Stasjonær tilstand feil: Hva er det? (Stasjonær tilstand forsterkning verdi & formel)

Felt: Grunnleggende elektrisitet

China

Hva er stasjonær feil

Hva er stasjonær feil?

Stasjonær feil defineres som forskjellen mellom den ønskede verdien og den faktiske verdien av systemets utdata når tiden går mot uendelig (dvs. når responsen i kontrollsystemet har nådd stasjonær tilstand).

Stasjonær feil er en egenskap ved inngang/utgang-respons for et lineært system. Generelt vil et godt kontrollsystem være et som har en lav stasjonær feil.

Først skal vi diskutere stasjonær feil i en overføringsfunksjon av første orden ved å analysere dens stasjonære respons. La oss betrakte overføringsfunksjonen under:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Dette er en enkel overføringsfunksjon av første orden, med en forsterkning på én og en tidskonstant på 0.7 sekunder. Merk at den kalles en overføringsfunksjon av første orden fordi 's' i nevneren har høyest potens på '1'. Hvis det isteden hadde vært $0.7s^2 + 1$ , ville det vært en overføringsfunksjon av andre orden.

Responsen fra denne overføringsfunksjonen til en stasjonær inngang vises i figur 1. Det kan sees at i stasjonær tilstand er utgangen nøyaktig lik inngangen. Dermed er stasjonær feil null.

Tidsrespons for førsteordens overføringsfunksjon mot steginnspilling. — Figur-1: Dette er tidsresponsen for en førsteordens overføringsfunksjon mot steginnspilling. Det kan sees at det stabile feilet er null

Responsen til denne funksjonen på en enhetsramp-innspilling vises i Figur-2. Det kan sees at det i det stabile tilfellet er en forskjell mellom inn- og utdata. Derfor eksisterer det et stabilt feilet for en enhetsramp-innspilling.

Tidsrespons for førsteordens overføringsfunksjon mot ramp-innspilling. — Figur-2: Dette er tidsresponsen for en førsteordens overføringsfunksjon mot ramp-innspilling. Det kan sees at det stabile feilet eksisterer i dette tilfellet

Merk at i mange kontrollsystembøker kan du finne at mot ramp-innspilling er det stabile feilet for en førsteordens overføringsfunksjon lik tidskonstanten. Ved å se på Figur-2 ovenfor, kan vi se at dette stemmer. Ved t=3 sekunder, er inndata 3 mens utdata er 2.3. Dermed er det stabile feilet 0.7, som er lik tidskonstanten for denne førsteordens overføringsfunksjonen.

Vennligst merk følgende viktige tips:

Det stabile feilet er høyest hvis inndata er parabelisk, generelt lavere for ramp-innspilling, og enda lavere for steg-innspilling. Som i den ovennevnte forklaringen, er det stabile feilet null mot steg-innspilling, og 0.7 mot ramp-innspilling, og det kan finnes at det er ∞ mot parabelisk inndata.
Det bør merkes at det stabile feilet avhenger av inndata, mens stabilitet ikke avhenger av inndata.

La oss betrakte et lukket sløyfekontrollsystem med overføringsfunksjon

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Der symbolene har deres vanlige betydning. Systemets stabilitet avhenger av nevneren, altså '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' kalles karakteristisk ligning. Dens røtter indikerer systemets stabilitet. Stasjonær feil avhenger av R(s).

I et lukket sløyfekontrollsystem kan feilsignalet beregnes som $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Stasjonær feil kan finnes som ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , der stasjonær feil er verdien av feilsignalet i stasjonær tilstand. Av dette kan vi se at stasjonær feil avhenger av R(s).

