Erro de Estado Estacionario: Que é? (Ganancia en Estado Estacionario Valor & Fórmula)

Campo: Electrónica Básica

China

Que é o erro de estado estacionario

O erro de estado estacionario define-se como a diferenza entre o valor desexado e o valor real da saída do sistema no límite cando o tempo tende ao infinito (é dicir, cando a resposta do sistema de control alcanza o estado estacionario).

O erro de estado estacionario é unha propiedade da resposta de entrada/saída para un sistema linear. En xeral, un bo sistema de control será aquele que teña un baixo erro de estado estacionario.

Primeiro, discutiremos o erro de estado estacionario nunha función de transferencia de primeiro orde analizando a súa resposta de estado estacionario. Consideremos a función de transferencia a seguir:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Esta é unha simple función de transferencia de primeiro orde, con unha ganancia igual a unha e unha constante de tempo de 0.7 segundos. Nótese que se chama función de transferencia de primeiro orde porque o 's' no denominador ten a maior potencia de '1'. Se en cambio fose $0.7s^2 + 1$ , sería unha función de transferencia de segundo orde.

A resposta desta función de transferencia a unha entrada de estado estacionario móstrase na Figura-1. Pódese ver que no estado estacionario, a saída é exactamente igual á entrada. Polo tanto, o erro de estado estacionario é cero.

Respuesta temporal da función de transferencia de primeiro orde ante unha entrada de paso. — Figura-1: É a resposta temporal da función de transferencia de primeiro orde ante unha entrada de paso. Pódese ver que o erro en estado estacionario é cero

A resposta desta función a unha entrada de rampa está mostrada na Figura-2. Pódese ver que no estado estacionario hai unha diferenza entre a entrada e a saída. Polo tanto, para unha entrada de rampa, existe un erro en estado estacionario.

Respuesta temporal da función de transferencia de primeiro orde ante unha entrada de rampa. — Figura-2: É a resposta temporal da función de transferencia de primeiro orde ante unha entrada de rampa. Pódese ver que existe un erro en estado estacionario neste caso

Notar que en moitos libros de sistemas de control pódese atopar que contra unha entrada de rampa, o erro en estado estacionario dunha función de transferencia de primeiro orde é igual á constante de tempo. Observando a Figura-2 superior, pódese ver que isto é verdade. A t=3 segundos, a entrada é 3 mentres que a saída é 2.3. Polo tanto, o erro en estado estacionario é 0.7, que é igual á constante de tempo para esta función de transferencia de primeiro orde.

Por favor, notar as seguintes indicacións importantes:

O erro en estado estacionario é o máis alto se a entrada é parabólica, xeralmente é menor para unha entrada de rampa, e é aínda menor para unha entrada de paso. Como na explicación anterior, o erro en estado estacionario é cero contra unha entrada de paso, e 0.7 contra unha entrada de rampa, e pódese atopar que é ∞ contra unha entrada parabólica.
Debe notarse que o erro en estado estacionario depende da entrada, mentres que a estabilidade non depende da entrada.

Consideremos un sistema de control en bucle cerrado cunha función de transferencia

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Onde os símbolos teñen o seu significado habitual. A estabilidade do sistema depende do denominador, é dicir, '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' chámase ecuación característica. As súas raíces indican a estabilidade do sistema. O erro en estado estable depende de R(s).

Nun sistema de control en bucle cerrado, o sinal de erro pode calcularse como $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ O erro en estado estable pódese atopar como ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , onde o erro en estado estable é o valor do sinal de erro no estado estable. Disto podemos ver que o erro en estado estable depende de R(s).

Como se mencionou anteriormente, a estabilidade depende do denominador, é dicir, 1 + G(s)H(s). Aquí '1' é constante, polo que a estabilidade depende de G(s)H(s), que é a parte da ecuación que pode cambiar. Así, podes entender o gráfico de Bode, o gráfico de Nyquist trázase coa axuda de G(s)H(s), pero indican a estabilidade de $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) denomínase función de transmisión en bucle aberto e $\frac{C(s)}{R(s)}$ denomínase función de transmisión en bucle pechado. A través da análise da función de transmisión en bucle aberto, isto é, G(s)H(s), podemos atopar a estabilidade dunha función de transmisión en bucle pechado mediante o diagrama de Bode e o diagrama de Nyquist.

Exemplos de erro en estado estable

Erro en estado estable para unha entrada de paso unitario

Agora, explicaremos o erro en estado estable nun sistema de control en bucle pechado con algúns exemplos numéricos. Comezaremos cun sistema de control cunha entrada de paso unitario.

Exemplo-1:

Consideremos o seguinte sistema de control (sistema-1) como se mostra na Figura-3:

Figura-3: Sistema de Control en Bucle Pechado

A entrada de referencia ‘Rs’ é unha entrada de paso unitario.

Os diferentes valores en estado estable do Sistema-1 amóstranse na Figura-4.

