Stacionární chyba: Co to je? (Stacionární zisk, hodnota a vzorec)

Pole: Základní elektrotechnika

China

Co je stacionární chyba

Stacionární chyba se definuje jako rozdíl mezi požadovanou hodnotou a skutečnou hodnotou výstupu systému, když čas jde k nekonečnu (tj. když odezva řídicího systému dosáhla stacionárního stavu).

Stacionární chyba je vlastnost vstupně-výstupní odezvy pro lineární systém. Obecně lze říci, že dobrý řídicí systém bude mít nízkou stacionární chybu.

Nejprve diskutujeme o stacionární chybě v přenosové funkci prvního řádu analýzou její stacionární odezvy. Uvažme následující přenosovou funkci:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Toto je jednoduchá přenosová funkce prvního řádu s ziskem rovným jedné a časovou konstantou 0,7 sekundy. Poznamenejme, že je označována jako přenosová funkce prvního řádu, protože 's' ve jmenovateli má nejvyšší mocninu '1'. Pokud by to bylo místo toho $0.7s^2 + 1$ , byla by to přenosová funkce druhého řádu.

Odezva této přenosové funkce na stacionární vstup je znázorněna na obrázku 1. Lze vidět, že v stacionárním stavu je výstup přesně stejný jako vstup. Tedy stacionární chyba je nulová.

Časová odezva prvního řádu přenosové funkce na skokový vstup. — Obrázek 1: Jedná se o časovou odezvu prvního řádu přenosové funkce na skokový vstup. Lze vidět, že chyba v ustáleném stavu je nulová

Odezva této funkce na jednotkový rampový vstup je znázorněna na Obrázku 2. Lze vidět, že v ustáleném stavu existuje rozdíl mezi vstupem a výstupem. Tedy pro jednotkový rampový vstup existuje chyba v ustáleném stavu.

Časová odezva prvního řádu přenosové funkce na rampový vstup. — Obrázek 2: Jedná se o časovou odezvu prvního řádu přenosové funkce na rampový vstup. Lze vidět, že v tomto případě existuje chyba v ustáleném stavu

V mnoha knihách o regulačních systémech najdete, že proti rampovému vstupu je chyba v ustáleném stavu prvního řádu přenosové funkce rovna časové konstantě. Z pozorování Obrázku 2 výše můžeme vidět, že toto platí. V čase t=3 sekundy je vstup 3, zatímco výstup je 2,3. Tedy chyba v ustáleném stavu je 0,7, což je rovno časové konstantě pro tuto prvního řádu přenosovou funkci.

Prosím, upravte si následující důležité tipy:

Chyba v ustáleném stavu je nejvyšší, pokud je vstup parabolický, obecně nižší pro rampový vstup a ještě nižší pro skokový vstup. Jak bylo vysvětleno výše, chyba v ustáleném stavu je nulová proti skokovému vstupu, 0,7 proti rampovému vstupu a lze zjistit, že je ∞ proti parabolickému vstupu.
Je třeba poznamenat, že chyba v ustáleném stavu závisí na vstupu, zatímco stabilita nezávisí na vstupu.

Uvažme uzavřený regulační systém s přenosovou funkcí

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Kde symboly mají svůj obvyklý význam. Stabilita systému závisí na jmenovateli tedy na '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' se nazývá charakteristická rovnice. Její kořeny ukazují stabilitu systému. Stacionární chyba závisí na R(s).

V uzavřeném regulačním systému lze chybu spočítat jako $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Stacionární chybu lze najít jako ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , kde stacionární chyba je hodnota signálu chyby ve stacionárním stavu. Z toho můžeme vidět, že stacionární chyba závisí na R(s).

Jak je uvedeno výše, stabilita závisí na jmenovateli tedy na 1 + G(s)H(s). Zde '1' je konstanta, proto stabilita závisí na G(s)H(s), což je část rovnice, která se může měnit. Můžete tedy pochopit Bodeův graf, Nyquistův graf jsou vykresleny pomocí G(s)H(s), ale ukazují stabilitu $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) se nazývá otevřená smyčka přenosové funkce a $\frac{C(s)}{R(s)}$ se nazývá uzavřená smyčka přenosové funkce. Analýzou otevřené smyčky přenosové funkce, tedy G(s)H(s), můžeme určit stabilitu uzavřené smyčky přenosové funkce pomocí Bodeho a Nyquistova grafu.

Příklady stacionárních chyb

Stacionární chyba pro jednotkový skokový vstup

Nyní vysvětlíme, co je stacionární chyba v uzavřené smyčce řídicího systému na několika numerických příkladech. Začneme s řídicím systémem s jednotkovým skokovým vstupem.

Příklad-1:

Uvažujme následující řídicí systém (systém-1) znázorněný na obrázku-3:

Closed Loop Control System — Obrázek-3: Uzavřená smyčka řídicího systému

Referenční vstup ‘Rs’ je jednotkový skokový vstup.

Různé stacionární hodnoty systému-1 jsou znázorněny na obrázku-4.