Som nevnt ovenfor avhenger stabiliteten av nevneren, altså 1 + G(s)H(s). Her er '1' konstant, så stabiliteten avhenger av G(s)H(s), som er delen av ligningen som kan endre seg. Så, du kan forstå at Bodeplottet, Nyquistplottet tegnes med hjelp av G(s)H(s), men de indikerer stabiliteten av $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) kalles en åpen sløyfe overføringsfunksjon, og $\frac{C(s)}{R(s)}$ kalles en lukket sløyfe overføringsfunksjon. Ved analyse av den åpne sløyfen overføringsfunksjonen, det vil si G(s)H(s), kan vi finne stabiliteten til en lukket sløyfe overføringsfunksjon gjennom Bode- og Nyquist-diagram.

Eksempler på stabiltilstand-feil

Stabiltilstand-feil for enhetstrinn-inngangssignal

Nå vil vi forklare stabiltilstand-feil i et lukket sløyfe kontrollsystem med noen numeriske eksempler. Vi starter med et kontrollsystem med enhetstrinn-inngangssignal.

Eksempel-1:

Betragt følgende kontrollsystem (system-1) som vist i figur-3:

Referanseinngang 'Rs' er et enhetstrinn-inngangssignal.

Forskjellige stabiltilstand-verdier for system-1 er vist i figur-4.

Steady State Value Block Diagram — Figur-4: Ulke Steady State-verdier i et kontrollsystem

Det kan sees at stasjonærverdien til feilsignalet er 0,5, dermed er stasjonærfekten 0,5. Hvis systemet er stabilt og ulike signaler er konstante, kan ulike stasjonære verdier oppnås som følger:

I overføringsfunksjonen når $s\rightarrow 0$ , vil du få stasjonærforsterkningen til overføringsfunksjonen.

Du kan beregne utgangen som følger:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Ved å huske at $R(s)$ = enhetssteginngang = $\frac{1}{s}$ , kan vi omorganisere dette til:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stasjonære verdien av utgangen er:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Vi kan bruke metoden over for å beregne stasjonære verdiene til ethvert signal. For eksempel:

Inngangen er $R(s)= \frac{1}{s}$ (inngang er enhetstrinn)

Dens stasjonære verdi= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

På samme måte kan feilsignalet regnes ut som:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stasjonære verdi av feilsignalet (dvs. stasjonær feil) er:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Det kan også sees fra figur 4 at forskjellen mellom inngang og utgang er 0,5. Dermed er den stasjonære feilen 0,5.

En annen metode for å beregne stasjonær feil innebærer å finne feilkonstantene, som følger:

Beregn posisjonsfeilkoeffisienten Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , du vil finne at Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Du vil finne samme svar.

Hvis inngangen er en trinninngang, si $R(s)=\frac{3}{s}$ (det er en trinninngang, men ikke en enhetstrinninngang), da er den stasjonære feilen ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Hvis inngangen er en enhetsrampinngang, beregn da hastighetsfeilkoeffisienten Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Hvis inngangen er en enhetsparabel, beregn da akselerasjonsfeilkoeffisienten Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Ved å analysere feilkonstantene Kp, Kv og Ka, kan du forstå hvordan den stasjonære feilen avhenger av inngangen.

PI-kontroller og stasjonær feil

En PI-kontroller (dvs. en proporsjonal kontroller plus integralkontroller) reduserer den stasjonære feilen (ess), men har en negativ effekt på stabiliteten.

PI-kontrollere har fordelen med å redusere den stasjonære feilen i et system, mens de samtidig har ulempe med å redusere systemets stabilitet.

En PI-kontroller reduserer stabiliteten. Dette betyr at dempingen minker; toppoverskyting og stabiliserings tid øker på grunn av PI-kontroller; Røtter av karakteristiske ligninger (poler i lukket sløyfe overføringsfunksjon) på venstre side vil komme nærmere imaginæraksen. Systemets orden øker også på grunn av PI-kontroller, noe som tendensmessig reduserer stabiliteten.

Betrakt to karakteristiske ligninger, den ene er s3+ s2+ 3s+20=0, den andre er s2+3s+20=0. Bare ved observasjon kan vi si at systemet relatert til den første ligningen har lavere stabilitet sammenlignet med den andre ligningen. Du kan verifisere dette ved å finne røttene til ligningen. Så, du kan forstå at høyere ordens karakteristiske ligninger har lavere stabilitet.

