Kesalahan Keadaan Stabil: Apa Itu? (Gain Keadaan Stabil, Nilai & Formula)

Bidang: Listrik Dasar

China

Apa Itu Kesalahan Kondisi Stabil

Kesalahan kondisi stabil didefinisikan sebagai perbedaan antara nilai yang diinginkan dan nilai aktual dari output sistem dalam batas waktu menuju tak terhingga (yaitu, ketika respons dari sistem kontrol telah mencapai kondisi stabil).

Kesalahan kondisi stabil adalah sifat dari respons input/output untuk sistem linear. Secara umum, sistem kontrol yang baik akan memiliki kesalahan kondisi stabil yang rendah.

Pertama, kita akan membahas kesalahan kondisi stabil dalam fungsi transfer orde pertama dengan menganalisis respons kondisi stabilnya. Mari kita pertimbangkan fungsi transfer berikut:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Ini adalah fungsi transfer orde pertama yang sederhana, memiliki gain sebesar satu dan konstanta waktu sebesar 0.7 detik. Perlu diketahui bahwa disebut fungsi transfer orde pertama karena 's' pada penyebut memiliki pangkat tertinggi '1'. Jika bukan itu, melainkan $0.7s^2 + 1$ , maka akan menjadi fungsi transfer orde kedua.

Respons dari fungsi transfer ini terhadap input kondisi stabil ditunjukkan pada Gambar-1. Dapat dilihat bahwa dalam kondisi stabil, output persis sama dengan input. Oleh karena itu, kesalahan kondisi stabil adalah nol.

Tanggapan waktu dari Fungsi Transfer Orde Pertama terhadap Input Step. — Gambar-1: Ini adalah tanggapan waktu dari Fungsi Transfer Orde Pertama terhadap Input Step. Dapat dilihat bahwa kesalahan keadaan tunak adalah nol

Tanggapan fungsi ini terhadap input ramp satuan ditunjukkan dalam Gambar-2. Dapat dilihat bahwa pada keadaan tunak terdapat perbedaan antara input dan output. Oleh karena itu, untuk input ramp satuan, ada kesalahan keadaan tunak.

Tanggapan waktu dari Fungsi Transfer Orde Pertama terhadap Input Ramp. — Gambar-2: Ini adalah tanggapan waktu dari Fungsi Transfer Orde Pertama terhadap Input Ramp. Dapat dilihat bahwa kesalahan keadaan tunak ada dalam kasus ini

Perlu dicatat bahwa di banyak buku sistem kendali, Anda dapat menemukan bahwa terhadap input ramp, kesalahan keadaan tunak dari fungsi transfer orde pertama sama dengan konstanta waktu. Dari pengamatan Gambar-2 di atas, kita dapat melihat bahwa ini benar. Pada t=3 detik, inputnya adalah 3 sementara outputnya adalah 2.3. Oleh karena itu, kesalahan keadaan tunak adalah 0.7, yang sama dengan konstanta waktu untuk fungsi transfer orde pertama ini.

Harap perhatikan tips penting berikut:

Kesalahan keadaan tunak tertinggi jika inputnya parabolik, umumnya lebih rendah untuk input ramp, dan bahkan lebih rendah untuk input step. Seperti penjelasan di atas, kesalahan keadaan tunak adalah nol terhadap input step, dan 0.7 terhadap input ramp dan dapat ditemukan bahwa itu adalah ∞ terhadap input parabolik.
Perlu dicatat bahwa kesalahan keadaan tunak bergantung pada input, sementara stabilitas tidak bergantung pada input.

Mari kita pertimbangkan sistem kontrol loop tertutup dengan fungsi transfer

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Di mana simbol memiliki makna biasanya. Stabilitas sistem tergantung pada penyebut yaitu '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' disebut persamaan karakteristik. Akar-akarnya menunjukkan stabilitas sistem. Kesalahan steady-state bergantung pada R(s).

Dalam sistem kontrol loop tertutup, sinyal kesalahan dapat dihitung sebagai $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Kesalahan steady-state dapat ditemukan sebagai ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , di mana kesalahan steady-state adalah nilai sinyal kesalahan dalam kondisi steady-state. Dari ini kita dapat melihat bahwa kesalahan steady-state bergantung pada R(s).

