Ralat Keadaan Stabil: Apakah itu? (Peningkatan Keadaan Stabil Nilai & Formula)

Medan: Elektrik Asas

China

Apakah Ralat Keadaan Tetap

Apakah Ralat Keadaan Tetap?

Ralat keadaan tetap ditakrifkan sebagai perbezaan antara nilai yang diinginkan dan nilai sebenar keluaran sistem dalam had apabila masa mendekati infiniti (iaitu, apabila respons sistem kawalan telah mencapai keadaan tetap).

Ralat keadaan tetap adalah sifat respons input/output untuk sistem linear. Secara umumnya, sistem kawalan yang baik akan menjadi satu yang mempunyai ralat keadaan tetap yang rendah.

Pertama, kita akan membincangkan ralat keadaan tetap dalam fungsi pemindahan peringkat pertama dengan menganalisis respons keadaan tetapnya. Mari kita pertimbangkan fungsi pemindahan berikut:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Ini adalah fungsi pemindahan peringkat pertama yang mudah, mempunyai gain sama dengan satu dan pemalar masa 0.7 saat. Perhatikan bahawa ia dikenali sebagai fungsi pemindahan peringkat pertama kerana 's' dalam penyebut mempunyai kuasa tertinggi '1'. Jika sebaliknya $0.7s^2 + 1$ , ia akan menjadi fungsi pemindahan peringkat kedua.

Respons fungsi pemindahan ini terhadap input keadaan tetap ditunjukkan dalam Rajah-1. Dapat dilihat bahawa dalam keadaan tetap, output adalah tepat sama dengan input. Oleh itu, ralat keadaan tetap adalah sifar.

Tanggapan masa Fungsi Pemindahan Peringkat Pertama terhadap Input Langkah. — Gambar-1: Ini adalah tanggapan masa Fungsi Pemindahan Peringkat Pertama terhadap input langkah. Dapat dilihat bahawa ralat keadaan mantap adalah sifar

Tanggapan fungsi ini terhadap input ramp unit ditunjukkan dalam Gambar-2. Dapat dilihat bahawa dalam keadaan mantap terdapat perbezaan antara input dan output. Oleh itu, untuk input ramp unit, ralat keadaan mantap wujud.

Tanggapan masa Fungsi Pemindahan Peringkat Pertama terhadap Input Ramp. — Gambar-2: Ini adalah tanggapan masa Fungsi Pemindahan Peringkat Pertama terhadap input ramp. Dapat dilihat bahawa ralat keadaan mantap wujud dalam kes ini

Perlu diingat bahawa dalam banyak buku sistem kawalan, anda boleh menjumpai bahawa terhadap input ramp, ralat keadaan mantap fungsi pemindahan peringkat pertama adalah sama dengan pemalar masa. Dari pemerhatian Gambar-2 di atas, kita dapat melihat bahawa ini benar. Pada t=3 saat, input adalah 3 manakala output adalah 2.3. Oleh itu, ralat keadaan mantap adalah 0.7, yang sama dengan pemalar masa untuk fungsi pemindahan peringkat pertama ini.

Sila ambil perhatian pada petua penting berikut:

Ralat keadaan mantap adalah tertinggi jika input adalah parabola, biasanya lebih rendah untuk input ramp, dan lebih rendah lagi untuk input langkah. Seperti penjelasan di atas, ralat keadaan mantap adalah sifar terhadap input langkah, dan 0.7 terhadap input ramp, dan boleh didapati bahawa ia adalah ∞ terhadap input parabola.
Perlu diingat bahawa ralat keadaan mantap bergantung pada input, manakala kestabilan tidak bergantung pada input.

Mari kita pertimbangkan sistem kawalan gelung tertutup yang mempunyai fungsi pemindahan

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

Di mana simbol-simbol mempunyai makna biasa. Kestabilan sistem bergantung pada penyebut iaitu ‘1+G(s)H(s)’. ‘1+G(s)H(s) = 0’ dipanggil persamaan ciri. Punca-punca persamaan tersebut menunjukkan kestabilan sistem. Ralat keadaan mantap bergantung pada R(s).

Dalam sistem kawalan gelung tertutup, isyarat ralat boleh dikira sebagai $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Ralat keadaan mantap boleh ditemui sebagai ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , di mana ralat keadaan mantap adalah nilai isyarat ralat dalam keadaan mantap. Dari sini kita boleh lihat bahawa ralat keadaan mantap bergantung pada R(s).