Nå skal vi legge til en PI-kontroller (Proporsjonal pluss Integral kontroller) i system-1 (Figur-3) og undersøke resultatene. Etter å ha satt inn PI-kontroller i system-1, vises ulike stasjonære verdier i figur-5. Det kan sees at utgangen er nøyaktig lik referanseinngangen. Det er en fordel med PI-kontroller, at den minimerer den stasjonære feilen slik at utgangen prøver å følge referanseinngangen.

PI Controller Block Diagram — Figur-5: Effekten av PI-kontroller kan sees i dette diagrammet

Overføringsfunksjonen for PI-kontroller kan beregnes som $Kp+\frac{Ki}{s}$ eller $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Et spørsmål kan stilles om hvis inngangen til en overføringsfunksjon er null, så burde utgangen være null. Så, i det nåværende tilfellet er inngangen til PI-kontrolleren null, men utgangen av PI-kontrolleren er en endelig verdi (dvs. 1). Denne forklaringen gis ikke i noen kontrollsystembøker, derfor vil vi forklare det her:

(1) Stabiltilstandfeilen er ikke nøyaktig null, den nærmer seg null, på samme måte som 's' ikke er lik null, den nærmer seg null. La oss si at stabiltilstandfeilen ved et bestemt tidspunkt er 2x10-3, og samtidig er 's' (spesielt snakker vi om 's' i nevneren av PI-kontroller) også lik 2x10-3, dermed er utgangen av PI-kontrolleren '1'.

La oss betrakte et annet kontrollsystem vist i figur-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Figur-6: Et eksempel på lukket sløyfe kontrollsystem med PI-kontroller

I dette tilfellet kan vi si, at ved et bestemt tidspunkt, anta at stabiltilstandfeilen er 2x10-3, og samtidig er 's' lik 4×10-3; dermed er utgangen av PI-kontrolleren '0.5'. Dette betyr at både 'ess' og 's' nærmer seg null, men forholdet mellom dem er en endelig verdi.

I reglene for styresystemer vil du aldri finne s=0 eller t=∞; du vil alltid finne
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Den andre forklaringen er at stasjonær feil er null, 's' er også null i stasjonær tilstand. Overføringsfunksjonen for PI-regulator er $\frac{Kps+Ki}{s}$ . I matematikk-bøker vil du finne at $\frac{0}{0}$ er udefinert, så det kan være enhver endelig verdi (se figur-7).

PI Controller — Figur-7: Inngang til overføringsfunksjonen er null, men utgangen er en endelig verdi

(3) Tredje forklaringen er, $\frac{1}{s}$ er en integrator. Inngangen er null, integrasjon av null er udefinert. Så utgangen fra PI-regulatoren kan være enhver endelig verdi.

En grunnleggende forskjell mellom åpent løp styresystem & lukket løp styresystem

Med hensyn til den ovennevnte forklaringen, vil vi forklare en grunnleggende forskjell mellom et åpent løp styresystem & et lukket løp styresystem. Forskjeller mellom åpent løp styresystem & lukket løp styresystem, kan du finne i noen som helst bok om styresystemer*, men en grunnleggende forskjell som er relatert til den ovennevnte forklaringen, er gitt her, og vi håper bestemt at det vil være nyttig for leserne.

Et åpent løp styresystem kan representeres som følger:

Åpen sløyfe kontrollsystem — Figur-8: Dette er en diagram over standard åpen sløyfe kontrollsystem

Et lukket sløyfe kontrollsystem (tilbakemelding kontrollsystem) kan representeres som følger:

Overføringsfunksjonen for anlegget er fast (overføringsfunksjonen for anlegget kan endres automatisk på grunn av miljøendringer, forstyrrelser osv.). I alle våre diskusjoner har vi antatt at H(s)=1; En operator kan styre overføringsfunksjonen for regulator (dvs. parametere for regulator slik som Kp, Kd, Ki) osv.

