Stalni stanje greške: Što je to? (Stalna dobiv, Vrijednost i Formula)

Polje: Osnovna elektrotehnika

China

Što je Steady State Error

Što je Steady State Error?

Steady-state error definira se kao razlika između željene i stvarne vrijednosti izlaza sustava u limesu kada vrijeme teži beskonačnosti (tj. kada odgovor sustava upravljanja doseže stabilno stanje).

Steady-state error je svojstvo ulazni/izlazni odgovora za linearni sustav. Općenito, dobar sustav upravljanja bit će onaj s niskim steady-state errorom.

Prvo, raspravljat ćemo o steady-state erroru u prvom redovnom prijenosnom funkcionalnom analizirajući njegov odgovor u stabilnom stanju. Razmotrimo sljedeću prijenosnu funkciju:

$\begin{equation*} \frac {C(s)}{R(s)}=\frac {1}{0.7s+1} \end{equation*}$

Ovo je jednostavna prijenosna funkcija prvog reda, s pojačanjem jednakim jedan i vremenskom konstantom od 0.7 sekundi. Napomena: naziva se prijenosna funkcija prvog reda jer 's' u nazivniku ima najveću snagu '1'. Ako bi umjesto toga bilo $0.7s^2 + 1$ , bila bi to prijenosna funkcija drugog reda.

Odgovor ove prijenosne funkcije na ulaz u stabilnom stanju prikazan je na Slici-1. Može se vidjeti da je u stabilnom stanju izlaz točno jednak ulazu. Stoga je steady-state error jednak nuli.

Vremenski odziv prvog reda prijenosne funkcije na stupnjeviti ulaz. — Slika-1: To je vremenski odziv prvog reda prijenosne funkcije na stupnjeviti ulaz. Može se vidjeti da je statička pogreška nula.

Odziv ove funkcije na jedinični rampasti ulaz prikazan je na Slici-2. Može se vidjeti da u stacionarnom stanju postoji razlika između ulaza i izlaza. Stoga za jedinični rampasti ulaz postoji statička pogreška.

Vremenski odziv prvog reda prijenosne funkcije na rampasti ulaz. — Slika-2: To je vremenski odziv prvog reda prijenosne funkcije na rampasti ulaz. Može se vidjeti da u ovom slučaju postoji statička pogreška.

Napomena: U mnogim knjigama o sustavima upravljanja možete pronaći da je statička pogreška prvog reda prijenosne funkcije za rampasti ulaz jednaka vremenskoj konstanti. Gledajući Sliku-2 iznad, možemo vidjeti da to vrijedi. Na t=3 sekunde, ulaz je 3, dok je izlaz 2.3. Stoga je statička pogreška 0.7, što je jednako vremenskoj konstanti za ovu prijenosnu funkciju prvog reda.

Molimo obratite pozornost na sljedeće važne savjete:

Statička pogreška je najveća ako je ulaz parabolički, obično manja za rampasti ulaz, a još manja za stupnjeviti ulaz. Kao što je objašnjeno iznad, statička pogreška je nula za stupnjeviti ulaz, 0.7 za rampasti ulaz, a može se utvrditi da je ∞ za parabolični ulaz.
Treba napomenuti da statička pogreška ovisi o ulazu, dok stabilnost ne ovisi o ulazu.

Razmotrimo zatvoreni sustav upravljanja s prenosnom funkcijom

$\begin{equation*} \frac{C(s)}{R(s)}= \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \end{equation*}$

gdje simboli imaju svoj uobičajeni značaj. Stabilnost sustava ovisi o nazivniku, tj. '1+G(s)H(s)'. '1+G(s)H(s) = 0' zove se karakteristična jednadžba. Njene korijeni pokazuju stabilnost sustava. Steady-state greška ovisi o R(s).

U zatvorenom sustavu upravljanja signal greške može se izračunati kao $E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}.$ Steady state grešku možemo pronaći kao ess= $\lim_{s \rightarrow 0 } E(s)$ , gdje steady-state greška predstavlja vrijednost signala greške u stanju ravnoteže. Odatle vidimo da steady-state greška ovisi o R(s).

Kao što je navedeno gore, stabilnost ovisi o nazivniku, tj. 1 + G(s)H(s). Ovdje '1' je konstanta, stoga stabilnost ovisi o G(s)H(s), koji je dio jednadžbe koji se može promijeniti. Tako možete razumjeti Bodeov graf i Nyquistov graf koji su nacrtani pomoću G(s)H(s), ali oni pokazuju stabilnost $\frac{C(s)}{R(s)}$ .
G(s)H(s) zove se otvorena funkcija prenosa, a $\frac{C(s)}{R(s)}$ zove se zatvorena funkcija prenosa. Analizom otvorene funkcije prenosa, tj. G(s)H(s), možemo utvrditi stabilnost zatvorene funkcije prenosa putem Bodeovog i Nyquistovog dijagrama.

