حالت ثابت خطا: دا څه دی؟ (ثابت حالت افزایش، مقدار او فرمول)

فیلد: د اساسي برقو د خواصو

China

د موده ښه ورکولو خطا د څه شی دی

د موده ښه ورکولو خطا دا د لارې او ورته ارزښت ترمنځ د تفاوت دی چې په بیلابیلو توګه چې وخت تر لا نرسی (یعنی د کنټرول سیسټم پاسخ د موده ښه ورکولو ته رسیده).

د موده ښه ورکولو خطا د انټروپوت/اورټروپوت پاسخ د یو لینیر سیسټم ځانګړی دی. عام طور، یو لوی کنټرول سیسټم دا دی چې د موده ښه ورکولو ختا ډیر کم وي.

په اوږد، ما د موده ښه ورکولو خطا د یویم درجې ترانسفر فنکشن کې د جوړښت په منظمه کې په بڼه د د موده ښه ورکولو پاسخ په برخه کې بحث کوو. دغه ترانسفر فنکشن ولري:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

دا یو ساده یویم درجې ترانسفر فنکشن دی چې د ګین یو او د وخت ثابت ۰.۷ ثانیه لري. د 's' په نومینې کې د غواړې توان ۱ دی. که دغه د ۰.۷s^2 + 1 وي، دا دوهیم درجې ترانسفر فنکشن وي.

دا ترانسفر فنکشن په موده ښه ورکولو انټروپوت کې د پاسخ په منظمه کې د Figure-1 کې نښه شوي. دا دی چې د موده ښه ورکولو کې د اورټروپوت د لارې برابر دی. په دې توګه د موده ښه ورکولو ختا صفر دی.

شکل-۱: دا د اولویې ترنسفر فنکشن د پلټنې ورودي باندې د زمانه پاسخ ده. دا مشاهده کیدی شي چې د ثابت حالت خطا صفر دی

دا فنکشن د يوه واحد رامپ ورودي باندې پاسخ شکل-۲ کې نښل شوي دي. دا مشاهده کیدی شي چې د ثابت حالت کې د ورودي او خروجي ترمنځ د توپیر وجود لري. په دې توګه د يوه واحد رامپ ورودي باندې د ثابت حالت خطا وجود لري.

شکل-۲: دا د اولویې ترنسفر فنکشن د رامپ ورودي باندې د زمانه پاسخ ده. دا مشاهده کیدی شي چې د ثابت حالت خطا وجود لري

ورته کړئ چې د کنټرول سیسټم کتابونو کې د رامپ ورودي باندې د اولویې ترنسفر فنکشن د ثابت حالت خطا د زمانه ثابت سره مساوي دی. په شکل-۲ کې د دې موضوع مشاهده کولو سره، مونږ دا دې چې دا درست دی. په t=۳ ثانیې کې، د ورودي قیمت ۳ دی او د خروجي قیمت ۲.۳ دی. په دې توګه د ثابت حالت خطا ۰.۷ دی، چې دا د زمانه ثابت سره مساوي دی.

زه د نورو مهم ټیپونو وړاندیز کوم:

د ثابت حالت خطا د هغه ورودي باندې ډېر وي چې د ورودي د پارابولیک شکل لري، د رامپ ورودي باندې دا عموماً کمتر دی او د پلټنې ورودي باندې دا اوسمهال کمتر دی. په دې لاندې ورکړې کې، د ثابت حالت خطا د پلټنې ورودي باندې صفر دی، او د رامپ ورودي باندې ۰.۷ دی او د پارابولیک ورودي باندې دا ∞ دی.
د ثابت حالت خطا د ورودي باندې په پام کې نیولو ترمنځ، د ثبات په ورودي باندې غیر مستقیم ګټه نداره.

د یو بند شوي کنټرول سیسټم څخه د تړل او انتقال وختونه لرونکي فنکشن

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

چې د نښې د معمولي معنی لري. د سیسټم پایدارۍ د دې د پایلو یا '1+G(s)H(s)' پر مبنی ده. '1+G(s)H(s) = 0' د خصوصیتې مساوات نوميږي. دا ریښې د سیسټم پایدارۍ تشریح کوي. د ثابت حالت خطای د R(s) پر مبنی ده.

