Twierdzenie Gaussa

Wiemy, że wokół dodatniego lub ujemnego ładunku elektrycznego zawsze istnieje stałe pole elektryczne, a w tym polu statycznym występuje strumień energii lub płyn. Ten płyn jest emitowany/wydzielany przez ładunek elektryczny. Teraz ilość tego strumienia płynu zależy od ilości ładunku, z którego się emituje. Aby ustalić tę relację, wprowadzono twierdzenie Gaussa. To twierdzenie można uznać za jedno z najpotężniejszych i najbardziej użytecznych twierdzeń w dziedzinie nauk elektrycznych. Możemy dzięki niemu określić ilość płynu emitowanego przez powierzchnię otaczającą ładunek.

To twierdzenie mówi, że całkowity płyn elektryczny przechodzący przez dowolną zamkniętą powierzchnię otaczającą ładunek, jest równy całkowitemu dodatniemu ładunkowi zawartemu w tej powierzchni.
Przyjmijmy, że ładunki Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn są otoczone przez powierzchnię, wtedy to twierdzenie może być matematycznie wyrażone jako całka powierzchniowa

Gdzie D oznacza gęstość płynu w kulombach/m2, a dS to wektor skierowany na zewnątrz.

Wyjaśnienie twierdzenia Gaussa

Aby wyjaśnić twierdzenie Gaussa, lepiej przejść przez przykład, aby poprawnie zrozumieć.
Przyjmijmy, że Q to ładunek znajdujący się w środku kuli, a płyn emitowany z ładunku jest prostopadły do powierzchni. Teraz, to twierdzenie mówi, że całkowity płyn emitowany z ładunku będzie równy Q kulombów, co można również udowodnić matematycznie. Ale co, jeśli ładunek nie jest umieszczony w środku, ale w jakimkolwiek innym punkcie niż środek (jak pokazano na rysunku).

Wtedy linie płynu nie są prostopadłe do powierzchni otaczającej ładunek, więc ten płyn jest rozłożony na dwie składowe, które są do siebie prostopadłe, składowa pozioma to składowa sinθ, a pionowa to składowa cosθ. Kiedy sumuje się te składowe dla wszystkich ładunków, to wynik netto jest równy całkowitemu ładunkowi systemu, co potwierdza twierdzenie Gaussa.

Dowód twierdzenia Gaussa

Rozważmy punktowy ładunek Q znajdujący się w jednorodnym, izotropowym ośrodku o przenikalności ε.

Natężenie pola elektrycznego w dowolnym punkcie w odległości r od ładunku wynosi

Gęstość płynu wynosi

Teraz z rysunku płyn przez powierzchnię dS wynosi

Gdzie θ to kąt między D a normalną do dS.
dScosθ to projekcja dS prostopadła do wektora promieniowego. Z definicji kąta bryłowego

Gdzie dΩ to kąt bryłowy subtendowany przez Q przez elementarną powierzchnię dS. Więc całkowite przemieszczenie płynu przez całą powierzchnię wynosi

Wiemy, że kąt bryłowy subtendowany przez dowolną zamkniętą powierzchnię wynosi 4π steradianów, więc całkowity płyn elektryczny przez całą powierzchnię wynosi

To jest postać całkowa twierdzenia Gaussa. I tak to twierdzenie zostało udowodnione.

Oświadczenie: Szanuj oryginał, dobre artykuły są warto udostępniać, jakiekolwiek naruszenie proszę o kontakt w celu usunięcia.