جبر برداری | نمودار برداری

قبل مطالعه مهندسی برق، لازم است که بدانید رابطه زاویه‌ای اصلی بین ولتاژ و جریان در یک سیستم. برای فهم رابطه بین ولتاژ و جریان، ابتدا باید تعریف بردار را بشناسیم و از جبر برداری و نمودار برداری عبور کنیم.

تعریف بردار

برخی کمیت‌ها هم اندازه و هم جهت دارند. این نوع کمیت‌ها به عنوان کمیت برداری شناخته می‌شوند. این طوری می‌توان با چند کلمه تعریف ابتدایی بردار را ارائه داد. مفهوم پایه‌ای یک بردار این است که نماینده این نوع کمیت‌ها در هر دو جنبه اندازه و جهت است. هرگاه یک کمیت را نمایش می‌دهیم، ممکن است جهت عمل آن را داشته باشد. فرض کنید بگوییم، یک نیروی ۵ نیوتون، این تصویر کامل نیست. باید همیشه بگوییم که نیرو در کدام جهت است، یعنی ۵ نیوتون نیرو به بالا، پایین یا در هر جهت دیگری. بنابراین کمیت برداری باید با اندازه و جهتش نمایش داده شود. جهت هر کمیت می‌تواند با اندازه‌گیری زاویه‌ای که توسط جهت کمیت و محور مرجع تشکیل شده است، نمایش داده شود.

در این نمودار برداری، بردار OB دارای اندازه |Z| در زاویه θ با محور مرجع ox است. این بردار می‌تواند به دو مؤلفه عمود بر یکدیگر تجزیه شود، مثلاً این مؤلفه‌ها
روش معمول نمایش بردار

جبر برداری

حالا درباره جبر برداری صحبت خواهیم کرد. برای محاسبات مختلف، بردار باید جبری بیان شود. در نمودار برداری، بردار Z نتیجه جمع برداری مؤلفه‌های X و Y است.
این بردار می‌تواند در جبر برداری به صورت زیر نوشته شود
که در آن، j نشان می‌دهد که مؤلفه Y عمود بر مؤلفه X است. محور x در نمودار برداری به عنوان محور "واقعی" یا "هم‌فاز" شناخته می‌شود و محور عمودی y به عنوان محور "تخیلی" یا "ربع" شناخته می‌شود. نماد 'j' که با مؤلفه یک چهارم Y مرتبط است، می‌تواند به عنوان یک عملگر در نظر گرفته شود که یک بردار را ۹۰ درجه در جهت پادساعتگرد می‌چرخاند. اگر یک بردار باید ۱۸۰ درجه در جهت پادساعتگرد چرخانده شود، عملگر j باید دو بار عمل کند و چون بردار معکوس شده است، j.j یا j² = − 1

بنابراین مشاهده کردیم که یک کمیت برداری می‌تواند به صورت‌های مختلف زیر نمایش داده شود،

رابطه بین فرم مستطیلی و فرم پیچیده یک بردار

به طبق نمودار برداری که در این صفحه نشان داده شده است. اندازه بردار Z است

از این دو معادله، ما بدست می‌آوریم،

با قرار دادن این مقادیر X و Y در فرم پیچیده Z، بدست می‌آوریم،

مقدار عبارت فوق به عنوان فرم مثلثاتی بردار شناخته می‌شود. دوباره می‌دانیم که، cosθ و sinθ می‌توانند به صورت نمایی به شکل زیر نمایش داده شوند

اگر این فرم‌های نمایی sinθ و cosθ را در معادله Z = |Z|(cosθ + jsinθ) قرار دهیم، بدست می‌آوریم،

⇒ Z = |Z|ejθ
این فرم نمایی بردار است.
بنابراین از تمام این عبارت‌های جبر برداری و نمودار برداری، می‌توان نتیجه گرفت که یک کمیت برداری می‌تواند به صورت کل چهار فرم پایه‌ای زیر نمایش داده شود

منبع: Electrical4u.

بیانیه: احترام به اصل، مقالات خوب ارزش به اشتراک گذاری دارند، اگر تخلف حقوقی وجود دارد لطفاً تماس بگیرید تا حذف شود.