حالت پایدار خطا: این چیست؟ (کسب و کار IEE-Business، مقدار و فرمول حالت پایدار)

ميدان: Electrical Basics

China

چیست خطای حالت ماندگار

خطای حالت ماندگار به اختلاف بین مقدار مورد نظر و مقدار واقعی خروجی سیستم در زمانی که به بی‌نهایت میل می‌کند (یعنی وقتی پاسخ سیستم کنترل به حالت ماندگار رسیده است) تعریف می‌شود.

خطای حالت ماندگار یک ویژگی از پاسخ ورودی/خروجی برای یک سیستم خطی است. به طور کلی، یک سیستم کنترل خوب آن است که خطای حالت ماندگار پایینی داشته باشد.

ابتدا خطای حالت ماندگار در یک تابع انتقال مرتبه اول را با تحلیل پاسخ حالت ماندگار آن بررسی خواهیم کرد. فرض کنید تابع انتقال زیر را در نظر بگیریم:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

این یک تابع انتقال مرتبه اول ساده است که دارای ضریب برابر با یک و ثابت زمانی ۰.۷ ثانیه است. توجه داشته باشید که به عنوان یک تابع انتقال مرتبه اول شناخته می‌شود زیرا 's' در مخرج دارای بالاترین توان '۱' است. اگر به جای آن $0.7s^2 + 1$ بود، یک تابع انتقال مرتبه دوم می‌بود.

پاسخ این تابع انتقال به یک ورودی حالت ماندگار در شکل ۱ نشان داده شده است. می‌توان دید که در حالت ماندگار، خروجی دقیقاً برابر با ورودی است. بنابراین خطای حالت ماندگار صفر است.

پاسخ زمانی تابع انتقال مرتبه اول نسبت به ورودی پله. — شکل-۱: این پاسخ زمانی تابع انتقال مرتبه اول نسبت به ورودی پله است. می‌توان دید که خطای حالت متعادل صفر است

پاسخ این تابع به ورودی رمپ واحد در شکل-۲ نشان داده شده است. می‌توان دید که در حالت متعادل، تفاوتی بین ورودی و خروجی وجود دارد. بنابراین برای ورودی رمپ واحد، خطای حالت متعادل وجود دارد.

پاسخ زمانی تابع انتقال مرتبه اول نسبت به ورودی رمپ. — شکل-۲: این پاسخ زمانی تابع انتقال مرتبه اول نسبت به ورودی رمپ است. می‌توان دید که خطای حالت متعادل در این مورد وجود دارد

توجه داشته باشید که در بسیاری از کتاب‌های سیستم‌های کنترل می‌توانید ببینید که برای ورودی رمپ، خطای حالت متعادل یک تابع انتقال مرتبه اول برابر با ثابت زمانی است. با مشاهده شکل-۲ بالا، می‌توانیم ببینیم که این صحیح است. در t=۳ ثانیه، ورودی ۳ است در حالی که خروجی ۲.۳ است. بنابراین خطای حالت متعادل ۰.۷ است که برابر با ثابت زمانی برای این تابع انتقال مرتبه اول است.

لطفاً نکات مهم زیر را در نظر بگیرید:

خطای حالت متعادل در حالتی که ورودی سهموی باشد بیشترین مقدار را دارد، عموماً برای ورودی رمپ کمتر است و برای ورودی پله همچنان کمتر است. همانطور که در توضیحات بالا ذکر شد، خطای حالت متعادل برای ورودی پله صفر، برای ورودی رمپ ۰.۷ و برای ورودی سهموی ∞ است.
باید توجه داشت که خطای حالت متعادل به ورودی بستگی دارد، در حالی که پایداری به ورودی بستگی ندارد.

بیایید یک سیستم کنترل حلقه بسته با تابع انتقال را در نظر بگیریم

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

جایی که نمادها دارای معناهای معمول خود هستند. پایداری سیستم به صورت مخرج یعنی '1+G(s)H(s)' بستگی دارد. '1+G(s)H(s) = 0' معادله مشخصه نامیده می‌شود. ریشه‌های آن پایداری سیستم را نشان می‌دهند. خطای حالت ماندگار به R(s) بستگی دارد.