Seperti disebutkan di atas, stabilitas tergantung pada penyebut yaitu 1 + G(s)H(s). Di sini ‘1’ adalah konstan, sehingga stabilitas tergantung pada G(s)H(s), yang merupakan bagian dari persamaan yang dapat berubah. Jadi, Anda dapat memahami plot Bode, plot Nyquist digambar dengan bantuan G(s)H(s), tetapi mereka menunjukkan stabilitas dari $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) disebut fungsi transfer loop terbuka dan $\frac{C(s)}{R(s)}$ disebut fungsi transfer loop tertutup. Dengan menganalisis fungsi transfer loop terbuka yaitu G(s)H(s), kita dapat menemukan stabilitas dari fungsi transfer loop tertutup melalui plot Bode & Nyquist.

Contoh Kesalahan Keadaan Tetap

Kesalahan Keadaan Tetap untuk Masukan Langkah Satuan

Sekarang, kami akan menjelaskan, kesalahan keadaan tetap dalam sistem kontrol loop tertutup dengan beberapa contoh numerik. Kami akan mulai dengan sistem kontrol dengan masukan langkah satuan.

Contoh-1:

Pertimbangkan sistem kontrol berikut (sistem-1) seperti yang ditunjukkan pada Gambar-3:

Closed Loop Control System — Gambar-3: Sistem Kontrol Loop Tertutup

Masukan referensi ‘Rs’ adalah masukan langkah satuan.

Nilai-nilai keadaan tetap dari Sistem-1 ditunjukkan pada Gambar-4.

Diagram Blok Nilai Steady State — Gambar-4: Berbagai Nilai Steady State dalam Sistem Kendali

Dapat dilihat bahwa nilai steady state dari sinyal kesalahan adalah 0.5, sehingga kesalahan steady state adalah 0.5. Jika sistem stabil dan berbagai sinyal konstan, maka berbagai nilai steady state dapat diperoleh sebagai berikut:

Dalam fungsi transfer ketika $s\rightarrow 0$ , Anda akan mendapatkan gain steady state dari fungsi transfer tersebut.

Anda dapat menghitung output sebagai berikut:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Ingatlah bahwa $R(s)$ = input step unit = $\frac{1}{s}$ , kita dapat menyusun ulang ini menjadi:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Nilai steady state dari output adalah:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Kita dapat menggunakan metode di atas untuk menghitung nilai steady state dari sinyal apapun. Misalnya:

Input adalah $R(s)= \frac{1}{s}$ (Input adalah unit step input)

Nilai steady state-nya = $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Demikian pula, sinyal kesalahan dapat dihitung sebagai:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Nilai steady state dari sinyal kesalahan (yaitu, kesalahan steady state) adalah:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Juga, dapat dilihat dari Gambar-4 bahwa perbedaan antara input dan output adalah 0,5. Oleh karena itu, kesalahan steady state adalah 0,5.

Metode lain untuk menghitung kesalahan steady state melibatkan pencarian konstanta kesalahan, sebagai berikut:

Hitung koefisien kesalahan posisi Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Anda akan menemukan Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Anda akan menemukan jawaban yang sama.

Jika input adalah input step, misalnya $R(s)=\frac{3}{s}$ (ini adalah input step, tetapi bukan input step satuan), maka kesalahan steady state adalah ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Jika input adalah input ramp satuan, maka hitung, koefisien kesalahan kecepatan Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Jika input adalah unit parabola, maka Hitung, Koefisien kesalahan akselerasi Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Dengan analisis konstanta kesalahan Kp, Kv dan Ka, Anda dapat memahami bagaimana kesalahan keadaan tunak tergantung pada input.

Kontroler PI Dan Kesalahan Keadaan Tunak

Sebuah kontroler PI (yaitu kontroler proporsional ditambah kontroler integral) mengurangi kesalahan keadaan tunak (ess), tetapi memiliki efek negatif pada stabilitas.

Kontroler PI memiliki keuntungan mengurangi kesalahan keadaan tunak sistem, sementara memiliki kerugian mengurangi stabilitas sistem.

Kontroler PI mengurangi stabilitas. Ini berarti bahwa redaman berkurang; puncak overshoot dan waktu penyelesaian meningkat karena kontroler PI; Akar persamaan karakteristik (pole fungsi transfer loop tertutup) di sisi kiri akan mendekati sumbu imajiner. Orde sistem juga meningkat karena kontroler PI, yang cenderung mengurangi stabilitas.

