Napaka v stacionarnem stanju: Kaj je to? (Stacionarni pojav, vrednost & formula)

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

Kaj je stacionarni napaka

Kaj je stacionarna napaka?

Stacionarna napaka se definira kot razlika med želeno vrednostjo in dejansko vrednostjo izhoda sistema, ko gre čas proti neskončnosti (tj. ko je odziv kontrolnega sistema dosegel stacionarno stanje).

Stacionarna napaka je lastnost vhodno/izhodnega odziva za linearen sistem. V splošnem bo dober kontrolni sistem tisti, ki ima nizko stacionarno napako.

Najprej bomo razpravljali o stacionarni napaki v prenosni funkciji prvega reda z analizo njene stacionarne odzive. Oglejmo si naslednjo prenosno funkcijo:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

To je preprosta prenosna funkcija prvega reda s pojavom enakim enemu in časovnim konstanto 0,7 sekund. Opomba, da jo imenujemo prenosna funkcija prvega reda, ker ima 's' v imenovalcu najvišjo potenco '1'. Če bi bil namesto tega $0.7s^2 + 1$ , bi bila druga vrsta prenosne funkcije.

Odziv te prenosne funkcije na stacionarni vhod je prikazan na Sliki-1. Lahko se opazi, da je v stacionarnem stanju izhod točno enak vhodu. Zato je stacionarna napaka nič.

Časovna odzivnost prvega reda prenosne funkcije na skokovni vhod. — Slika-1: To je časovni odziv prvega reda prenosne funkcije na skokovni vhod. Vidimo, da je stacionarni napaka enaka nič

Odziv te funkcije na enotski naraščajoči vhod je prikazan na Sliki-2. Vidimo, da v stacionarnem stanju obstaja razlika med vhodom in izhodom. Torej za enotski naraščajoči vhod obstaja stacionarna napaka.

Časovna odzivnost prvega reda prenosne funkcije na naraščajoči vhod. — Slika-2: To je časovni odziv prvega reda prenosne funkcije na naraščajoči vhod. Vidimo, da v tem primeru obstaja stacionarna napaka

Opomba, da v mnogih knjigah o regulacijskih sistemih lahko najdete, da je stacionarna napaka prvega reda prenosne funkcije za naraščajoči vhod enaka časovnemu konstanti. Iz Slike-2 zgoraj lahko vidimo, da to drži. Ob t = 3 sekund, je vhod 3, medtem ko je izhod 2,3. Torej je stacionarna napaka 0,7, kar je enako časovni konstanti za ta prvi red prenosne funkcije.

Prosimo, upoštevajte naslednje pomembne namige:

Stacionarna napaka je najvišja, če je vhod paraboličen, običajno nižja za naraščajoči vhod in še nižja za skokovni vhod. Kot je razloženo zgoraj, je stacionarna napaka za skokovni vhod enaka nič, za naraščajoči vhod 0,7 in za parabolični vhod neskončna.
Je treba opozoriti, da stacionarna napaka odvisna je od vhoda, medtem ko stabilnost ne odvisna od vhoda.

Razmislimo o zaprtem krožnem regulacijskem sistemu z prenosno funkcijo

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Kjer imajo simboli svoje običajne pomeni. Stabilnost sistema je odvisna od imenovalca, torej '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' se imenuje karakteristična enačba. Njeni ničle kažejo na stabilnost sistema. Postojano stanje napake je odvisno od R(s).

V zaprtokrožnem regulacijskem sistemu se signal napake lahko izračuna kot $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Postojana stanja napake se lahko najde kot ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , kjer je postojana stanja napake vrednost signala napake v postojanem stanju. Iz tega lahko vidimo, da je postojana stanja napake odvisna od R(s).

Kot je omenjeno zgoraj, je stabilnost odvisna od imenovalca, torej 1 + G(s)H(s). Tukaj je '1' konstanta, zato je stabilnost odvisna od G(s)H(s), ki je del enačbe, ki se lahko spremeni. Torej lahko razumete Bodeov graf in Nyquistov graf, ki sta narisana s pomočjo G(s)H(s), toda kažejo stabilnost $\frac{C(s)}{R(s)}$ .