در یک سیستم کنترل حلقه بسته، سیگنال خطا می‌تواند به صورت زیر محاسبه شود $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ خطای حالت ماندگار می‌تواند به صورت ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ محاسبه شود، جایی که خطای حالت ماندگار مقدار سیگنال خطا در حالت ماندگار است. از اینجا می‌توانیم ببینیم که خطای حالت ماندگار به R(s) بستگی دارد.

همانطور که بالاتر ذکر شد، پایداری به صورت مخرج یعنی 1 + G(s)H(s) بستگی دارد. در اینجا '1' ثابت است، بنابراین پایداری به G(s)H(s) بستگی دارد که بخشی از معادله است که می‌تواند تغییر کند. بنابراین می‌توانید نمودار بود و نمودار نایکوئیست را با استفاده از G(s)H(s) رسم کنید، اما آنها پایداری $\frac{C(s)}{R(s)}$ را نشان می‌دهند.

G(s)H(s) به عنوان تابع انتقال حلقه باز شناخته می‌شود و $\frac{C(s)}{R(s)}$ به عنوان تابع انتقال حلقه بسته شناخته می‌شود. با تحلیل تابع انتقال حلقه باز یعنی G(s)H(s)، می‌توانیم پایداری تابع انتقال حلقه بسته را از طریق نمودار بود و نمودار نایکوئیست پیدا کنیم.

مثال‌های خطای حالت ماندگار

خطای حالت ماندگار برای ورودی پله واحد

حالا، ما خواهیم توضیح داد که خطای حالت ماندگار در سیستم کنترل حلقه بسته با چندین مثال عددی چگونه است. ما با یک سیستم کنترل با ورودی پله واحد شروع می‌کنیم.

مثال-۱:

سیستم کنترل زیر (سیستم-۱) را در شکل-۳ در نظر بگیرید:

Closed Loop Control System — شکل-۳: سیستم کنترل حلقه بسته

ورودی مرجع 'Rs' یک ورودی پله واحد است.

مقادیر مختلف حالت ماندگار سیستم-۱ در شکل-۴ نشان داده شده است.

Steady State Value Block Diagram — شکل ۴: مقادیر حالت پایدار مختلف در سیستم کنترل

می‌توان دید که مقدار حالت پایدار سیگنال خطای ۰.۵ است، بنابراین خطا حالت پایدار نیز ۰.۵ است. اگر سیستم پایدار باشد و سیگنال‌های مختلف ثابت باشند، می‌توان مقادیر حالت پایدار مختلف را به صورت زیر بدست آورد:

در تابع انتقال به عنوان $s\rightarrow 0$ ، شما می‌توانید کسب کنید ضریب حالت پایدار تابع انتقال.

می‌توانید خروجی را به صورت زیر محاسبه کنید:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

به یاد داشته باشید که $R(s)$ = ورودی پله واحد = $\frac{1}{s}$ ، می‌توانیم این را به صورت زیر مرتب کنیم:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

مقدار حالت پایدار خروجی به صورت زیر است:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

می‌توانیم از روش فوق برای محاسبه مقدار حالت پایدار هر سیگنالی استفاده کنیم. به عنوان مثال:

ورودی عبارت است از $R(s)= \frac{1}{s}$ (ورودی گام واحد)

مقدار حالت پایدار آن برابر است با $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

به طور مشابه، سیگنال خطا می‌تواند به صورت زیر محاسبه شود:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

مقدار حالت پایدار سیگنال خطا (یعنی خطا در حالت پایدار) عبارت است از:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

همچنین، از شکل ۴ می‌توان دید که تفاوت بین ورودی و خروجی ۰٫۵ است. بنابراین خطا در حالت پایدار ۰٫۵ است.

روش دیگر برای محاسبه خطا در حالت پایدار شامل یافتن ثابت‌های خطا است، به شرح زیر:

ضریب خطای موقعیتی Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ ، شما خواهید یافت Kp = ۱، ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . شما پاسخ مشابهی خواهید یافت.