Regulatoren kan være proporsjonal regulatoren (P-regulator), PI-regulator, PD-regulator, PID-regulator, fuzzy logikkregulator osv. Det er to mål for en regulator (i) å opprettholde stabilitet, dvs. demping skal være rundt 0,7-0,9, toppoverskyting og innstillingsperiode skal være lav (ii) stedlig tilstand feil skal være minimal (den bør være null).

Men hvis vi prøver å øke dempingen, kan den stedlige tilstandsfeilen øke. Derfor bør designet av regulatoren være slik at både (stabilitet & stedlig tilstandsfeil) skal være under kontroll. Optimalt design av regulatoren er et omfattende forskningsemne.

Det er skrevet tidligere, PI-regulator reduserer stedlig tilstandsfeil (ess) drastisk, men har negativ effekt på stabiliteten.

Nå vil vi forklare en grunnleggende forskjell mellom åpen sløyfe kontrollsystem & lukket sløyfe kontrollsystem, som er relatert til ovenstående forklaring.

Se figur-10; det er et åpent sløyfe kontrollsystem.

La input være en enhetstrinn-input. Så er den stabile tilstandens verdi for input '1'. Det kan beregnes at den stabile tilstandens verdi for output er '2'. Anta at det oppstår en endring i overføringsfunksjonen [G(s)] av anlegget på grunn av noen grunn, hva vil effekten være på input og output? Svaret er at input til anlegget ikke vil endre seg, mens output fra anlegget vil endre seg.

Nå betrakt Figurer-11 &12

Figur-12: Lukket sløyfe system, anleggsoutput er det samme, men anleggsinput endres på grunn av endring i overføringsfunksjon

Begge er lukkede sløyfe kontrollsystemer. I Figur-11, anta at det oppstår en endring i overføringsfunksjonen til anlegget på grunn av noen grunn, hva vil effekten være på input og output? I dette tilfellet vil input til anlegget endre seg, mens output fra anlegget vil forbli uendret. Output fra anlegget prøver å følge referanseinput.

Figur -12 viser de nye betingelsene, hvor anleggsparametrene er endret. Du kan se at anleggsinput er endret fra 0,5 til 0,476, mens output ikke har endret seg. I begge tilfellene er input til PI-kontrolleren null, spesifikasjonene for PI-kontrolleren er de samme, men output fra PI-kontrolleren er forskjellig.

Så du kan forstå, i et åpent sløyfe kontrollsystem endres output fra anlegget, mens i et lukket sløyfe kontrollsystem endres input til anlegget.

I bøker om kontrollsystemer kan du finne følgende uttalelse:

"I tilfelle variasjon i parametrene for overføringsfunksjonen i anlegget, er lukket sløyfekontrollsystem mindre sensitiv sammenlignet med åpen sløyfekontrollsystem" (dvs. variasjonen i utgangen av lukket sløyfekontrollsystem er mindre sammenlignet med åpen sløyfekontrollsystem).

Vi håper at ovenstående utsagn blir mer klart gjennom eksemplene gitt i denne artikkelen.

___________________________________________________________________

*Kjære Electrical4U-lesere, vennligst merk at formålet med denne artikkelen ikke er å reproducere emner som allerede finnes i bøker; men vårt mål er å presentere ulike komplekse emner innen kontrollteknologi på enkel språk med numeriske eksempler. Vi håper at denne artikkelen vil være hjelpsom for dere for å forstå ulike kompleksiteter knyttet til stasjonær feil og PI-kontroller.

Erklæring: Respekt for originalen, god artikler verdt deling, hvis det er krænking vennligst kontakt slett.

Gi en tips og oppmuntre forfatteren

Emner:

Kraftsystemer

Kontrollsystemer

Om eksperter

Electrical4u

China