G(s)H(s) se imenuje odprta zanka prenosne funkcije in $\frac{C(s)}{R(s)}$ se imenuje zaprta zanka prenosne funkcije. S analizo odprte zanke prenosne funkcije, torej G(s)H(s), lahko najdemo stabilnost zaprte zanke prenosne funkcije preko Bodeovega diagrama in Nyquistovega diagrama.

Primeri stacionarnega napaka

Stacionarna napaka za enotski korak vhoda

Naslednje bomo razložili, kaj je stacionarna napaka v zaprti zanki upravljalnega sistema s pomočjo nekaj numeričnih primerov. Začnimo s sistemom z enotskim korakom vhoda.

Primer-1:

Upoštevajmo naslednji upravljalni sistem (sistem-1), prikazan na Sliki-3:

Closed Loop Control System — Slika-3: Zaprti zanki upravljalni sistem

Referenčni vhod ‘Rs’ je enotski korak vhoda.

Različne stacionarne vrednosti Sistema-1 so prikazane na Sliki-4.

Steady State Value Block Diagram — Slika 4: Različni vrednosti stanja na robu v regulacijskem sistemu

Lahko opazimo, da je stacionarna vrednost signala napake 0,5, zato je stacionarna napaka 0,5. Če je sistem stabilen in različni signali so konstantni, potem se lahko različne stacionarne vrednosti pridobijo kot sledi:

V prenosni funkciji, ko je $s\rightarrow 0$ , dobite stacionarno dobiček prenosne funkcije.

Izhod lahko izračunate na naslednji način:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Z upoštevanjem, da je $R(s)$ = enotski odziv = $\frac{1}{s}$ , lahko to preuredimo na:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stalna vrednost izhoda je:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Zgoraj opisan način lahko uporabimo za izračun stalne vrednosti katerega koli signala. Na primer:

Vhod je $R(s)= \frac{1}{s}$ (vhod je enotski stopniški vhod)

Njegova stalna vrednost = $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Podobno lahko izračunamo signal napake kot:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stalna vrednost signala napake (tj. stalna napaka) je:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Iz slike 4 je tudi videti, da je razlika med vhodom in izhodom 0,5. Torej je stalna napaka 0,5.

Druga metoda za izračun stalne napake vključuje iskanje konstant napak, kot sledi:

Izračunajte koeficient legastih napak Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , najdete Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Najdete enako odgovor.

Če je vhod korak, recimo $R(s)=\frac{3}{s}$ (to je korak, a ne enotski korak), potem je stacionarna napaka ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Če je vhod enotska rampna funkcija, izračunate koeficient hitrostnih napak Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Če je vhod enotska parabola, potem izračunajte koeficient pospeševalne napake Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Z analizo napakovih konstant Kp, Kv in Ka, lahko razumete, kako odvisna je stanjna napaka od vhoda.

PI reguluator in stanjna napaka

PI regulátor (tj. proporcionalni regulátor plus integralni regulátor) zmanjša stanjno napako (ess), vendar ima negativen učinek na stabilnost.

PI regulátorji imajo prednost, da zmanjšujejo stanjno napako sistema, hkrati pa imajo slabost, da zmanjšujejo stabilnost sistema.

PI regulátor zmanjša stabilnost. To pomeni, da se zmanjša pritiskanje; vrhunski presežek in čas postavljanja se povečata zaradi PI regulátorja; Koreni karakteristične enačbe (poli zaprtega kroga) na levi strani bodo bližje imaginarni osi. Red sistema se tudi poveča zaradi PI regulátorja, kar vodi k zmanjšanju stabilnosti.

Razmislite o dveh karakterističnih enačbah, ena je s3+ s2+ 3s+20=0, druga pa s2+3s+20=0. Samo z opazovanjem lahko rečemo, da sistem, povezan z prvo enačbo, ima manjšo stabilnost glede na drugo enačbo. To lahko preverite z iskanjem korenov enačbe. Torej, lahko razumete, da imajo višje redne karakteristične enačbe manjšo stabilnost.