د بند شوي کنټرول سیسټم کې د خطای نښې داسې محاسبه کیږي $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ د ثابت حالت خطای داسې محاسبه کیږي ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ ، چې د ثابت حالت خطای د خطای نښې د ثابت حالت کې د قیمت ده. دا داسې دی چې د ثابت حالت خطای د R(s) پر مبنی ده.

په بالا یاد شوی ډول د پایدارۍ د دې د پایلو یا 1 + G(s)H(s) پر مبنی ده. هغه '1' د مستقیم عدد دی، په همدې توګه د پایدارۍ د G(s)H(s) پر مبنی ده، چې د مساوات د بدلې شوي بخش دی. پس، تاسې د بودې پلاتونه او د نایکویست پلاتونه تشریح کولی شئ، چې د G(s)H(s) په کارولو سره جوړ شوي دي، ولکه دا د $\frac{C(s)}{R(s)}$ پایدارۍ تشریح کوي.

د G(s)H(s) د وړاندې چلند ترسره کولو فنکشن په نوم شی او $\frac{C(s)}{R(s)}$ د بند چلند ترسره کولو فنکشن په نوم شی. د وړاندې چلند ترسره کولو فنکشن (G(s)H(s) د جوړښتوب د پوهنتون لپاره کارول کېږي او د Bode plot او Nyquist plot له مساعده سره د بند چلند ترسره کولو فنکشن د جوړښتوب په اړه پوهېدل کېږي.

د ثابت حالت غلطۍ مثالونه

د واحد پاڼې ورودي لپاره د ثابت حالت غلطۍ

هغه، د بند چلند کنټرول نظام د ثابت حالت غلطۍ په اړه څو عددی مثالونه سره وګورئ. موږ د واحد پاڼې ورودي سره پیل کوو.

مثال-1:

د دې کنټرول نظام (نظام-1) د ډول په خوا نظر وګورئ چې د شکل-3 کې دیکه شوی دی:

Closed Loop Control System — شکل-3: بند چلند کنټرول نظام

د رفرنس ورودي ‘Rs’ د واحد پاڼې ورودي دی.

نظام-1 د مختلف ثابت حالت ارزښتونه د شکل-4 کې دیکه شوي دي.

د مستقره ارزښت بلوک دیاګرام — شکل-۴: د کنټرول سیسټم په وچ ډول مختلفه مستقره ارزښتونه

دا د خطا اشارې د مستقره ارزښت ۰.۵ دی، په همدې توګه د مستقره خطا ۰.۵ دی. که د سیسټم پایدار وي او مختلفه اشارونه ثابت وي، نو مختلفه مستقره ارزښتونه په ځانګړي ډول داسې ترلاسه کېږي:

د ترانسفیر فنکشن کې $s\rightarrow 0$ ، تاسې د ترانسفیر فنکشن د مستقره میزان ترلاسه کوئ.

تاسې د څخه د پایله محاسبه کولی شئ:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

یادولو چې $R(s)$ = واحد ګام ورودی = $\frac{1}{s}$ ، مونه داسې د جوړښت کوئ:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

د پایلو د ډولو مقدار دا ده:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

ما به د دې روش کارولو سره هر بل چې د پایلو د ډولو مقدار حساب کولی شئ. مثلاً:

د ورودی مقدار $R(s)= \frac{1}{s}$ (د ورودی یو واحد لپ)

د دې پایلو د ډولو مقدار = $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = ۱.

همدا، د غلطي سیګنال د محاسبه کولو طریقه دا ده:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

د غوره شته مقدار د خطا سیګنال (يعني د غوره شته خطا):

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

په همدارازه چې د ورودي او بیرونيو ترمنځ د توپیر ۰.۵ دی. پسې د غوره شته خطا ۰.۵ دی.

د غوره شته خطا حساب کولو لپاره نورو طریقه د خطا ثابتونه پیدا کول دی، په اینده توګه:

پوزیشنې خطا کوټینېنت Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ ، دا کېږي Kp = 1، ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . دا هم یو ځواب ورکول شئ.