Primjeri stacionarnih grešaka

Stacionarna greška za jedinični korak na ulazu

Sada ćemo objasniti stacionarnu grešku u sustavu s povratnim vezom kroz nekoliko numeričkih primjera. Počet ćemo s kontrolnim sustavom s jediničnim korakom na ulazu.

Primjer-1:

Razmotrimo sljedeći kontrolni sustav (sustav-1) prikazan na Slici-3:

Closed Loop Control System — Slika-3: Zatvoreni sustav s povratnom vezom

Referentni ulaz ‘Rs’ je jedinični korak.

Različite stacionarne vrijednosti Sustava-1 prikazane su na Slici-4.

Vrijednosti u stacionarnom stanju dijagram blokova — Slika 4: Razne vrijednosti u stacionarnom stanju u sustavu upravljanja

Može se vidjeti da je vrijednost signala greške u stacionarnom stanju 0,5, stoga je stacionarna greška 0,5. Ako je sustav stabilan i razni signali su konstantni, tada se razne vrijednosti u stacionarnom stanju mogu dobiti na sljedeći način:

U prijenosnoj funkciji kao $s\rightarrow 0$ , dobit ćete stacionarni pojasak prijenosne funkcije.

Izlaz možete izračunati na sljedeći način:

$\begin{equation*} \frac{C(s)} {R(s)}= \frac{4}{s+8} \end{equation*}$

Pametajući da je $R(s)$ = jedinični stupnjevi ulaza = $\frac{1}{s}$ , ovo možemo preurediti na sljedeći način:

$\begin{equation*} C(s)= \frac{4}{s+8} \times R(s)= \frac{4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stalna vrijednost izlaza je:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0 } sC(s) = s\frac{4}{s+8}\frac{1}{s} =\frac{1}{2} \end{equation*}$

Gornju metodu možemo koristiti za izračun stalne vrijednosti bilo kojeg signala. Na primjer:

Ulaz je $R(s)= \frac{1}{s}$ (ulaz je jedinični stupnjevi ulaz)

Njegova stalna vrijednost= $\lim_{s \rightarrow 0 }\ sR(s)=s \frac{1}{s}$ = 1.

Slično, signal greške može se izračunati kao:

$\begin{equation*} E(s)= \frac{R(s)}{1+G(s)H(s)}= \frac{s+4}{s(s+8)} \end{equation*}$

Stalna vrijednost signala greške (tj. stalna greška) je:

$\begin{equation*} \lim_{s \rightarrow 0} sE(s)= s\frac{s+4}{s(s+8)}= \frac{1}{2} \end{equation*}$

Također se može vidjeti iz Slika 4 da je razlika između ulaza i izlaza 0,5. Stoga je stalna greška 0,5.

Još jedan način izračuna stalanog stanja greške uključuje pronalaženje konstanti grešaka, kako slijedi:

Izračunajte koeficijent pozicijske pogreške Kp = $\lim_{s \rightarrow 0 } G(s)H(s)$ , pronađite Kp = 1, ess= $\frac{1}{1+Kp}$ . Pronaći ćete isti odgovor.

Ako je ulaz korak, recimo $R(s)=\frac{3}{s}$ (to je korak, ali ne jedinični korak), tada je stacionarna pogreška ess= $\frac{3}{1+Kp}$

Ako je ulaz jedinična rampa, tada izračunajte, koeficijent brzinske pogreške Kv= $\lim_{s \rightarrow 0 }s G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Kv}$

Ako je ulaz jedinica parabolički ulaz, tada izračunajte koeficijent greške akceleracije Ka= $\lim_{s \rightarrow 0 } s^2G(s)H(s)$ , ess= $\frac{1}{Ka}$ .

Analizom konstanti grešaka Kp, Kv i Ka, možete razumjeti kako se postotna stanja greška ovisi o ulazu.

PI kontroler i postotna stanja greška

PI kontroler (tj. proporcionalni kontroler plus integralni kontroler) smanjuje postotnu stanja grešku (ess), ali ima negativan utjecaj na stabilnost.

PI kontroleri imaju prednost u smanjenju postotne stanja greške sustava, dok imaju nedostatak u smanjenju stabilnosti sustava.