Nadaljevali bomo s dodajanjem enega PI regulátorja (proporcionalnega plus integralnega regulátorja) v sistem-1 (Slika-3) in preučili rezultate. Po vstavljanju PI regulátorja v sistem-1 so različni stanjni vrednosti prikazani na Sliki-5. Lahko opazimo, da je izhod točno enak referenčnemu vhodu. To je prednost PI regulátorja, ki zmanjša stanjno napako, tako da izhod skuša slediti referenčnemu vhodu.

PI Controller Block Diagram — Slika-5: Učinek PI regulaterja je videti na tem diagramu

Prenosna funkcija PI regulaterja se lahko izračuna kot $Kp+\frac{Ki}{s}$ ali $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Eno vprašanje, ki bi ga lahko postavili, je, če je vhod katere koli prenosne funkcije enak nič, potem bi moral biti njen izhod tudi enak nič. Torej, v trenutnem primeru je vhod PI regulaterja enak nič, toda izhod PI regulaterja je končna vrednost (tj. 1). Ta razlaga ni podana v nobeni knjigi o sistemih nadzora, zato jo bomo pojasnili tukaj:

(1) Stabilni stanje napaka ni točno enaka nič, teži proti nič, podobno 's' ni enako nič, teži proti nič, zato naj bo na kakem trenutku stabilni stanje napaka 2x10-3, hkrati pa je 's' (posebej govorimo o 's' v imenovalcu PI regulaterja) tudi enak 2x10-3, zato je izhod PI regulaterja '1'.

Razmislimo še o drugem sistemu nadzora, prikazanem na Sliki-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Slika-6: Primer zaprtega zankega sistema nadzora s PI regulaterjem

V tem primeru lahko rečemo, da na kakem trenutku, recimo, je stabilni stanje napaka 2x10-3, hkrati pa je 's' enak 4×10-3; zato je izhod PI regulaterja '0.5'. To pomeni, da oba, 'ess' in 's', težita proti nič, toda njun kvocient je končna vrednost.

V knjigah o krmilnih sistemih nikoli ne najdete s=0 ali t=∞; vedno najdete
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Druga razlaga je, da je stacionarni napaka enaka nič, 's' je tudi enak nič v stacionarnem stanju. Prenosna funkcija PI krmilnika je $\frac{Kps+Ki}{s}$ . V knjigah o matematiki boste našli, da je $\frac{0}{0}$ nedoločen, zato lahko znaša poljubno končno vrednost (glej Sliko-7).

PI Controller — Slika-7: Vhod v prenosno funkcijo je enak nič, a izhod je končna vrednost

(3) Tretja razlaga je, $\frac{1}{s}$ je integrator. Vhod je enak nič, integral od nič je nedoločen. Zato lahko izhod PI krmilnika znaša poljubno končno vrednost.

Osnovna razlika med odprto zanko in zaprto zanko krmilnega sistema

V skladu z zgornjim razlaganjem bomo razložili osnovno razliko med odprtim zankam in zaprtem zankam krmilnega sistema. Razlike med odprtim zankam in zaprtem zankam krmilnega sistema lahko najdete v vsaki knjigi o krmilnih sistemih*, toda ena osnovna razlika, ki se nanaša na zgornje razlaganje, je podana tukaj in upamo, da bo uporabna za bralce.

Odprt zankam krmilni sistem lahko predstavimo kot sledi:

Odprti zankasti sistem nadzora — Slika-8: To je diagram standardnega odprtega zankastega sistema nadzora

Zaprta zankasta kontrolna naprava (sistem s povratno zanko) se lahko predstavi takole:

Zaprti zankasti sistem nadzora — Slika-9: To je diagram standardnega zaprtega zankastega sistema nadzora

Prenosna funkcija naprave je fiksna (Prenosna funkcija naprave se lahko avtomatsko spremeni zaradi sprememb v okolju, motenj itd.). V vseh naših razpravah smo predpostavili H(s)=1; Operator lahko nadzoruje prenosno funkcijo regulacijske naprave (tj. parametre regulacijske naprave, kot so Kp, Kd, Ki) itd.

