वेक्टर बीजगणित | वेक्टर आरेख

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग का अध्ययन करने से पहले यह जानना आवश्यक है कि मुख्य रूप से वोल्टेज और विद्युत धारा के बीच एक प्रणाली में कोणीय संबंध। वोल्टेज और विद्युत धारा के बीच के संबंध को समझने के लिए हमें पहले सदिश की परिभाषा जाननी चाहिए और सदिश बीजगणित और सदिश आरेख से गुजरना चाहिए।

सदिश की परिभाषा

कुछ राशियाँ होती हैं जिनके पास परिमाण और उनकी कार्रवाई की दिशा दोनों होती हैं। इस प्रकार की राशियों को सदिश राशि कहा जाता है। यह एक बहुत ही संक्षिप्त तरीके से सदिश की परिभाषा बनाने का एक तरीका है। सदिश की सबसे मूलभूत अवधारणा यह है कि, यह इन प्रकार की राशियों का परिमाण और दिशा दोनों में प्रतिनिधित्व करता है। जब भी हम किसी राशि का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो इसकी कार्रवाई की कोई दिशा हो सकती है। मान लीजिए कि हम कहते हैं, 5 N का बल, यह तस्वीर को पूरा नहीं करता।
हमेशा हमें यह कहना चाहिए कि बल किस दिशा में है, यानी वह 5 N का बल ऊपर, नीचे या किसी अन्य दिशा में है। इसलिए सदिश राशि को उसके परिमाण और दिशा दोनों के साथ प्रतिनिधित्व किया जाना चाहिए। किसी भी राशि की दिशा को राशि की दिशा और एक संदर्भ अक्ष के बीच बने कोण को मापकर प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

इस सदिश आरेख में सदिश OB का परिमाण |Z| है और संदर्भ अक्ष ox के साथ θ कोण पर है। इसे दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है जो एक दूसरे के लंबवत हैं, कह लें कि ये हैं
सदिश को प्रतिनिधित्व करने की पारंपरिक विधि

सदिश बीजगणित

अब हम सदिश बीजगणित के बारे में चर्चा करेंगे। विभिन्न गणनाओं के लिए, सदिश को बीजगणितीय रूप से व्यक्त किया जाना चाहिए। सदिश आरेख में सदिश Z अपने घटक X और Y को सदिश रूप से जोड़कर प्राप्त होता है।
इस सदिश को सदिश बीजगणित में इस प्रकार लिखा जा सकता है
जहाँ, j इंगित करता है कि घटक Y, घटक X के लंबवत है। सदिश आरेख में x अक्ष को 'वास्तविक' या 'इन-फेज' अक्ष के रूप में और ऊर्ध्वाधर y अक्ष को 'काल्पनिक' या 'क्वाड्रेचर' अक्ष के रूप में जाना जाता है। चतुर्थांश घटक Y से जुड़ा संकेत 'j', एक ऑपरेटर माना जा सकता है जो एक सदिश को 90o एंटीक्लॉकवाइज घुमाता है। यदि एक सदिश को 180o एंटीक्लॉकवाइज घुमाना हो, तो ऑपरेटर j को दो बार अपना कार्य करना होगा और क्योंकि सदिश ने अपना अर्थ उलट दिया है, तो j.j या j2 = − 1

इसलिए हमने देखा है कि एक सदिश राशि निम्नलिखित विभिन्न रूपों में प्रतिनिधित्व की जा सकती है,

आयताकार और जटिल रूप के बीच सदिश का संबंध

इस पृष्ठ पर दिखाए गए सदिश आरेख के अनुसार, सदिश Z का परिमाण है

इन दो समीकरणों से, हम प्राप्त करते हैं,

X और Y के इन मानों को Z के जटिल रूप में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

उपरोक्त व्यंजक का मान सदिश का त्रिकोणमितीय रूप के रूप में जाना जाता है। फिर से हम जानते हैं कि, cosθ और sinθ को निम्नलिखित रूप से घातांकीय रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

यदि हम इन घातांकीय रूपों को sinθ और cosθ को समीकरण Z = |Z|(cosθ + jsinθ) में रखते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं,

⇒ Z = |Z|ejθ
यह सदिश का घातांकीय रूप है।
इसलिए सदिश बीजगणित और सदिश आरेख के सभी ऊपरोक्त व्यंजकों से, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि एक सदिश राशि को निम्नलिखित चार मूल रूपों में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

स्रोत: Electrical4u.

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