Stavová hodnota blokového diagramu — Obrázek 4: Různé stavové hodnoty v řídicím systému

Je vidět, že stavová hodnota signálu chyby je 0,5, tedy stavová chyba je 0,5. Pokud je systém stabilní a různé signály jsou konstantní, pak lze získat následující stavové hodnoty:

V přenosové funkci pro $s\rightarrow 0$ získáte stavový zisk přenosové funkce.

Výstup můžete vypočítat následovně:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Pamatujte, že $R(s)$ = jednotkový skokový vstup = $\frac{1}{s}$ , můžeme toto přepsat jako:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stačitelná hodnota výstupu je:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Můžeme použít výše uvedenou metodu k výpočtu stacionární hodnoty jakéhokoli signálu. Například:

Vstup je $R(s)= \frac{1}{s}$ (vstup je jednotkový skokový vstup)

Jeho stacionární hodnota= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Podobně lze vypočítat chybový signál jako:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stálá hodnota signálu chyby (tj. stálá chyba) je:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Dále lze vidět z obrázku 4, že rozdíl mezi vstupem a výstupem je 0,5. Tedy stálá chyba je 0,5.

Další metoda pro výpočet stálé chyby zahrnuje nalezení konstant chyb, jak následuje:

Vypočítejte koeficient pozicní chyby Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , najdete Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Zjistíte stejnou odpověď.

Pokud je vstup krokový signál, řekněme $R(s)=\frac{3}{s}$ (je to krokový signál, ale ne jednotkový krokový signál), pak stacionární chyba je ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Pokud je vstup jednotkový rampový signál, pak vypočítejte koeficient rychlostní chyby Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Pokud je vstup jednotkový parabolický, pak se vypočítá koeficient akcelerační chyby Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

S analyzou konstant chyb Kp, Kv a Ka můžete pochopit, jak závisí ustálená stavová chyba na vstupu.

Regulátor PI a ustálená stavová chyba

Regulátor PI (tj. proporcionalní regulátor plus integrační člen) snižuje ustálenou stavovou chybu (ess), ale má negativní vliv na stabilitu.

Regulátory PI mají výhodu snížení ustálené stavové chyby systému, přičemž mají nevýhodu snížení stability systému.

Regulátor PI snižuje stabilitu. To znamená, že tlumení klesá; maximální přeskočení a doba dosažení ustáleného stavu se zvětšují díky regulátoru PI; Kořeny charakteristické rovnice (póly uzavřené smyčky přenosové funkce) na levé straně se přiblíží imaginární ose. Řád systému také stoupne díky regulátoru PI, což snižuje stabilitu.

Uvažujme dvě charakteristické rovnice, jedna je s3+ s2+ 3s+20=0, druhá je s2+3s+20=0. Jen z pozorování můžeme říct, že systém spojený s první rovnicí má nižší stabilitu než systém spojený s druhou rovnicí. Můžete to ověřit nalezením kořenů rovnice. Takže můžete pochopit, že charakteristické rovnice vyššího řádu mají nižší stabilitu.

Nyní přidáme jeden regulátor PI (proporcionalní plus integrační regulátor) do systému-1 (Obrázek-3) a prozkoumáme výsledky. Po vložení regulátoru PI do systému-1 jsou různé ustálené hodnoty znázorněny na Obrázku-5. Lze vidět, že výstup je přesně roven referenčnímu vstupu. Je to výhoda regulátoru PI, že minimalizuje ustálenou stavovou chybu, takže výstup se snaží následovat referenční vstup.

PI Controller Block Diagram — Obrázek 5: Vliv PI regulátoru je zde vidět v diagramu

Přenosová funkce PI regulátoru se může vypočítat jako $Kp+\frac{Ki}{s}$ nebo $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Může se zeptat, že pokud je vstup jakékoli přenosové funkce nulový, pak by jeho výstup měl být také nulový. V tomto případě je vstup do PI regulátoru nulový, ale výstup PI regulátoru je konečná hodnota (tj. 1). Toto vysvětlení není uvedeno v žádné knize o řídicích systémech, proto ho zde vysvětlíme:

(1) Stacionární chyba není přesně nulová, blíží se k nule, podobně 's' není rovno nule, blíží se k nule. Předpokládejme, že v nějakém okamžiku stacionární chyba je 2x10-3, zároveň 's' (konkrétně mluvíme o 's' ve jmenovateli PI regulátoru) je také rovno 2x10-3, tedy výstup PI regulátoru je '1'.

Uvažme další řídicí systém znázorněný na obrázku 6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Obrázek 6: Příklad uzavřeného řídicího systému s PI regulátorem

V tomto případě můžeme říci, že v nějakém okamžiku, předpokládejme, že stacionární chyba je 2x10-3, zároveň 's' je rovno 4×10-3; tedy výstup PI regulátoru je '0.5'. To znamená, že jak 'ess' tak 's' blíží k nule, ale jejich poměr je konečnou hodnotou.

V knihách o řídicích systémech nikdy nenajdete s=0 nebo t=∞; vždy najdete
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Druhé vysvětlení je, že chyba v ustáleném stavu je nulová, 's' je také nulové v ustáleném stavu. Přenosová funkce PI regulátoru je $\frac{Kps+Ki}{s}$ . V matematických knihách najdete, že $\frac{0}{0}$ není definováno, takže může být jakoukoli konečnou hodnotou (viz obrázek 7).