Diagrama de bloques do valor estacionario — Figura-4: Varios valores estacionarios nun sistema de control

Pódese observar que o valor estacionario da sinal de erro é 0,5, polo que o erro estacionario é 0,5. Se o sistema é estable e as varias sinais son constantes, entón pódense obter varios valores estacionarios como segue:

Na función de transferencia como $s\rightarrow 0$ , obtéñese o ganancia estacionaria da función de transferencia.

Pode calcularse a saída do seguinte xeito:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Recordando que $R(s)$ = entrada de paso unitario = $\frac{1}{s}$ , podemos reordenar isto como:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

O valor estacionario da saída é:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Pódese usar o método anterior para calcular o valor estacionario de calquera sinal. Por exemplo:

A entrada é $R(s)= \frac{1}{s}$ (A entrada é unha entrada de paso unitario)

O seu valor estacionario= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

De forma semellante, o sinal de erro pódese calcular como:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

O valor estacionario do sinal de erro (ou sexa, o erro estacionario) é:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Ademais, pódese ver na Figura-4 que a diferenza entre a entrada e a saída é 0,5. Polo tanto, o erro estacionario é 0,5.

Outro método para calcular o erro estacionario implica atopar as constantes de erro, como segue:

Calcular o coeficiente de erro posicional Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , atoparás Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Encontrarás a mesma resposta.

Se a entrada é unha entrada de paso, digamos $R(s)=\frac{3}{s}$ (é unha entrada de paso, pero non unha entrada de paso unitario), entón o erro estacionario é ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Se a entrada é unha entrada de rampa unitaria, entón calcular, o coeficiente de erro de velocidade Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Se o entrada é unha entrada parabólica unitaria, entón calcúlese, o coeficiente de erro de aceleración Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Coa análise das constantes de erro Kp, Kv e Ka, pódese entender como o erro estacionario depende da entrada.

Controlador PI e Erro Estacionario

Un controlador PI (é dicir, un controlador proporcional máis controlador integral) reduci o erro estacionario (ess), pero ten un efecto negativo na estabilidade.

Os controladores PI teñen a vantaxe de reducir o erro estacionario dun sistema, mentres que teñen a desvantaxe de reducir a estabilidade do sistema.

Un controlador PI reduce a estabilidade. Isto significa que a amortización disminúe; o sobrepico e o tempo de asentamento aumentan debido ao controlador PI; As raíces da ecuación característica (polos da función de transferencia en bucle cerrado) no lado esquerdo se acercarán ao eixo imaxinario. O orde do sistema tamén aumenta debido ao controlador PI, o que tende a reducir a estabilidade.

Consideremos dúas ecuacións características, unha é s3+ s2+ 3s+20=0, outra é s2+3s+20=0. A simple vista, podemos dirlles que o sistema relacionado coa primeira ecuación ten menor estabilidade en comparación coa segunda ecuación. Podes verificarlo atopando as raíces da ecuación. Así, podes entender que as ecuacións características de orde superior teñen menor estabilidade.

Agora, engadiremos un controlador PI (Proporcional Máis Integral) no sistema-1 (Figura-3) e examinaremos os resultados. Despois de inserir o controlador PI no sistema-1, varios valores estacionarios aparecen na Figura-5, pode verse que a saída é exactamente igual á entrada de referencia. É a vantaxe do controlador PI, que minimiza o erro estacionario para que a saída intente seguir a entrada de referencia.

Diagrama de bloques do controlador PI — Figura-5: Pódese ver o efecto do controlador PI neste diagrama

A función de transferencia do controlador PI pódese calcular como $Kp+\frac{Ki}{s}$ ou $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Unha pregunta que se pode facer é: se a entrada de calquera función de transferencia é cero, entón a súa saída debería ser cero. Polo tanto, no caso actual, a entrada ao controlador PI é cero, pero a saída do controlador PI é un valor finito (é dicir, 1). Esta explicación non se dá en ningún libro de sistemas de control, polo que a explicaremos aquí:

(1) O erro estacionario non é exactamente cero, tende a cero, asimismo 's' non é igual a cero, tende a cero. Así, supoñamos que en calquera momento o erro estacionario é 2x10-3, ao mesmo tempo 's' (particularmente estamos a falar de 's' no denominador do controlador PI) tamén é igual a 2x10-3, polo que a saída do controlador PI é '1'.

Consideremos outro sistema de control mostrado na Figura-6:

Sistema de control en bucle pechado con controlador PI — Figura-6: Un exemplo de sistema de control en bucle pechado con controlador PI

Neste caso, podemos dicir que, en calquera momento, supoñamos que o erro estacionario é 2x10-3, ao mesmo tempo 's' é igual a 4×10-3; polo que a saída do controlador PI é '0.5'. Isto significa que tanto 'ess' como 's' tenden a cero, pero a súa razón é un valor finito.

Nos libros de sistemas de control nunca atoparás s=0 ou t=∞; sempre atoparás
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) A segunda explicación é que o erro en estado estacionario é cero, ‘s’ tamén é cero no estado estacionario. A función de transferencia do controlador PI é $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Nos libros de matemáticas, atoparás que $\frac{0}{0}$ está indefinido, polo que pode ser calquera valor finito (ver Figura-7).