که د ادخال یو پلټنه وي، مثلاً $R(s)=\frac{3}{s}$ (دا یو پلټنه دی، ولی یو واحد پلټنه نه دی)، په دې صورت کې د مستقر حالتې خطا ess= $\frac{3}{1+Kp}$

که د ادخال یو واحد رامپ وي، په دې صورت کې د سرعتې خطا کوټینېنت Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ ، ess= $\frac{1}{Kv}$

که د ورودی یو واحد پارابولیک وي، په اړه حساب کړئ، د تسریعاتو غلطي کېفیسینټ Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

په غلطي کېفیسینټونو Kp, Kv او Ka جوړښتوبو سره، میتوانید چې د پایداره حالتي غلطي څخه د ورودي برابري څه ده وګورئ.

PI کنټرولر او پایداره حالتي غلطي

یو PI کنټرولر (يعني یو تناسبی کنټرولر زموږ انټګرال کنټرولر) د پایداره حالتي غلطي (ess) لرونکو کم کوي، ولکه د پایدارۍ لپاره منفي اثر لري.

PI کنټرولران د پایداره حالتي غلطي کم کولو له لارې د پایدارۍ لپاره منفي اثر لري.

یو PI کنټرولر د پایدارۍ کم کوي. دا یعنی دامپنگ کم شوي؛ پیک اوورشوت او ستل شوې موده په اړه PI کنټرولر لرونکو باندې لوړ شوي؛ د خصوصياتو معادله (د بندې ټرانسفر فنکشن پولې) د چپ ټولنه کې نږدې د تخیل محور ته نږدې راوړي. د سیسټم مرتبه هم په اړه PI کنټرولر لرونکو لوړ شوي، چې د پایدارۍ کم کولو ترند لري.

دوه خصوصياتو معادلات وګورئ، یو دا دی s3+ s2+ 3s+20=0، بل دی s2+3s+20=0. صرف د مشاهده سره، میتوانید چې د نومبر یوه معادله سره د سیسټم په اړه د پایدارۍ لوړ شوي دي د دویمه معادله سره مقایسه کړئ. میتوانید د دې د اثبات د معادله د روټونو په پام کې نیولو سره د دې د اثبات کړئ. په دې توګه، میتوانید چې د لوړه مرتبه خصوصياتو معادلات د پایدارۍ لوړ شوي دي.

اوس، میتوانیم يو PI کنټرولر (تناسبی او انټګرال کنټرولر) په سیسټم-1 (شکل-3) کې اضافه کړو او د نتیجه وګورئ. په سیسټم-1 کې PI کنټرولر اضافه کولو پسې، مختلف پایداره حالتي ارزښتونه د شکل-5 کې نښې شوي دي، دا دی چې د خروجي د دقیق طور د مرجع ورودي برابر دی. دا د PI کنټرولر د مزیت دی، چې د پایداره حالتي غلطي کم کوي ترڅو د خروجي د مرجع ورودي په پام کې نیولو تلاش کړي.

PI Controller Block Diagram — شکل-۵: اثر کنترلر PI در این دیاگرام دیده می‌شود

تابع تبدیل کنترلر PI را می‌توان به صورت $Kp+\frac{Ki}{s}$ یا $\frac{Kps+Ki}{s}.$ محاسبه کرد. سوالی که مطرح می‌شود این است که اگر ورودی هر تابع تبدیل صفر باشد، خروجی آن نیز باید صفر باشد. بنابراین، در حالت فعلی ورودی کنترلر PI صفر است، اما خروجی کنترلر PI یک مقدار محدود (یعنی ۱) است. این توضیح در هیچ کتاب کنترلی ذکر نشده است، بنابراین ما آن را در اینجا توضیح می‌دهیم:

(۱) خطای حالت پایدار دقیقاً صفر نیست، بلکه به صفر میل می‌کند. به طور مشابه 's' نیز برابر با صفر نیست، بلکه به صفر میل می‌کند. بنابراین فرض کنید در هر لحظه خطای حالت پایدار ۲×۱۰-۳ است، در همان زمان 's' (به طور خاص در مخرج کنترلر PI) نیز برابر با ۲×۱۰-۳ است، بنابراین خروجی کنترلر PI برابر با '۱' است.