PI Controller — Obrázek 7: Vstup do přenosové funkce je nulový, ale výstup je konečná hodnota

(3) Třetí vysvětlení je, že $\frac{1}{s}$ je integrátor. Vstup je nulový, integrace nuly není definována. Proto může být výstup PI regulátoru jakoukoli konečnou hodnotou.

Základní rozdíl mezi otevřeným řídicím systémem a uzavřeným řídicím systémem

Vzhledem k výše uvedenému vysvětlení vysvětlíme základní rozdíl mezi otevřeným řídicím systémem a uzavřeným řídicím systémem. Rozdíly mezi otevřeným řídicím systémem a uzavřeným řídicím systémem najdete v jakékoli knize o řídicích systémech*, ale zde je uveden základní rozdíl související s výše uvedeným vysvětlením, který doufáme, že bude užitečný pro čtenáře.

Otevřený řídicí systém lze znázornit následovně:

Otevřený systém řízení — Obrázek 8: Je to diagram standardního otevřeného systému řízení

Uzavřený systém řízení (systém s zpětnou vazbou) lze znázornit následovně:

Přenosová funkce zařízení je pevně daná (přenosová funkce zařízení se může automaticky změnit v důsledku změny prostředí, rušení atd.). V našich diskusích jsme předpokládali H(s)=1; Operátor může ovládat přenosovou funkci regulátoru (tj. parametry regulátoru, jako Kp, Kd, Ki) atd.

Regulátor může být proporcionální regulátor (P regulátor), PI regulátor, PD regulátor, PID regulátor, fuzzy logický regulátor atd. Existují dvě cíle regulátoru (i) Udržovat stabilitu, tj. tlumení by mělo být okolo 0,7-0,9, přetluk a doba vyrovnání by měla být nízká (ii) Stacionární chyba by měla být minimální (měla by být nulová).

Pokud se pokusíme zvýšit tlumení, stacionární chyba se může zvýšit. Proto by design regulátoru měl být takový, aby oba aspekty (stabilita a stacionární chyba) byly pod kontrolou. Optimalizace designu regulátoru je rozsáhlým výzkumným tématem.

Jak bylo uvedeno dříve, PI regulátor drasticky snižuje stacionární chybu (ess), ale má negativní dopad na stabilitu.

Nyní vysvětlíme základní rozdíl mezi otevřeným systémem řízení a uzavřeným systémem řízení, který souvisí s výše uvedeným vysvětlením.

Vezměte v úvahu Obrázek 10; jde o otevřený systém řízení.

Nechť vstupem je jednotkový skokový vstup. Tedy, stacionární hodnota vstupu je '1'. Lze spočítat, že stacionární hodnota výstupu je '2'. Předpokládejme, že došlo k změně přenosové funkce [G(s)] systému z jakéhokoli důvodu, jaký bude dopad na vstup a výstup? Odpověď je, že vstup do systému se nezmění, výstup systému se změní.

Nyní zvažte obrázky-11 a 12

Obrázek-12: Uzavřený systém, výstup systému je stejný, ale vstup do systému se změnil kvůli změně přenosové funkce

Oba jsou uzavřené systémy řízení. V obrázku-11, předpokládejme, že došlo k změně přenosové funkce systému z jakéhokoli důvodu, jaký bude dopad na vstup a výstup? V tomto případě se vstup do systému změní, výstup systému zůstane nezměněn. Výstup systému se snaží následovat referenční vstup.

Obrázek-12 ukazuje nové podmínky, ve kterých byly parametry systému změněny. Můžete vidět, že vstup do systému se změnil z 0,5 na 0,476, zatímco výstup nebyl změněn. V obou případech je vstup do PI regulátoru nulový, specifikace PI regulátoru jsou stejné, ale výstup PI regulátoru je různý.

Takže můžete pochopit, v otevřeném systému řízení se výstup systému změní, zatímco v uzavřeném systému řízení se vstup do systému změní.

V knihách o systémech řízení můžete najít následující tvrzení:

"V případě změny parametrů přenosové funkce zařízení je uzavřený regulační obvod méně citlivý než otevřený regulační obvod" (tj. změna výstupu uzavřeného regulačního obvodu je menší než u otevřeného regulačního obvodu).

Doufáme, že následující příklady v tomto článku pomohou tento prohlášení lépe objasnit.

___________________________________________________________________

*Vážení čtenáři Electrical4U, prosím, zaznamenejte, že cílem tohoto článku není reprodukovat témata, která jsou již dostupná v knihách; naše cíle spočívají v prezentaci různých komplexních témat řídicí techniky jednoduchým jazykem s numerickými příklady. Doufáme, že tento článek vám pomůže pochopit různé komplexity týkající se stacionární chyby a PI regulátorů.

Prohlášení: Respektujte původ, kvalitní články jsou hodné sdílení, v případě porušení autorských práv prosím kontaktujte pro smazání.

Dát spropitné a povzbudit autora

Témata:

Energetické systémy

Řídicí systémy

O odbornících

Electrical4u

China