturburu-iturako funtzio itxiaren izena da. G(s)H(s) zabal-iturako funtzioaren analisiaren bidez, Bode irudian & Nyquist irudian iturburu-iturako funtzio itxiaren estabilitatea aurkitu dezakegu.

Errore Estazio Arruntaren Adibideak

Errore Estazio Arrunta Unitateko Iragarpen Batua Ditzan

Orain, adieraziko dugu, zenbait zenbakizko adibideekin, iturburu-iturako kontrol sistema baten errore estazio arrunta. Unitateko iragarpen batua duten kontrol sistema batekin hasten gara.

Adibidea-1:

Jarraian dagoen kontrol sistema (sistema-1) kontsideratu, Irudi-3an ikus daitekeena:

Irudi-3: Iturburu-Iturako Kontrol Sistema Itxia

Erreferentziako sarrera 'Rs' unitateko iragarpen batua da.

Sistema-1ren balio asko estazio arruntek Irudi-4an erakusten dira.

Egoitza estatikoaren bloke-diagrama — Irudi-4: Kontrol-sistema bateko egoitzeko balio estatiko desberdinak

Ikusten da errore-sinalaren balio estatikoa 0,5 dela, beraz, errore estatikoa 0,5 da. Sistema estabilgarria bada eta sinal desberdinak konstanteak badira, hurrengo balio estatikoak lortu daitezke:

Transferentzia-funtzioan, $s\rightarrow 0$ , transferentzia-funtzioaren irteera estatikoa lortuko duzu.

Irteerari hurrengo moduan kalkulatu dezakezu:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Gogoratuz $R(s)$ = unit step input = $\frac{1}{s}$ , honela ordenatu dezakegu:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Irudiaren egoera estatikoa da:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Metodo hau erabil dezakegu edozein senalaren balio estatikoak kalkulatzeko. Adibidez:

Sarrera da $R(s)= \frac{1}{s}$ (Sarrera unitateko urrats bat da)

Balio estatikoa= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Modu berean, errore-senala kalkula daiteke:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Erroreko seguruaren balio estazioa (hau da, errore estatikoa):

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Gure ikuspean, irteera eta sarrera arteko desberdintasuna 0.5 da. Beraz, errore estatikoa 0.5 da.

Errore estatikoak kalkulatzeko beste metodo bat errore-konstanteak aurkitzea da, hurrengo moduan:

Kalkulatu posizio erroreko koefizientea Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Emaitza berdina lortuko duzu.

Sarrera bat izanik, esaterako $R(s)=\frac{3}{s}$ (sarrera bat da, baina ez unitarioa), orduan egonkortasun errorea ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Sarrera unitario rampa bat bada, kalkulatu abiadura erroreko koefizientea Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Baldin inputa unit parabolikoa bada, orduan kalkulatu, Azelerazio errore koefizientea Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Errore konstanteen Kp, Kv eta Ka analisiarekin ulertu dezakezu nola dagoen errore estatikoak inputaren menpe.

PI Kontrolagailua eta Errore Estatikoa

PI kontrolagailu bat (hau da, proportzionala den kontrolagailu bat plus integrala den kontrolagailu bat) murriztu egiten du errore estatikoak (ess), baina efektu negatiboa du estabilitateari.

PI kontrolagailuak sistema baten errore estatikoak murriztuko ditu, baina sistema horren estabilitatea murrizten du.

PI kontrolagailuak estabilitatea murrizten du. Honek esan nahi du amortasuna gutxiago dela; pikeko gainbatuak eta estabilizazio-denbora handiagoak PI kontrolagailuengatik gertatzen dira; Ezaugarri-ekuazioaren erroinak (itxurako transferentzi funtzioaren polok) eskubiko aldean kokatuta izango dira imaginario ardatzera hurbiltzen. Sistema ordena ere handiagoa bihurtzen da PI kontrolagailuengatik, estabilitatea murrizten duena.

Bi ezaugarri-ekuazio kontsideratu, bat s3+ s2+ 3s+20=0, bestea s2+3s+20=0. Begirada batean jakin dezakegu lehenengo ekuazioari lotutako sistema bigarren ekuazioari lotutako sistematik estabilitate txikiagoa duela. Ekuazioaren erroinak aurkituz frogatu dezakezu. Beraz, ulertu dezakezu ordena handiago duten ezaugarri-ekuazioek estabilitate txikiagoa dutela.