اگر ورودی یک ورودی پله‌ای باشد، مثلاً $R(s)=\frac{3}{s}$ (این یک ورودی پله‌ای است اما ورودی پله‌ای واحد نیست)، آنگاه خطای حالت ماندگار ess= $\frac{3}{1+Kp}$

اگر ورودی یک ورودی رمپ واحد باشد، آنگاه محاسبه کنید، ضریب خطای سرعتی Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ ، ess= $\frac{1}{Kv}$

اگر ورودی واحد سهمی باشد، آنگاه محاسبه کنید، ضریب خطا در شتاب Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ ، ess= $\frac{1}{Ka}$ .

با تجزیه و تحلیل ثابت‌های خطا Kp، Kv و Ka می‌توانید بفهمید که چگونه خطای حالت پایدار به ورودی بستگی دارد.

کنترل‌کننده PI و خطای حالت پایدار

یک کنترل‌کننده PI (یعنی یک کنترل‌کننده تناسبی به اضافه کنترل‌کننده انتگرالی) خطای حالت پایدار (ess) را کاهش می‌دهد، اما تأثیر منفی بر پایداری دارد.

کنترل‌کننده‌های PI مزیت کاهش خطای حالت پایدار سیستم را دارند، اما معایبی نیز دارند که پایداری سیستم را کاهش می‌دهند.

یک کنترل‌کننده PI پایداری را کاهش می‌دهد. این به این معناست که دمپینگ کاهش می‌یابد؛ اوج ابراز و زمان رسیدن به حالت پایدار به دلیل کنترل‌کننده PI افزایش می‌یابد؛ ریشه‌های معادله مشخصه (قطب‌های تابع انتقال حلقه بسته) در طرف چپ به محور موهومی نزدیک‌تر می‌شوند. مرتبه سیستم نیز به دلیل کنترل‌کننده PI افزایش می‌یابد که تمایل به کاهش پایداری دارد.

دو معادله مشخصه را در نظر بگیرید، یکی s3+ s2+ 3s+20=0 و دیگری s2+3s+20=0 است. فقط با مشاهده می‌توانید بفهمید که سیستم مربوط به معادله اول پایداری کمتری نسبت به معادله دوم دارد. می‌توانید آن را با یافتن ریشه‌های معادله تأیید کنید. بنابراین، می‌توانید بفهمید که معادلات مشخصه با مرتبه بالاتر پایداری کمتری دارند.

حالا، ما یک کنترل‌کننده PI (کنترل‌کننده تناسبی به اضافه انتگرالی) به سیستم-1 (شکل-3) اضافه می‌کنیم و نتایج را بررسی می‌کنیم. پس از اضافه کردن کنترل‌کننده PI به سیستم-1، مقادیر مختلف حالت پایدار در شکل-5 نشان داده شده است. می‌توانید ببینید که خروجی دقیقاً برابر با ورودی مرجع است. این مزیت کنترل‌کننده PI است که خطای حالت پایدار را کاهش می‌دهد تا خروجی تلاش کند تا ورودی مرجع را دنبال کند.

PI Controller Block Diagram — شکل-۵: اثر کنترل‌گر PI در این نمودار مشاهده می‌شود

تابع تبدیل کنترل‌گر PI را می‌توان به صورت $Kp+\frac{Ki}{s}$ یا $\frac{Kps+Ki}{s}.$ محاسبه کرد. یک سوال پرسیده می‌شود که اگر ورودی هر تابع تبدیل صفر باشد، خروجی آن نیز باید صفر باشد. بنابراین در حالت فعلی، ورودی کنترل‌گر PI صفر است، اما خروجی کنترل‌گر PI یک مقدار محدود (یعنی ۱) است. این توضیح در هیچ کتاب کنترلی ذکر نشده است، بنابراین ما آن را در اینجا توضیح می‌دهیم:

(۱) خطای حالت مانا دقیقاً صفر نیست، بلکه به صفر میل می‌کند. به طور مشابه 's' نیز صفر نیست، بلکه به صفر میل می‌کند. بنابراین فرض کنید در هر لحظه خطای حالت مانا ۲×۱۰^-۳ است، در همان زمان 's' (به ویژه در مخرج کنترل‌گر PI) نیز ۲×۱۰^-۳ است، بنابراین خروجی کنترل‌گر PI برابر با ۱ است.