PI Controller — Figura-7: A entrada na función de transferencia é cero pero a saída é un valor finito

(3) A terceira explicación é, $\frac{1}{s}$ é un integrador. A entrada é cero, a integración de cero está indefinida. Polo tanto, a saída do controlador PI pode ser calquera valor finito.

Unha diferenza básica entre os sistemas de control en bucle aberto e en bucle pechado

En referencia á explicación anterior, explicaremos unha diferenza básica entre un sistema de control en bucle aberto e un sistema de control en bucle pechado. As diferenzas entre os sistemas de control en bucle aberto e en bucle pechado, pódese atopar en calquera libro de sistemas de control*, pero unha diferenza básica relacionada coa explicación anterior dáse aquí e esperamos certamente que sexa útil para os lectores.

Un sistema de control en bucle aberto pode representarse como segue:

Un sistema de control en bucle pechado (sistema de control con retroalimentación) pode representarse do seguinte xeito:

A función de transferencia da planta está fixa (a función de transferencia da planta pode cambiar automaticamente debido a cambios ambientais, perturbacións, etc.). En todas as nosas discusións, asumimos H(s)=1; Un operador pode controlar a función de transferencia do controlador (é dicir, os parámetros do controlador como Kp, Kd, Ki) etc.

O controlador pode ser un controlador proporcional (controlador P), controlador PI, controlador PD, controlador PID, controlador lóxico difuso, etc. Hai dous obxectivos dun controlador (i) Mantener a estabilidade, é dicir, o amortiguamento debe estar arredor de 0,7-0,9, o sobrepaso máximo e o tempo de asentamento deben ser baixos (ii) O erro de estado estable debe ser mínimo (debería ser cero).

Pero se intentamos aumentar o amortiguamento, o erro de estado estable pode aumentar. Polo tanto, o deseño do controlador debe ser tal que ambos (estabilidade e erro de estado estable) estean baixo control. O deseño óptimo do controlador é un tema de investigación extenso.

Como se indicou anteriormente, o controlador PI reduce drasticamente o erro de estado estable (ess), pero ten un efecto negativo na estabilidade.

Agora, explicaremos unha diferenza básica entre o sistema de control en bucle aberto e o sistema de control en bucle pechado, que está relacionada coa explicación anterior.

Considera a Figura-10; é un sistema de control en bucle aberto.

Supoñamos que a entrada é unha entrada de paso unitario. Polo tanto, o valor estacionario da entrada é '1'. Pódese calcular que o valor estacionario da saída é '2'. Supoñamos que hai un cambio na función de transferencia [G(s)] da planta por calquera motivo, ¿cal será o efecto na entrada e na saída? A resposta é que a entrada á planta non cambiará, a saída da planta cambiará.

Agora consideremos as Figuras-11 &12

Figura-12: Sistema en bucle pechado, a saída da planta é a mesma pero a entrada da planta cambia debido ao cambio na función de transferencia

Ambos son sistemas de control en bucle pechado. Na Figura-11, supoñamos que hai un cambio na función de transferencia da planta por calquera motivo, ¿cal será o efecto na entrada e na saída? Neste caso, a entrada á planta cambiará, a saída da planta permanecerá inalterada. A saída da planta intenta seguir a entrada de referencia.

A Figura-12 mostra as novas condicións, nas que os parámetros da planta cambiaron. Pódese ver que a entrada da planta cambió de 0,5 a 0,476, mentres que a saída non cambió. En ambos os casos, a entrada ao controlador PI é cero, as especificacións do controlador PI son as mesmas, pero a saída do controlador PI é diferente.

Polo tanto, pódese entender que no sistema de control en bucle aberto, a saída da planta cambia, mentres que no sistema de control en bucle pechado, a entrada á planta cambia.

Nas libros de sistemas de control, pódese atopar a seguinte afirmación:

"No caso de variación dos parámetros da función de transferencia da planta, o sistema de control en bucle pechado é menos sensible comparado co sistema de control en bucle aberto" (é dicir, a variación na saída do sistema de control en bucle pechado é menor comparada co sistema de control en bucle aberto).

Esperamos que a afirmación anterior sexa máis clara cos exemplos dados neste artigo.

___________________________________________________________________

*Estimados lectores de IEE-Business, por favor, notade que o obxectivo deste artigo non é reproducir os temas xa dispoñibles nos libros; pero o noso obxectivo é presentar varios temas complexos da Enxeñaría de Control en linguaxe simple con exemplos numéricos. Esperamos que este artigo sexa útil para entender varias complexidades sobre o erro de estado estable e os controladores PI.

Declaración: Respete o original, artigos bons mérito ser compartidos, se hai infracción por favor contacte para eliminar.

Dá unha propina e anima ao autor

Temas:

Sistemas de enerxía

Sistemas de control

Sobre os expertos

Electrical4u

China

Área de especialización

Basic Electrical

Artigo profesional

607