Orain, sistemara-1 (Irudia-3) bat PI kontrolagailu (Proportzional Plus Integrala den kontrolagailu) gehitu dezagun eta emaitzak aztertuko ditugu. PI kontrolagailu bat sistemara-1 gehitze ondoren, irudi-5an ikus daitezkeen balio estatiko desberdinak, ikusten denez, outputa zehazki datu-sarrera berdina da. PI kontrolagailuaren abantaila da errore estatikoak minimizatzea, outputak datu-sarrera berdintasuna jarraitzen saiatzen duelako.

PI Controller Block Diagram — Irudi-5: PI kontrolagailuaren efektua irudian ikus daiteke

PI kontrolagailuaren transfer funtzioa honela kalkula daiteke $Kp+\frac{Ki}{s}$ edo $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Galdera bat egin daiteke: zer da transfer funtzio baten sarrera zero denean, bere irteera ere zero izango dela. Beraz, kasu honetan, PI kontrolagailuaren sarrera zero da, baina PI kontrolagailuaren irteera balio finitu bat da (hau da, 1). Ezin da aurkitu hainbat kontrol sistema liburuan, beraz, hemen azalduko dugu:

(1) Egoera estatiko errorea ez da zehazki zero, tenditzen da zero, modu berean, 's' ez da zero, tenditzen da zero, beraz, adibidez, egoera estatiko errorea 2x10-3, eta 's' (espezialki, PI kontrolagailuko eratorrietan dagoen 's') ere 2x10-3 bada, PI kontrolagailuaren irteera '1' da.

Beste kontrol sistema bat hartuko dugu, Irudi-6-n ikusten dena:

Closed Loop Control System with PI Controller — Irudi-6: PI kontrolagailuarekin itxi den kontrol sistema adibide bat

Kasu honetan, esan dezakegu, adibidez, egoera estatiko errorea 2x10-3 bada, eta 's' 4×10-3 badira, PI kontrolagailuaren irteera '0.5' izango da. Honek esan nahi du 'ess' eta 's' biak zero tenditzen direla, baina haien arrazoia balio finitu bat da.

Kontrol sistema liburu guztiak ez dituzte s=0 edo t=∞; beti ikusiko duzu
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Bigarren azalpena da, egoera estatikoko errorea zero denean, 's' ere zero da egoera estatikoan. PI kontrolagailuaren transferentzia funtzioa hau da $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Matematika liburu guztietan ikusiko duzu $\frac{0}{0}$ ezdefinitua dela, beraz, balio finituen bat izan daiteke (ikusi irudia-7).

PI Controller — Irudia-7: Transferentzia funtziorako sarrera zero da baina irteera balio finitu bat da

(3) Hirugarren azalpena da, $\frac{1}{s}$ integratzailea da. Sarrera zero denean, zeroaren integrazioa ezdefinitua da. Beraz, PI kontrolagailurako irteera balio finitu bat izan daiteke.

Bukaeratu gabeko kontrol sistemaren eta itxurako kontrol sistemaren arteko oinarrizko desberdintasuna

Goiko azalpenari dagokionez, bukaeratu gabeko kontrol sistemaren eta itxurako kontrol sistemaren arteko oinarrizko desberdintasuna azalduko dugu. Bukaeratu gabeko kontrol sistemaren eta itxurako kontrol sistemaren arteko desberdintasunak kontrol sistema liburu guztietan aurkitu daitezke*, baina goiko azalpenarekin lotutako oinarrizko desberdintasuna hemen ematen da eta espero dugu erabiltzaileei lagungarri izatea.

Bukaeratu gabeko kontrol sistema honela adieraz daiteke:

Sistema de kontrola zirkuluar irekia — Figura-8: Diagrama bat da Estandarrako Zirkuluar Irekiko Sistema de Kontrola

Iturri itxi sistemak (itzarpen kontrol sistema) honela adieraz daiteke:

Sistema de kontrola zirkuluar itxia — Figura-9: Diagrama bat da Estandarrako Zirkuluar Itxiko Sistema de Kontrola

Lanaren transfer funtzioa finkoa dago (lanaren transfer funtzioa ingurune aldaketak, perturbazioak eta abarrez automatikoki alda daitezke). Gure diskusio guztietan H(s)=1 onartu dugu; Operari lanaren kontrolagailuaren transfer funtzioa kontrol dezake (hau da, Kp, Kd, Ki) parametroak).