بیایید یک سیستم کنترل دیگر را که در شکل-۶ نشان داده شده است در نظر بگیریم:

Closed Loop Control System with PI Controller — شکل-۶: یک مثال از سیستم کنترل حلقه بسته با کنترل‌گر PI

در این حالت می‌توانیم بگوییم، در هر لحظه فرض کنید خطای حالت مانا ۲×۱۰^-۳ است، در همان زمان 's' برابر با ۴×۱۰^-۳ است؛ بنابراین خروجی کنترل‌گر PI برابر با ۰.۵ است. این بدان معناست که هم 'ess' و هم 's' به صفر میل می‌کنند، اما نسبت آنها یک مقدار محدود است.

در کتاب‌های سیستم کنترل هرگز s=0 یا t=∞ پیدا نخواهید کرد؛ همیشه خواهید دید
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) توضیح دوم این است که خطای حالت ماندگار صفر است، 's' نیز در حالت ماندگار صفر است. تابع انتقال کنترل‌کننده PI به صورت زیر است $\frac{Kps+Ki}{s}$ . در کتاب‌های ریاضیات، خواهید دید که $\frac{0}{0}$ تعریف نشده است، بنابراین می‌تواند هر مقدار محدودی باشد (به شکل ۷ مراجعه کنید).

PI Controller — شکل ۷: ورودی به تابع انتقال صفر است اما خروجی مقدار محدودی است

(3) توضیح سوم این است که $\frac{1}{s}$ یک انتگرال‌گیر است. ورودی صفر است، انتگرال صفر تعریف نشده است. بنابراین خروجی کنترل‌کننده PI می‌تواند هر مقدار محدودی باشد.

یک تفاوت اساسی بین سیستم کنترل باز و سیستم کنترل بسته

با توجه به توضیحات بالا، یک تفاوت اساسی بین سیستم کنترل باز و سیستم کنترل بسته را توضیح می‌دهیم. تفاوت‌های بین سیستم کنترل باز و سیستم کنترل بسته را می‌توانید در هر کتاب سیستم کنترل* پیدا کنید، اما یک تفاوت اساسی که مرتبط با توضیحات بالا است در اینجا ارائه شده و امیدواریم قطعاً برای خوانندگان مفید باشد.

یک سیستم کنترل باز می‌تواند به صورت زیر نمایش داده شود:

یک سیستم کنترل حلقه بسته (سیستم کنترل با بازخورد) می‌تواند به شرح زیر نمایش داده شود:

تابع تبدیل پلان ثابت است (تابع تبدیل پلان می‌تواند به خاطر تغییرات محیطی، اختلالات و غیره به طور خودکار تغییر کند). در تمامی بحث‌های ما فرض کرده‌ایم H(s)=1؛ یک اپراتور می‌تواند تابع تبدیل کنترل‌کننده را کنترل کند (یعنی پارامترهای کنترل‌کننده مانند Kp, Kd, Ki) و غیره.

کنترل‌کننده می‌تواند کنترل‌کننده تناسبی (P)، کنترل‌کننده PI، کنترل‌کننده PD، کنترل‌کننده PID، کنترل‌کننده منطق فازی و غیره باشد. هدف‌های کنترل‌کننده دوگانه است (۱) حفظ ثبات، یعنی دمپینگ باید حدود ۰.۷-۰.۹ باشد، افزونگی قله‌ای و زمان رسیدن به وضعیت دائمی باید کم باشد (۲) خطای وضعیت دائمی باید حداقل (باید صفر) باشد.