Pertimbangkan dua persamaan karakteristik, satu adalah s3+ s2+ 3s+20=0, yang lainnya adalah s2+3s+20=0. Hanya dengan pengamatan, kita dapat memberitahu bahwa sistem yang terkait dengan persamaan pertama memiliki stabilitas lebih rendah dibandingkan dengan persamaan kedua. Anda dapat memverifikasi ini dengan menemukan akar-akar persamaan. Jadi, Anda dapat memahami bahwa persamaan karakteristik orde lebih tinggi memiliki stabilitas lebih rendah.

Sekarang, kita akan menambahkan satu kontroler PI (Kontroler Proporsional Plus Integral) dalam sistem-1 (Gambar-3) dan memeriksa hasilnya. Setelah menyisipkan kontroler PI dalam sistem-1, berbagai nilai keadaan tunak ditunjukkan dalam Gambar-5, Dapat dilihat bahwa output sama persis dengan input referensi. Itulah keuntungan dari kontroler PI, yaitu meminimalkan kesalahan keadaan tunak sehingga output mencoba mengikuti input referensi.

PI Controller Block Diagram — Gambar-5: Efek dari PI Controller dapat dilihat dalam diagram ini

Fungsi transfer dari PI controller dapat dihitung sebagai $Kp+\frac{Ki}{s}$ atau $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Satu pertanyaan yang bisa diajukan adalah jika input dari fungsi transfer apapun adalah nol, maka outputnya juga harus nol. Jadi, dalam kasus saat ini, input ke PI controller adalah nol, tetapi output dari PI controller adalah nilai terbatas (yaitu 1). Penjelasan ini tidak diberikan dalam buku sistem kontrol manapun, oleh karena itu kami akan menjelaskannya di sini:

(1) Kesalahan steady state tidak persis nol, melainkan mendekati nol, demikian pula 's' tidak sama dengan nol, melainkan mendekati nol. Jadi, misalkan pada suatu saat kesalahan steady state adalah 2x10-3, pada saat yang sama 's' (khususnya kita berbicara tentang 's' di penyebut PI controller) juga sama dengan 2x10-3, sehingga output dari PI controller adalah '1'.

Mari kita pertimbangkan sistem kontrol lain yang ditunjukkan dalam Gambar-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Gambar-6: Contoh Sistem Kontrol Loop Tertutup dengan PI Controller

Dalam kasus ini, kita dapat mengatakan, pada suatu saat misalkan, kesalahan steady state adalah 2x10-3, pada saat yang sama 's' sama dengan 4×10-3; sehingga output dari PI controller adalah '0.5'. Ini berarti baik 'ess' maupun 's' keduanya mendekati nol, tetapi rasionya adalah nilai terbatas.

Dalam buku sistem kontrol, Anda tidak akan pernah menemukan s=0 atau t=∞; Anda selalu akan menemukan
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Penjelasan kedua adalah bahwa kesalahan steady-state adalah nol, 's' juga nol dalam steady state. Fungsi transfer kontroler PI adalah $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Dalam buku matematika, Anda akan menemukan bahwa $\frac{0}{0}$ tidak terdefinisi, jadi bisa menjadi nilai berhingga apa pun (lihat Gambar-7).

PI Controller — Gambar-7: Input ke Fungsi Transfer adalah nol tetapi output adalah nilai berhingga

(3) Penjelasan ketiga adalah, $\frac{1}{s}$ adalah integrator. Inputnya nol, integrasi dari nol tidak terdefinisi. Jadi output dari kontroler PI mungkin adalah nilai berhingga apa pun.

Perbedaan dasar antara sistem kontrol loop terbuka dan sistem kontrol loop tertutup

Berdasarkan penjelasan di atas, kami akan menjelaskan perbedaan dasar antara sistem kontrol loop terbuka dan sistem kontrol loop tertutup. Perbedaan antara sistem kontrol loop terbuka dan sistem kontrol loop tertutup dapat ditemukan di buku sistem kontrol mana pun*, tetapi satu perbedaan dasar yang berkaitan dengan penjelasan di atas diberikan di sini dan kami harap tentunya akan bermanfaat bagi pembaca.