Seperti yang disebutkan di atas, kestabilan bergantung pada penyebut iaitu 1 + G(s)H(s). Di sini ‘1’ adalah pemalar, oleh itu kestabilan bergantung pada G(s)H(s), yang merupakan sebahagian daripada persamaan yang boleh berubah. Jadi, anda boleh memahami plot Bode, plot Nyquist yang dilukis dengan bantuan G(s)H(s), tetapi mereka menunjukkan kestabilan $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) dipanggil fungsi pemindahan gelung terbuka dan $\frac{C(s)}{R(s)}$ dipanggil fungsi pemindahan gelung tertutup. Dengan menganalisis fungsi pemindahan gelung terbuka iaitu G(s)H(s), kita boleh mencari kestabilan fungsi pemindahan gelung tertutup melalui plot Bode & Nyquist.

Contoh Ralat Keadaan Stasioner

Ralat Keadaan Stasioner untuk Input Langkah Unit

Sekarang, kami akan menjelaskan, ralat keadaan stasioner dalam sistem kawalan gelung tertutup dengan beberapa contoh numerik. Kami akan bermula dengan sistem kawalan dengan input langkah unit.

Contoh-1:

Pertimbangkan sistem kawalan berikut (sistem-1) seperti yang ditunjukkan dalam Gambaraj-3:

Closed Loop Control System — Gambaraj-3: Sistem Kawalan Gelung Tertutup

Input rujukan ‘Rs’ adalah input langkah unit.

Nilai-nilai keadaan stasioner pelbagai bagi Sistem-1 ditunjukkan dalam Gambaraj-4.

Nilai Keadaan Tetap Diagram Blok — Gambar-4: Pelbagai Nilai Keadaan Tetap dalam Sistem Kawalan

Boleh dilihat bahawa nilai keadaan tetap isyarat ralat adalah 0.5, oleh itu ralat keadaan tetap adalah 0.5. Jika sistem stabil dan pelbagai isyarat adalah malar, maka pelbagai nilai keadaan tetap boleh diperoleh seperti berikut:

Dalam fungsi pindah sebagai $s\rightarrow 0$ , anda akan mendapatkan gain keadaan tetap fungsi pindah.

Anda boleh mengira output seperti berikut:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Ingat bahawa $R(s)$ = input langkah unit = $\frac{1}{s}$ , kita boleh susun semula ini kepada:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Nilai keadaan tetap bagi output adalah:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Kita boleh menggunakan kaedah di atas untuk mengira nilai keadaan tetap sebarang isyarat. Sebagai contoh:

Input adalah $R(s)= \frac{1}{s}$ (Input adalah input unit step)

Nilai keadaan tetapnya= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Dengan cara yang sama, isyarat ralat boleh dikira sebagai:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Nilai keadaan mantap isyarat ralat (i.e. ralat keadaan mantap) adalah:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Juga boleh dilihat dari Rajah-4 bahawa perbezaan antara input & output adalah 0.5. Oleh itu ralat keadaan mantap adalah 0.5.

Kaedah lain untuk mengira ralat keadaan mantap melibatkan pencarian pemalar ralat seperti berikut:

Kira pekali ralat kedudukan Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , Anda akan dapati Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Anda akan mendapatkan jawapan yang sama.

Jika input adalah input langkah, katakan $R(s)=\frac{3}{s}$ (ia adalah input langkah, tetapi bukan input langkah unit), maka ralat keadaan muktamad ialah ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Jika input adalah input ramp unit, maka kira, Pekali ralat halaju Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Jika input adalah input parabola unit, maka Kira, Pekali ralat pecutan Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Dengan analisis pekali ralat Kp, Kv dan Ka, anda boleh memahami bagaimana ralat keadaan tetap bergantung pada input.

Pengawal PI Dan Ralat Keadaan Tetap

Sebuah pengawal PI (iaitu sebuah pengawal berkadaran ditambah pengawal kamiran) mengurangkan ralat keadaan tetap (ess), tetapi mempunyai kesan negatif terhadap kestabilan.

Pengawal PI mempunyai kelebihan dalam mengurangkan ralat keadaan tetap sistem, manakala mempunyai kerugian dalam mengurangkan kestabilan sistem.

Pengawal PI mengurangkan kestabilan. Ini bermaksud pengeperangan menurun; puncak lebihi dan masa penyelesaian meningkat disebabkan pengawal PI; Punca persamaan ciri (polos fungsi pemindahan gelung tertutup) di sisi kiri akan lebih dekat kepada paksi khayalan. Perintah sistem juga meningkat disebabkan pengawal PI, yang cenderung mengurangkan kestabilan.