فرض کنید که یک سیستم کنترل دیگری مانند شکل-۶ وجود دارد:

Closed Loop Control System with PI Controller — شکل-۶: مثالی از سیستم کنترل حلقه بسته با کنترلر PI

در این مورد، می‌توانیم بگوییم که در هر لحظه فرض کنید خطای حالت پایدار ۲×۱۰-۳ است، در همان زمان 's' برابر با ۴×۱۰-۳ است؛ بنابراین خروجی کنترلر PI برابر با '۰.۵' است. این به این معناست که هر دو 'ess' و 's' به صفر میل می‌کنند، اما نسبت آنها یک مقدار محدود است.

کنټرول سیسټم کتابونه کې دا نه ورته کېږي s=0 یا t=∞؛ همیشه په اړه خوا ته ورته کېږي
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) دویمه تشریح دا دی چې د مستقر حالت غلطي ۰ دی، ‘s’ هم د مستقر حالت کې ۰ دی. PI کنټرولر د ترانسفر فانکشن دا دی $\frac{Kps+Ki}{s}$ . ریاضي کتابونه کې ته خوا ورته کېږي چې $\frac{0}{0}$ معرفي نشوي، په اړه څو نامحدود مقدار وي (د شکل-۷ لپاره مراجعه کړئ).

PI Controller — Figure-7: د ترانسفر فانکشن بڼه ۰ دی او خروجي د یو محدود مقدار دی

(3) سهیمه تشریح دا دی چې $\frac{1}{s}$ د انټګریټر دی. بڼه ۰ دی، ۰ د انټګریشن نامحدود دی. په اړه د PI کنټرولر د خروجی د یو محدود مقدار وي.

د بازه کنټرول سیسټم او بند کنټرول سیسټم ترمنځ د یو بنیادی توپیر

د بالا تشریح له اړه، ما د بازه کنټرول سیسټم او بند کنټرول سیسټم ترمنځ د یو بنیادی توپیر تشریح کوو. د بازه کنټرول سیسټم او بند کنټرول سیسټم ترمنځ د توپیرو په هر کنټرول سیسټم کتابونو کې موندلی شي*، ولې د بالا تشریح له اړه د یو بنیادی توپیر په اړه یې دا ورته کېږي او ما خوښې دا د خوښې لپاره مفید وي.

د بازه کنټرول سیسټم په اړه دا ډول ورته کېږي:

Open Loop Control System — شکل-۸: دا د استاندارد اوپن لوپ کنټرول سیسټم د ډایګرام جوړښت دی

یو بندې کنټرول سیسټم (فیدبک کنټرول سیسټم) په اینده توګه نښل شی:

پلانټ د ترانسفر فنکشن ثابت دی (پلانټ د ترانسفر فنکشن په خودکار توګه په وړاندې مخ او د هڅوونو له لارې بدلون کیدی شي). په ټولو داسې غوره کولو کې، ما H(s)=1 دی چیرته کړی؛ یو اپراتور پلانټ د کنټرولر ترانسفر فنکشن (یعنی کنټرولر د پارامیټرونو دی کې Kp, Kd, Ki) وغواړي.

کنټرولر پروپورشنل کنټرولر (P کنټرولر)، PI کنټرولر، PD کنټرولر، PID کنټرولر، فازی منطق کنټرولر او دغه وغواړي دی. کنټرولر دوه اهداف لري (i) پایدارۍ حاصل کول، یعنی دامپینګ په اړه ۰.۷-۰.۹ وي، د پیک اوورشوت او ستل شوي موده کم وي (ii) د استیډی-استیټ ایرر کم (زه صفر وي).

که زه دامپینګ بیا زیات کړو، نو د استیډی-استیټ ایرر بیا زیات شي. په دې توګه کنټرولر جوړولو لپاره دوه (پایدارۍ او استیډی-استیټ ایرر) د کنټرول وړې وي. کنټرولر د بهرنی جوړونه یو وسیع پژوهنه موضوع دی.

