Теорема Гаусса

Знаємо, що навколо додатного або від'ємного електричного заряду завжди існує статичне електричне поле, і в цьому статичному електричному полі є потік енергетичної трубки або потоку. Насправді цей потік радіює/випромінюється від електричного заряду. Тепер кількість цього потоку залежить від кількості заряду, від якого він випромінюється. Для встановлення цієї залежності було введено теорему Гаусса. Ця теорема може розглядатися як одна з найбільш потужних та корисних теорем у галузі електротехніки. Ми можемо знайти кількість потоку, що радіює через поверхневу площу, що оточує заряд, за допомогою цієї теореми.

Ця теорема стверджує, що загальний електричний потік через будь-яку замкнуту поверхню, що оточує заряд, дорівнює загальному позитивному заряду, що знаходиться всередині цієї поверхні.
Нехай заряди Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn обмежені поверхнею, тоді теорему можна виразити математично поверхневим інтегралом як

Де D — це щільність потоку у кулонах/м2, а dS — це вектор, спрямований наружу.

Пояснення теореми Гаусса

Для пояснення теореми Гаусса, краще пройтися через приклад для правильного розуміння.
Нехай Q — це заряд у центрі сфери, а потік, що випромінюється від заряду, перпендикулярний до поверхні. Тепер, ця теорема стверджує, що загальний потік, що випромінюється від заряду, буде дорівнювати Q кулонам, і це можна довести математично. Але що, якщо заряд не розташований в центрі, а в будь-якій точці, окрім центру (як показано на малюнку).

Тоді лінії потоку не перпендикулярні до поверхні, що оточує заряд, і цей потік розкладається на дві компоненти, перпендикулярні одна одній, горизонтальна — це синусова компонента, а вертикальна — косинусова компонента. Коли суму цих компонент беруть для всіх зарядів, то загальний результат дорівнює загальному заряду системи, що доводить теорему Гаусса.

Доведення теореми Гаусса

Розглянемо точковий заряд Q, розташований в однорідному ізотропному середовищі з диелектричною проникністю ε.

Інтенсивність електричного поля в будь-якій точці на відстані r від заряду становить

Щільність потоку становить,

З малюнка видно, що потік через площу dS

Де θ — це кут між D і нормаллю до dS.
Тепер, dScosθ — це проекція dS, перпендикулярна до радіус-вектора. За означенням тілесного кута

Де dΩ — це тілесний кут, що обмежений в точці Q елементарною поверхнею dS. Тому загальний перенос потоку через всю поверхню становить

Ми знаємо, що тілесний кут, обмежений будь-якою замкнутою поверхнею, становить 4π стерадіан, тому загальний електричний потік через всю поверхню становить

Це інтегральна форма теореми Гаусса. Таким чином, ця теорема доведена.

Заява: Поважайте оригінал, хороші статті варто поширювати, якщо є порушення авторських прав, зверніться для видалення.