Теорема Гаусса

Мы знаем, что вокруг положительного или отрицательного электрического заряда всегда существует статическое электрическое поле, и в этом статическом электрическом поле есть поток энергии или потока. На самом деле этот поток излучается/исходит от электрического заряда. Теперь количество этого потока зависит от количества заряда, от которого он исходит. Чтобы выяснить это соотношение, был введен теорема Гаусса. Эта теорема может рассматриваться как одна из самых мощных и полезных теорем в области электротехники. С помощью этой теоремы мы можем определить количество потока, излучаемого через поверхность, окружающую заряд.

Эта теорема утверждает, что общий электрический поток через любую замкнутую поверхность, окружающую заряд, равен чистому положительному заряду, заключенному в этой поверхности.
Предположим, что заряды Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn заключены в поверхность, тогда теорема может быть выражена математически поверхностным интегралом как

Где D — это плотность потока в кулон/м2, а dS — это направленный наружу вектор.

Объяснение теоремы Гаусса

Для объяснения теоремы Гаусса лучше пройти через пример для правильного понимания.
Пусть Q — это заряд в центре сферы, и поток, исходящий от заряда, перпендикулярен поверхности. Теперь, согласно этой теореме, общий поток, исходящий от заряда, будет равен Q кулонам, и это можно доказать математически. Но что, если заряд не находится в центре, а в любой другой точке (как показано на рисунке).

В этом случае линии потока не перпендикулярны поверхности, окружающей заряд, и этот поток разлагается на два компонента, перпендикулярные друг другу: горизонтальный компонент sinθ и вертикальный компонент cosθ. Когда сумма этих компонентов берется для всех зарядов, то нетто-результат равен общему заряду системы, что подтверждает теорему Гаусса.

Доказательство теоремы Гаусса

Рассмотрим точечный заряд Q, расположенный в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью ε.

Интенсивность электрического поля в любой точке на расстоянии r от заряда равна

Плотность потока задается как,

Теперь, из рисунка, поток через площадь dS

Где θ — угол между D и нормалью к dS.
Теперь, dScosθ — это проекция dS, перпендикулярная радиус-вектору. По определению телесного угла

Где dΩ — это телесный угол, под которым видна элементарная поверхность dS из точки Q. Таким образом, общее смещение потока через всю поверхность равно

Теперь, мы знаем, что телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность, равен 4π стерадиан, поэтому общий электрический поток через всю поверхность равен

Это интегральная форма теоремы Гаусса. Таким образом, эта теорема доказана.

Заявление: Уважайте оригинал, хорошие статьи стоят того, чтобы ими делиться, при нарушении авторских прав обратитесь для удаления.