اما اگر سعی کنیم دمپینگ را افزایش دهیم، خطای وضعیت دائمی ممکن است افزایش یابد. بنابراین طراحی کنترل‌کننده باید چنان باشد که هر دو (ثبات و خطای وضعیت دائمی) تحت کنترل باشند. طراحی بهینه کنترل‌کننده موضوع پژوهشی گسترده‌ای است.

همانطور که قبلاً ذکر شد، کنترل‌کننده PI خطای وضعیت دائمی (ess) را به طور قابل توجهی کاهش می‌دهد، اما تأثیر منفی بر ثبات دارد.

حالا، تفاوت اساسی بین سیستم کنترل باز و سیستم کنترل حلقه بسته را که مرتبط با توضیحات بالاست توضیح می‌دهیم.

شکل-۱۰ را در نظر بگیرید؛ این یک سیستم کنترل باز است.

Open Loop Control System — شکل ۱۰: سیستم کنترل با حلقه باز

فرض کنید ورودی یک پله واحد است. بنابراین، مقدار حالت مانا ورودی برابر '۱' است. می‌توان محاسبه کرد که مقدار حالت مانا خروجی برابر '۲' است. فرض کنید تابع انتقال [G(s)] ناشی از هر دلیلی تغییر کند، چه اثری بر ورودی و خروجی خواهد داشت؟ جواب این است که ورودی به سیستم تغییر نخواهد کرد، خروجی سیستم تغییر خواهد کرد.

حال شکل‌های ۱۱ و ۱۲ را در نظر بگیرید

Closed loop system — شکل ۱۲: سیستم حلقه بسته، خروجی سیستم ثابت است اما ورودی سیستم به دلیل تغییر در تابع انتقال تغییر می‌کند

هر دو سیستم‌های کنترل با حلقه بسته هستند. در شکل ۱۱، فرض کنید تابع انتقال سیستم به دلیل هر دلیلی تغییر کند، چه اثری بر ورودی و خروجی خواهد داشت؟ در این صورت، ورودی به سیستم تغییر خواهد کرد، خروجی سیستم تغییر نخواهد کرد. خروجی سیستم تلاش می‌کند تا ورودی مرجع را دنبال کند.

شکل ۱۲ شرایط جدید را نشان می‌دهد که در آن پارامترهای سیستم تغییر کرده‌اند. می‌توانید ببینید که ورودی سیستم از ۰.۵ به ۰.۴۷۶ تغییر کرده است، در حالی که خروجی تغییر نکرده است. در هر دو مورد، ورودی به کنترل‌کننده PI صفر است، مشخصات کنترل‌کننده PI یکسان است اما خروجی کنترل‌کننده PI متفاوت است.

بنابراین، می‌توان درک کرد که در سیستم کنترل با حلقه باز، خروجی سیستم تغییر می‌کند، در حالی که در سیستم کنترل با حلقه بسته، ورودی به سیستم تغییر می‌کند.

در کتاب‌های سیستم‌های کنترل، می‌توانید عبارت زیر را پیدا کنید:

در صورت تغییر پارامترهای تابع انتقال سیستم، سیستم کنترل حلقه بسته نسبت به سیستم کنترل حلقه باز کمتر حساس است (یعنی تغییر در خروجی سیستم کنترل حلقه بسته نسبت به سیستم کنترل حلقه باز کمتر است).

امیدواریم که این بیان با مثال‌های ارائه شده در این مقاله بیشتر روشن شود.

___________________________________________________________________

*کرامت دارندگان Electrical4U، لطفاً توجه داشته باشید که هدف این مقاله تکرار موضوعات موجود در کتاب‌ها نیست؛ بلکه هدف ما ارائه موضوعات پیچیده مهندسی کنترل با زبان ساده و با مثال‌های عددی است. امیدواریم این مقاله برای درک پیچیدگی‌های مختلف در مورد خطای حالت پایدار و کنترل‌کننده‌های PI مفید باشد.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوب ارزش به اشتراک گذاری دارد، در صورت نقض حق کپی‌رایت لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.

نوروغ و مصنف ته هڅودئ!

موضوعات:

سیستم‌های برق

دستگاه‌های کنترل

دربارې متخصصان

Electrical4u

China