PI kontroler smanjuje stabilnost. To znači da se prigušenje smanjuje; vrhovna prekomjerna reakcija i vrijeme usmirenja povećavaju zbog PI kontrolera; Korijeni karakteristične jednadžbe (polovi zatvorene petlje prijenosne funkcije) na lijevoj strani doći će bliže imaginarnoj osi. Red sustava također se povećava zbog PI kontrolera, što teži ka smanjenju stabilnosti.

Razmotrimo dvije karakteristične jednadžbe, jedna je s3+ s2+ 3s+20=0, druga je s2+3s+20=0. Samo posljedično možemo zaključiti da sustav povezan s prvim izrazom ima nižu stabilnost u usporedbi s drugim izrazom. Možete to provjeriti pronađući korijene jednadžbe. Dakle, možete razumjeti da viši red karakterističnih jednadžbi ima nižu stabilnost.

Sada dodat ćemo jedan PI kontroler (proporcionalni plus integralni kontroler) u sustav-1 (Slika-3) i ispitati rezultate. Nakon umetanja PI kontrolera u sustav-1, razne postotne stanja vrijednosti prikazane su na Slici-5, može se vidjeti da je izlaz točno jednak referentnom ulazu. Prednost PI kontrolera je u tome što minimizira postotnu stanja grešku tako da izlaz pokušava pratiti referentni ulaz.

PI Controller Block Diagram — Slika-5: Učinak PI kontrolera može se vidjeti na ovom dijagramu

Prijenosna funkcija PI kontrolera može se izračunati kao $Kp+\frac{Ki}{s}$ ili $\frac{Kps+Ki}{s}.$ Može se postaviti pitanje da ako je ulaz bilo koje prijenosne funkcije nula, tada bi i izlaz trebao biti nula. Stoga, u ovom slučaju ulaz u PI kontroler je nula, ali izlaz PI kontrolera je konačna vrijednost (npr. 1). Ova objašnjenja nisu dana u nijednoj knjizi o sustavima upravljanja, stoga ćemo to objasniti ovdje:

(1) Steady state error nije točno nula, teži nuli, slično tome 's' nije jednako nuli, već teži nuli. Dakle, recimo da je u nekom trenutku steady state error 2x10-3, u isto vrijeme 's' (posebno govorimo o 's' u nazivniku PI kontrolera) također iznosi 2x10-3, stoga izlaz PI kontrolera je '1'.

Razmotrimo još jedan sustav upravljanja prikazan na Slici-6:

Closed Loop Control System with PI Controller — Slika-6: Primjer zatvorenog petlju sustava upravljanja s PI kontrolerom

U ovom slučaju, možemo reći, u nekom trenutku, recimo, da je steady state error 2x10-3, u isto vrijeme 's' iznosi 4×10-3; stoga izlaz PI kontrolera je '0.5'. To znači da oba 'ess' i 's' teže nuli, ali njihov omjer je konačna vrijednost.

U knjigama o sustavima upravljanja nikada nećete pronaći s=0 ili t=∞; uvijek ćete pronaći
$s\rightarrow 0, t\rightarrow 0.$

(2) Drugo objašnjenje je da je pogreška u stanju ravnoteže nula, 's' je također nula u stanju ravnoteže. Prenosna funkcija PI kontrolera je $\frac{Kps+Ki}{s}$ . U knjigama o matematici, pronaći ćete da je $\frac{0}{0}$ neodređeno, pa može biti bilo koji konačan iznos (vidi Sliku-7).

PI Controller — Slika-7: Ulaz u prenosnu funkciju je nula, ali izlaz je konačna vrijednost

(3) Treće objašnjenje je, $\frac{1}{s}$ je integrator. Ulaz je nula, integracija nule je neodređena. Stoga izlaz PI kontrolera može biti bilo koja konačna vrijednost.

Jedna osnovna razlika između otvorenog i zatvorenog sustava upravljanja

U skladu s gornjim objašnjenjem, objasniti ćemo jednu osnovnu razliku između otvorenog i zatvorenog sustava upravljanja. Razlike između otvorenog i zatvorenog sustava upravljanja, možete pronaći u bilo kojoj knjizi o sustavima upravljanja*, ali jedna osnovna razlika koja se odnosi na gornje objašnjenje dana je ovdje i nadamo se da će to sigurno biti korisno čitateljima.