دې په اړه نوښت شوې دی، PI کنټرولر د استیډی-استیټ ایرر (ess) په زیاته توګه کم کوي، که نو د پایدارۍ ته ناپایداره ښه کوي.

نوم، زه د اوپن لوپ کنټرول سیسټم او بندې کنټرول سیسټم ترمنځ د یو ګڼې پایلو تشریح کوو، چې د دې تشریح سره پرتله شوې دی.

د شکل-۱۰ په اړه فکر کړئ؛ دا یو اوپن لوپ کنټرول سیسټم دی.

پلانونه کنټرول پړاو — شکل-۱۰: د پلانونه کنټرول سیسټم

د ورودې لپاره یو واحد پاڼه ورودی ته اوسئ. پس، د ورودي پایداره مقدار ‘۱’ ده. د پایداره مقدار د بیروني څخه ‘۲’ شی. خو د پلان ټرانسفر فنکشن [G(s)] د هغه ډول چې د هر ډول ورکړې لپاره تغیرات شی، د ورودي او بیروني ته څه اثر ده؟ جواب ده چې د پلان ته ورودی تبدیل نشي، پلان د بیروني تبدیل شي.

نه د شکلونه-۱۱ او ۱۲ ته وګورئ

شکل-۱۲: بند شوي سیسټم، د پلان بیروني یو شی دی خو د پلان ورودی د ټرانسفر فنکشن تغیراتو لپاره تبدیل شوی دی

هر دوه د بند شوي کنټرول سیسټمونه دي. شکل-۱۱ کې، د پلان ټرانسفر فنکشن د هر ډول ورکړې لپاره تغیرات شی، د ورودي او بیروني ته څه اثر ده؟ دا مورد کې، د پلان ته ورودی تبدیل شي، پلان د بیروني پایداره دی. د پلان بیروني د مرجع ورودی پیروی کوي.

شکل-۱۲ نوی شرایطو ته وښاندې کوي، که چیرې د پلان پارامتر تغیرات شی. تاسې د پلان ورودی ۰.۴۷۶ ته ۰.۵ څخه تبدیل شوی وینا کېږي، خو د بیروني پایداره دی. دوو مواردونه کې د PI کنټرولر ته ورودی صفر دی، د PI کنټرولر مشخصات يو شی دی خو د PI کنټرولر بیروني مختلف دی.

پس، تاسې د ځانګړي کړئ، د پلانونه کنټرول سیسټم کې د پلان بیروني تبدیل شی دی خو د بند شوي کنټرول سیسټم کې د پلان ته ورودی تبدیل شی دی.

د کنټرول سیسټم کتابونه کې تاسې د زه د یو بل په توګه پیدا کړئ:

"د پلانت انتقال کارولو تابع د پارامیټرو ورته اوږد، بندې لوپ کنټرول سیسټم له بازه لوپ کنټرول سیسټم سره مقایسه کیدی شي که لږ حساس وي" (يعني بندې لوپ کنټرول سیسټم د خروجی ورته اوږد دی چې بازه لوپ کنټرول سیسټم).

ما وګورئ چې د دې مقالې د نمونو له طرفه د څانګه وړاندې شوي وکړي.

___________________________________________________________________

*مهرباني وکړئ د IEE-Business خوانندونو، د دې مقالې منظمه نه د کتابونو توکي موضوعاتو راوباسول؛ بلکې د ما هدف د کنټرول مهندسۍ د مختلفې پیچیده موضوعاتو په آسانه ژبه کې جوړول او د عددی نمونو له طرفه د وړاندې کولو دی. ما وګورئ چې د دې مقالې د وړاندې کولو له طرفه د پاکه حالاتو او PI کنټرولر په اړه مختلفې پیچیدگیانو په اړه د فهمولو لپاره مفید وي.

Statement: Respect the original, good articles worth sharing, if there is infringement please contact delete.

د ایوټا کول او خالق ته ځانګړی ورکړل!

موضوعات:

د ایلکټریکی سیسټمونه

د کنټرول سیسټمونه

د ماخوړو په اړه

Electrical4u

China