Kontrolagailua proportzionala izan daiteke (P kontrolagailua), PI kontrolagailua, PD kontrolagailua, PID kontrolagailua, logika fuzzy kontrolagailua eta abar. Kontrolagailu baten bi helburu ditu: (i) Estabilitatea mantentzea, hau da, amortasuna 0.7-0.9 artekoa izan beharko luke, goi gainbegiratzea eta estabilizazio denbora txikia izan beharko lirateke (ii) Estabiletatik errore txikia izan beharko luke (zer izan beharko luke).

Baina, amortasuna handitzen saiatzen garenean, estabiletatik errorea goratu daiteke. Beraz, kontrolagailuaren diseinua egitea beharrezkoa da biak (estabilitatea eta estabiletatik errorea) kontrolatuta izan. Kontrolagailu optimoaren diseinua ikerketa-lan luzea da.

Aurrekoan idatzita, PI kontrolagailuak estabiletatik errorea (ess) askotan murriztu, baina estabilitateari eragina negatiboa du.

Orain, zirkuluar irekiko sistema de kontrola eta zirkuluar itxiko sistema de kontrolaren arteko oinarriko ezberdintasun bat azalduko dugu, aurreko azalpenarekin lotuta.

Ikusi Figura-10; zirkuluar irekiko sistema de kontrola da.

Adieraziko dugu sarrera batetik hasten dela. Beraz, sarreraren balio estazioa '1' da. Kalkula daiteke emaitza-ren balio estazioa '2' dela. Suposatzen dugu sistema baten transferentzia funtzioa [G(s)] edonolako arrazoietan aldatzen dela, zer egin duen sarrera eta emaitzari? Erantzuna da: sistemara sartutako sarrera ez da aldatuko, sistema-tik irten den emaitza aldaketa bat izango du.

Orain ikusiko ditugu Figurak-11 eta 12

Biak itxi den bukelaren sistema de kontrola dira. Figura-11-n, suposatzen dugu sistema baten transferentzia funtzioa edonolako arrazoietan aldatzen dela, zer egin duen sarrera eta emaitzari? Kasu honetan, sistema-tik sartutako sarrera aldatuko da, sistema-tik irten den emaitza aldatu gabe egongo da. Sistema-tik irten den emaitza saiatuko da erreferentziako sarrera jarraitzea.

Figura-12-k azalduko ditu baldintza berriak, non sistema-ren parametroak aldatu diren. Ikus dezakezu sistema-ren sarrera 0.5tik 0.476ra aldatu dela, baina emaitza aldatu gabe egongo da. Bi kasuetan ere, PI kontrolagailuaren sarrera zeroa da, PI kontrolagailuaren ezaugarriak berdinak dira baina PI kontrolagailuaren emaitza desberdina da.

Beraz, ulertzeko, ireki den bukelaren sistema de kontrolan sistema-tik irten den emaitza aldatzen da, baina itxi den bukelaren sistema de kontrolan sistema-tik sartutako sarrera aldatzen da.

Kontrola sistemen liburu guztietan aurkitu dezakezu hurrengo adierazpena:

“Planta transfer funtzioaren parametroen aldaketan, itxurako kontrol sistema itxurazko kontrol sistemari baino askoz gutxiago sentikorra da” (hau da, itxurako kontrol sisteman irteera aldaketa itxuragabe kontrol sisteman baino gutxiagoa da).

Espero dugu goiko adierazpena artikuluan emandako adibideek argiago egiten duzula.

___________________________________________________________________

*IEE-Business irakurle guztiok, kontuan izan artikulu hau liburuetan dagoen gaiak errepikatzeko ez da soilik sortu, baina helburua Kontrol Ingeniaritzaren gai konplexu ugari erraztasun berrikin eta zenbakizko adibideekin aurkeztekoa da. Espero dugu artikulu hau lagungarria izango zenuela oinarri-zeharkako errorearen eta PI kontrolagailuen konplexutasun ugari ulertzeko.

Adierazpena: Jatorrizkoa errespetatu, ondo idatzitako artikuluak partekatzeko balio dituzte, baldin eta haien eskumenak urratzen baditu kontaktatzeko eskaera borrazteko.

Ordaintza ematea eta egilea bermatzea

Gaiak:

Sistema elektrikoa

Sistema kontrola

Aditu espezialistak buruz

Electrical4u

China

Eskerrik eremintza

Basic Electrical

Artikulu profesionala

607