Pertimbangkan dua persamaan ciri, satu adalah s3+ s2+ 3s+20=0, yang lain adalah s2+3s+20=0. Hanya dengan pemerhatian, kita boleh memberitahu anda bahawa sistem berkaitan dengan persamaan pertama mempunyai kestabilan yang lebih rendah berbanding persamaan kedua. Anda boleh mengesahkannya dengan mencari punca persamaan tersebut. Jadi, anda boleh memahami bahawa persamaan ciri perintah yang lebih tinggi mempunyai kestabilan yang lebih rendah.

Sekarang, kami akan menambah satu pengawal PI (Pengawal Berkadaran Plus Kamiran) dalam sistem-1 (Gambaraj-3) dan memeriksa hasilnya. Selepas menyisipkan pengawal PI dalam sistem-1, pelbagai nilai keadaan tetap ditunjukkan dalam Gambaraj-5, Ia boleh dilihat bahawa output adalah sama tepat dengan input rujukan. Ini adalah kelebihan pengawal PI, yang meminimumkan ralat keadaan tetap supaya output cuba mengikuti input rujukan.

PI Controller Block Diagram — Gambar-5: Kesan Pengawal PI boleh dilihat dalam rajah ini

Fungsi pindah pengawal PI boleh dikira sebagai $Kp+\frac{Ki}{s}$ atau $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Satu soalan boleh ditanya bahawa jika input sebarang fungsi pindah adalah sifar, maka outputnya juga harus sifar. Jadi, dalam kes ini, input ke pengawal PI adalah sifar, tetapi output pengawal PI adalah nilai terhingga (iaitu 1). Penjelasan ini tidak diberikan dalam mana-mana buku sistem kawalan, oleh itu kita akan menjelaskannya di sini:

(1) Ralat keadaan mantap tidak tepat sifar, ia cenderung kepada sifar, sama ada 's' tidak bersamaan dengan sifar, ia cenderung kepada sifar, jadi biar pada sesuatu ketika ralat keadaan mantap adalah 2x10-3, pada masa yang sama 's' (khususnya kita bercakap tentang 's' dalam penyebut pengawal PI) juga bersamaan dengan 2x10-3, oleh itu output pengawal PI adalah '1'.

Mari kita pertimbangkan satu lagi sistem kawalan yang ditunjukkan dalam Gambar-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Gambar-6: Contoh Sistem Kawalan Gelung Tertutup dengan Pengawal PI

Dalam kes ini, kita boleh katakan, pada sesuatu ketika misalnya, ralat keadaan mantap adalah 2x10-3, pada masa yang sama 's' adalah bersamaan dengan 4×10-3; oleh itu output pengawal PI adalah '0.5'. Ia bermaksud kedua-dua 'ess ' dan 's' cenderung kepada sifar, tetapi nisbah mereka adalah nilai terhingga.

Dalam buku sistem kawalan anda tidak akan pernah menjumpai s=0 atau t=∞; anda sentiasa akan menjumpai
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Penjelasan kedua adalah bahawa ralat keadaan mantap adalah sifar, 's' juga sifar dalam keadaan mantap. Fungsi pemindahan pengawal PI adalah $\frac{Kps+Ki}{s}$ . Dalam buku matematik, anda akan menjumpai bahawa $\frac{0}{0}$ adalah tidak tertakrif, jadi ia boleh menjadi nilai terhingga mana-mana (rujuk Gambar-7).

PI Controller — Gambar-7: Input ke Fungsi Pemindahan adalah sifar tetapi output adalah nilai terhingga

(3) Penjelasan ketiga adalah, $\frac{1}{s}$ adalah integrator. Input adalah sifar, pengintegrasian sifar adalah tidak tertakrif. Jadi, output pengawal PI mungkin adalah nilai terhingga mana-mana.

Perbezaan asas dalam sistem kawalan gelung terbuka & sistem kawalan gelung tertutup

Berdasarkan penjelasan di atas, kami akan menerangkan perbezaan asas dalam sistem kawalan gelung terbuka & sistem kawalan gelung tertutup. Perbezaan dalam sistem kawalan gelung terbuka & sistem kawalan gelung tertutup, anda boleh menjumpainya dalam mana-mana buku sistem kawalan*, tetapi satu perbezaan asas yang berkaitan dengan penjelasan di atas diberikan di sini dan kami harap pasti ia akan berguna bagi pembaca.