Regulacijska naprava lahko vključuje proporcionalni regulator (P regulator), PI regulator, PD regulator, PID regulator, neizrazit logični regulator itd. Regulacijska naprava ima dva cilja (i) Ohranjanje stabilnosti, tj. priguševanje bi moralo biti okoli 0,7-0,9, vrhovni prekoraševanje in čas ustalitve bi morali biti nizki (ii) Stabilni stanje napaka naj bi bila minimalna (morala bi biti nič).

Če poskušamo povečati priguševanje, se lahko stabilni stanje napaka poveča. Zato mora biti dizajn regulacijske naprave tako, da sta oba (stabilnost in stabilni stanje napaka) pod nadzorom. Optimalni dizajn regulacijske naprave je široko raziskovalno področje.

Kot je bilo že omenjeno, PI regulator drastično zmanjša stabilni stanje napako (ess), vendar ima negativen učinek na stabilnost.

Nedvoumno bomo razložili eno osnovno razliko med odprtim zankastim kontrolnim sistemom in zaprtem zankastim kontrolnim sistemom, ki je povezana z zgornjo razlago.

Ogled Slike-10; to je odprt zankasti kontrolni sistem.

Naj bo vhod enotski stopničasti vhod. Torej je stacionarna vrednost vhoda '1'. Lahko se izračuna, da je stacionarna vrednost izhoda '2'. Predpostavimo, da se zaradi kakršnega koli razloga spremeni prenosna funkcija [G(s)] tovarne, kakšen bi bil učinek na vhod in izhod? Odgovor je, da se vhod v tovarno ne bo spremenil, izhod tovarne pa se bo spremenil.

Zdaj upoštevajmo slike-11 in 12

Oba sta sistema zaprte zanke. V sliki-11, predpostavimo, da se zaradi kakršnega koli razloga spremeni prenosna funkcija tovarne, kakšen bi bil učinek na vhod in izhod? V tem primeru se bo vhod v tovarno spremenil, izhod tovarne pa bo ostal nespremenjen. Izhod tovarne poskuša slediti referenčnemu vhodu.

Slika-12 prikazuje nove pogoje, pri katerih so parametri tovarne spremenjeni. Vidite, da se vhod tovarne spremeni na 0,476 iz 0,5, medtem ko izhod ni spremenjen. V obeh primerih je vhod v PI reguliralec enak nič, specifikacije PI reguliralca so enake, vendar je izhod PI reguliralca različen.

Torej lahko razumete, da se v sistemu odprte zanke izhod tovarne spremeni, medtem ko se v sistemu zaprte zanke spremeni vhod v tovarno.

V knjigah o sistemih nadzora lahko najdete naslednjo trditev:

"V primeru spremembe parametrov prenosne funkcije rastline je zaprto zanke nadzorni sistem manj občutljiv v primerjavi z odprto zanke nadzornim sistemom" (tj. variacija izhoda zaprte zanke nadzornega sistema je manjša v primerjavi z odprto zanke nadzornim sistemom).

Upamo, da bo zgornja izjava bolj jasna s primeri, podanimi v tej članku.

___________________________________________________________________

*Spoštovani bralci Electrical4U, opozorimo, da namen tega članka ni ponoviti tem, ki so že na voljo v knjigah; naš cilj pa je predstavitev različnih kompleksnih tem Inženiringa nadzora v preprostem jeziku z numeričnimi primeri. Upamo, da bo ta članek pomagal pri razumevanju različnih kompleksnosti glede postopkovnega stanja napak in PI regulirnikov.

Izjava: Spoštujte original, dobra članke so vredni deljenja, če je kršenje avtorskih pravic se obvestite z brisanjem.

Podari in ohrani avtorja!

Teme:

Sistemi za energijo

Kontrolni sistemi

O strokovnjakih

Electrical4u

China

Področje strokovnosti

Basic Electrical

Stranski članek

607