Teorema de Gauss
Sabemos que siempre hay un campo eléctrico estático alrededor de una carga eléctrica positiva o negativa y en ese campo eléctrico estático hay un flujo de tubo de energía o flujo. En realidad, este flujo se irradia/emana de la carga eléctrica. Ahora, la cantidad de este flujo depende de la cantidad de carga de la cual emana. Para descubrir esta relación, se introdujo el teorema de Gauss. Este teorema puede considerarse como uno de los más poderosos y útiles en el campo de la ciencia eléctrica. Podemos determinar la cantidad de flujo irradiado a través del área superficial que rodea la carga a partir de este teorema.
Este teorema establece que el flujo eléctrico total a través de cualquier superficie cerrada que rodea una carga, es igual a la carga neta positiva encerrada por esa superficie.
Supongamos que las cargas Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn están encerradas por una superficie, entonces el teorema puede expresarse matemáticamente por la integral de superficie como
Donde, D es la densidad de flujo en coulombs/m2 y dS es el vector dirigido hacia afuera.
Explicación del teorema de Gauss
Para explicar el teorema de Gauss, es mejor analizar un ejemplo para una comprensión adecuada.
Supongamos que Q es la carga en el centro de una esfera y el flujo emanado de la carga es normal a la superficie. Ahora, este teorema establece que el flujo total emanado de la carga será igual a Q coulombs y esto se puede demostrar matemáticamente también. Pero, ¿qué sucede cuando la carga no está colocada en el centro sino en cualquier punto distinto del centro (como se muestra en la figura)?
En ese caso, las líneas de flujo no son normales a la superficie que rodea la carga, entonces este flujo se resuelve en dos componentes que son perpendiculares entre sí, el horizontal es el componente sinθ y el vertical es el componente cosθ. Ahora, cuando se toma la suma de estos componentes para todas las cargas, el resultado neto es igual a la carga total del sistema, lo que demuestra el teorema de Gauss.
Demostración del teorema de Gauss
Consideremos una carga puntual Q ubicada en un medio homogéneo e isotrópico de permitividad ε.
La intensidad del campo eléctrico en cualquier punto a una distancia r de la carga es
La densidad de flujo se da como,
Ahora, de la figura, el flujo a través del área dS
Donde, θ es el ángulo entre D y la normal a dS.
Ahora, dScosθ es la proyección de dS normal al vector de radio. Por definición de un ángulo sólido
Donde, dΩ es el ángulo sólido subtendido en Q por el área superficial elemental dS. Así, el desplazamiento total de flujo a través de toda la superficie es
Ahora, sabemos que el ángulo sólido subtendido por cualquier superficie cerrada es 4π esteradianios, así que el flujo eléctrico total a través de toda la superficie es
Esta es la forma integral del teorema de Gauss. Y, por lo tanto, este teorema está demostrado.
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