Sistem kawalan gelung terbuka boleh diwakili seperti berikut:

Sistem kawalan gelung tertutup (sistem kawalan maklum balas) boleh diwakili seperti berikut:

Fungsi pemindahan tanaman adalah tetap (Fungsi pemindahan tanaman boleh berubah secara automatik disebabkan perubahan persekitaran, gangguan dsb.). Dalam semua perbincangan kami, kami telah mengandaikan H(s)=1; Seorang pengendali boleh mengawal fungsi pemindahan pengendali (i.e parameter pengendali seperti Kp, Kd, Ki) dll.

Pengendali boleh menjadi pengendali berkadar (pengendali P), pengendali PI, pengendali PD, pengendali PID, pengendali logik kabur dll. Terdapat dua matlamat pengendali (i) Untuk mengekalkan kestabilan, iaitu penyelesaian seharusnya sekitar 0.7-0.9, puncak lebihi dan masa penyelesaian seharusnya rendah (ii) Ralat keadaan mantap seharusnya minimum (ia harus sifar).

Tetapi jika kita cuba meningkatkan penyelesaian maka ralat keadaan mantap mungkin bertambah. Oleh itu, reka bentuk pengendali seharusnya sedemikian sehingga kedua-duanya (kestabilan & ralat keadaan mantap) seharusnya dalam kawalan. Reka bentuk optimum pengendali adalah topik penyelidikan yang luas.

Seperti yang ditulis sebelumnya, pengendali PI mengurangkan ralat keadaan mantap (ess) drastik, tetapi mempunyai kesan negatif terhadap kestabilan.

Sekarang, kami akan menerangkan satu perbezaan asas antara sistem kawalan gelung terbuka & sistem kawalan gelung tertutup, yang berkaitan dengan penjelasan di atas.

Pertimbangkan Gambar-10; ia adalah sistem kawalan gelung terbuka.

Anggap input adalah input langkah unit. Jadi, nilai keadaan mantap input adalah '1'. Nilai keadaan mantap output boleh dikira sebagai '2'. Jika terdapat perubahan dalam fungsi pemindahan [G(s)] tanaman kerana sebab tertentu, apakah kesannya pada input & output? Jawapannya adalah input ke tanaman tidak akan berubah, output tanaman akan berubah.

Sekarang pertimbangkan Gambar-11 &12

Sistem gelung tertutup — Gambar-12: Sistem Gelung Tertutup, Output tanaman sama tetapi input tanaman berubah disebabkan perubahan dalam Fungsi Pemindahan

Kedua-duanya adalah sistem kawalan gelung tertutup. Dalam Gambar-11, jika terdapat perubahan dalam fungsi pemindahan tanaman kerana sebab tertentu, apakah kesannya pada input & output? Dalam kes ini, input ke tanaman akan berubah, output tanaman akan tetap tidak berubah. Output tanaman cuba mengikuti input rujukan.

Gambar -12 menunjukkan keadaan baru, di mana parameter tanaman berubah. Anda boleh melihat input tanaman berubah dari 0.5 menjadi 0.476, sementara output tidak berubah. Dalam kedua-dua kes, input ke pengawal PI adalah sifar, spesifikasi pengawal PI adalah sama tetapi output pengawal PI berbeza.

Jadi, anda boleh memahami, dalam sistem kawalan gelung terbuka, output tanaman berubah, sementara dalam sistem kawalan gelung tertutup, input ke tanaman berubah.

Dalam buku-buku sistem kawalan, anda boleh menemui pernyataan berikut:

"Dalam kes variasi parameter fungsi pindah tanaman, sistem kawalan gelung tertutup kurang sensitif berbanding dengan sistem kawalan gelung terbuka" (iaitu variasi dalam output sistem kawalan gelung tertutup adalah lebih rendah berbanding dengan sistem kawalan gelung terbuka).

Kami harap pernyataan di atas mungkin lebih jelas dengan contoh yang diberikan dalam artikel ini.

___________________________________________________________________

*Para pembaca Electrical4U, sila ambil perhatian bahawa tujuan artikel ini bukan untuk menghasilkan semula topik-topik yang sudah ada dalam buku-buku; tetapi matlamat kami adalah untuk mempersembahkan pelbagai topik kompleks Kejuruteraan Kawalan dalam bahasa mudah bersama contoh-contoh berangka. Kami harap artikel ini akan membantu anda untuk memahami pelbagai kekompleksan tentang ralat keadaan tetap & pengawal PI.

Pernyataan: Hormati asal, artikel yang baik berharga dikongsi, jika terdapat pencabulan sila hubungi untuk menghapus.

Berikan Tip dan Galakkan Penulis

Tajuk:

Sistem Kuasa

Sistem Kawalan

Mengenai pakar

Electrical4u

China