Sistem kontrol loop terbuka dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Gambar-8: Ini adalah diagram Sistem Kendali Loop Terbuka Standar

Sistem kendali loop tertutup (sistem kendali umpan balik) dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Fungsi transfer dari plant adalah tetap (Fungsi transfer dari plant dapat berubah secara otomatis karena perubahan lingkungan, gangguan, dll.). Dalam semua diskusi kami, kami telah mengasumsikan H(s)=1; Operator dapat mengontrol fungsi transfer dari kontroler (yaitu parameter kontroler seperti Kp, Kd, Ki) dll.

Kontroler bisa berupa kontroler proporsional (kontroler P), kontroler PI, kontroler PD, kontroler PID, kontroler logika fuzzy, dll. Ada dua tujuan dari kontroler (i) Untuk mempertahankan stabilitas, yaitu redaman harus sekitar 0,7-0,9, overshoot puncak dan waktu penyelesaian harus rendah (ii) Kesalahan steady-state harus minimum (harus nol).

Namun, jika kita mencoba meningkatkan redaman, maka kesalahan steady-state mungkin akan meningkat. Oleh karena itu, desain kontroler harus sedemikian rupa sehingga kedua (stabilitas & kesalahan steady-state) harus dalam kendali. Desain optimal kontroler adalah topik penelitian yang luas.

Seperti yang ditulis sebelumnya, kontroler PI mengurangi kesalahan steady-state (ess) secara drastis, tetapi memiliki efek negatif pada stabilitas.

Sekarang, kami akan menjelaskan satu perbedaan dasar antara sistem kendali loop terbuka & sistem kendali loop tertutup, yang terkait dengan penjelasan di atas.

Pertimbangkan Gambar-10; ini adalah sistem kendali loop terbuka.

Misalkan input adalah input langkah satuan. Jadi, nilai steady-state dari input adalah '1'. Dapat dihitung bahwa nilai steady-state dari output adalah '2'. Misalkan ada perubahan dalam fungsi transfer [G(s)] dari plant karena alasan tertentu, apa efeknya pada input & output? Jawabannya adalah input ke plant tidak akan berubah, output dari plant akan berubah.

Sekarang pertimbangkan Gambar-11 &12

Sistem loop tertutup — Gambar-12: Sistem Loop Tertutup, Output plant sama tetapi input plant berubah karena perubahan Fungsi Transfer

Keduanya adalah sistem kendali loop tertutup. Pada Gambar-11, misalkan ada perubahan dalam fungsi transfer dari plant karena alasan tertentu, apa efeknya pada input & output? Dalam kasus ini, input ke plant akan berubah, output dari plant akan tetap tidak berubah. Output dari plant mencoba mengikuti input referensi.

Gambar -12 menunjukkan kondisi baru, di mana parameter plant berubah. Anda dapat melihat input plant berubah menjadi 0,476 dari 0,5, sementara output tidak berubah. Dalam kedua kasus, input ke kontroler PI adalah nol, spesifikasi kontroler PI sama tetapi output dari kontroler PI berbeda.

Jadi, Anda dapat memahami, dalam sistem kendali loop terbuka, output dari plant berubah, sementara dalam sistem kendali loop tertutup, input ke plant berubah.

Dalam buku-buku sistem kendali, Anda dapat menemukan pernyataan berikut:

"Dalam kasus variasi parameter fungsi transfer tanaman, sistem kontrol loop tertutup kurang sensitif dibandingkan dengan sistem kontrol loop terbuka" (yaitu, variasi output sistem kontrol loop tertutup lebih sedikit dibandingkan dengan sistem kontrol loop terbuka).

Kami berharap pernyataan di atas dapat lebih jelas dengan contoh yang diberikan dalam artikel ini.

___________________________________________________________________

*Para pembaca Electrical4U, harap dicatat bahwa tujuan artikel ini bukan untuk mereproduksi topik-topik yang sudah tersedia di buku-buku; tetapi tujuan kami adalah untuk menyajikan berbagai topik kompleks Teknik Kontrol dalam bahasa yang mudah dengan contoh numerik. Kami berharap artikel ini akan membantu Anda memahami berbagai kompleksitas tentang kesalahan keadaan tunak & pengontrol PI.

Pernyataan: Hormati aslinya, artikel yang bagus layak dibagikan, jika terdapat pelanggaran hak cipta silakan hubungi untuk menghapus.

Berikan Tip dan Dorong Penulis

Topik:

Sistem Tenaga Listrik

Sistem Kontrol

Tentang para ahli

Electrical4u

China