Otvoreni sustav upravljanja može se prikazati kao:

Sustav otvorene petlje upravljanja — Slika-8: To je dijagram standardnog sustava otvorene petlje upravljanja

Zatvoreni sustav upravljanja (sustav s povratnom vezom) može se prikazati na sljedeći način:

Sustav zatvorene petlje upravljanja — Slika-9: To je dijagram standardnog sustava zatvorene petlje upravljanja

Prijenosna funkcija postrojenja je fiksna (Prijenosna funkcija postrojenja može se automatski promijeniti zbog promjena u okruženju, ometanja itd.). U svim našim raspravama, pretpostavljali smo H(s)=1; Operator može kontrolirati prijenosnu funkciju upravljača (tj. parametre upravljača poput Kp, Kd, Ki) itd.

Upravljač može biti proporcionalni upravljač (P upravljač), PI upravljač, PD upravljač, PID upravljač, upravljač neizrazitih logika itd. Postoje dvije ciljeve upravljača (i) Održavanje stabilnosti, tj. prigušenje treba biti oko 0.7-0.9, vrhunski prekomjerni odziv i vrijeme usmirenja trebaju biti niska (ii) Steady-state error treba biti minimalan (trebao bi biti nula).

Ali ako pokušamo povećati prigušenje, tada steady-state error može porasti. Stoga dizajn upravljača treba biti takav da oba (stabilnost i steady-state error) budu pod kontrolom. Optimalni dizajn upravljača je široko istraživačko područje.

Kao što je ranije navedeno, PI upravljač drastično smanjuje steady state error (ess), ali ima negativni utjecaj na stabilnost.

Sada ćemo objasniti jednu osnovnu razliku između sustava otvorene petlje upravljanja i sustava zatvorene petlje upravljanja, koja je povezana s gornjom objašnjavanjem.

Razmotrite Sliku-10; to je sustav otvorene petlje upravljanja.

Pretpostavimo da je ulaz korak jedinice. Stoga, stabilna vrijednost ulaza je '1'. Može se izračunati da je stabilna vrijednost izlaza '2'. Pretpostavimo da se funkcija prijenosa [G(s)] postrojstva promijeni zbog bilo kojeg razloga, kakve će biti posljedice na ulaz i izlaz? Odgovor je da se ulaz u postrojstvo neće promijeniti, dok će se izlaz postrojstva promijeniti.

Sada razmotrimo Slike-11 i 12

Slika-12: Zatvoreni sustav, izlaz postrojstva je isti, ali se ulaz postrojstva promijenio zbog promjene funkcije prijenosa

Oba su zatvorena sustava upravljanja. U Slici-11, pretpostavimo da se funkcija prijenosa postrojstva promijeni zbog bilo kojeg razloga, kakve će biti posljedice na ulaz i izlaz? U ovom slučaju, ulaz u postrojstvo će se promijeniti, dok će se izlaz postrojstva ostati nepromijenjen. Izlaz postrojstva pokušava slijediti referentni ulaz.

Slika-12 prikazuje nove uvjete, u kojima su parametri postrojstva promijenjeni. Možete vidjeti da se ulaz postrojstva promijenio sa 0,5 na 0,476, dok se izlaz nije promijenio. U oba slučaja, ulaz u PI kontroler je nula, specifikacije PI kontrolera su iste, ali je izlaz PI kontrolera različit.

Dakle, možete shvatiti da se u sustavu otvorenog petlje izlaz postrojstva mijenja, dok se u sustavu zatvorenog petlje ulaz u postrojstvo mijenja.

U knjigama o sustavima upravljanja možete pronaći sljedeću tvrdnju:

“U slučaju varijacije parametara prijenosne funkcije postrojenja, zatvoreni sustav upravljanja manje je osjetljiv u usporedbi s otvorenim sustavom upravljanja” (tj. varijacija izlaza zatvorenog sustava upravljanja je manja u usporedbi s otvorenim sustavom upravljanja).

Nadam se da će gornja tvrdnja biti jasnija uz primjere navedene u ovom članku.

___________________________________________________________________

*Dragi IEE-Business čitatelji, molimo Vas da napomenemo da svrha ovog članka nije reproducirati teme koje su već dostupne u knjigama; naš cilj je predstaviti različite složene teme Inženjerstva upravljanja jednostavnim jezikom uz numeričke primjere. Nadamo se da će vam ovaj članak pomoći da razumijete različite kompleksnosti vezane za stacionarnu pogrešku i PI regulatore.

Izjava: Poštujte original, dobre članke vrijede podijeliti, ako postoji kršenje autorskih prava molimo da kontaktirate za brisanje.

Daj nagradu i ohrabri autora

Teme:

Energetske sustave

Kontrolni sustavi

O stručnjacima

Electrical4u

China