Գաուսի թեորեմը

Մենք գիտենք, որ դրական կամ բացասական էլեկտրական լարման շուրջ միշտ կա կայուն էլեկտրական դաշտ և այդ կայուն էլեկտրական դաշտում կա էներգիայի հոսքի խողովակ կամ հոսք։ Իրականում այս հոսքը ռադիացվում/ելում է էլեկտրական լարումից։ Այժմ այս հոսքի հոսքը կախված է այն լարման քանակից, որից այն ելում է։ Այս հարաբերությունը պարզելու համար ներկայացվել է Գաուսի թեորեմը։ Այս թեորեմը կարող է դիտարկվել որպես էլեկտրական գիտության ամենահզոր և օգտակար թեորեմներից մեկը։ Այս թեորեմից կարող ենք պարզել լարման շուրջ գտնվող մակերևույթի միջոցով ռադիացված հոսքի քանակը։

Այս թեորեմը պնդում է, որ ցանկացած փակ մակերևույթի շուրջ գտնվող լարման շուրջ ամբողջ էլեկտրական հոսքը հավասար է այդ մակերևույթով փակված դրական լարման ընդհանուր քանակին:
Դիցուք լարումները Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn փակված են մակերևույթով, ապա թեորեմը կարող է մաթեմատիկորեն արտահայտվել մակերևույթի ինտեգրալով որպես

Որտեղ D-ն էլեկտրական հոսքի խտությունն է կուլոններ/մ2-ով և dS-ը դեպի դուրս ուղղված վեկտորն է։

Գաուսի թեորեմի բացատրություն

Գաուսի թեորեմի բացատրման համար ավելի լավ է անցնել օրինակի վրա ճիշտ հասկացության համար:
Ենթադրենք Q լարումը գտնվում է գնդի կենտրոնում և այն ելող էլեկտրական հոսքը նորմալ է մակերևույթի նկատմամբ։ Այժմ այս թեորեմը պնդում է, որ լարումից ելող ընդհանուր հոսքը հավասար կլինի Q կուլոնների և դա կարող է մաթեմատիկորեն ապացուցվել։ Բայց ինչ է եթե լարումը չի գտնվում կենտրոնում, այլ կենտրոնից այլ կետում (ինչպես ցուցադրված է նկարում)։

Այդ դեպքում հոսքի գծերը չեն նորմալ մակերևույթի նկատմամբ, ապա այս հոսքը բաժանվում է երկու կոմպոնենտների, որոնք ուղղահայաց են միմյանց, հորիզոնականը է սինθետիկ կոմպոնենտը և ուղղահայացը կոսինուսային կոմպոնենտը։ Այժմ երբ այս կոմպոնենտների գումարը վերցվում է բոլոր լարումների համար, ապա ընդհանուր արդյունքը հավասար է համակարգի ընդհանուր լարմանը, որը ապացուցում է Գաուսի թեորեմը։

Գաուսի թեորեմի ապացույց

Դիցուք մենք դիտարկում ենք մի կետային լարում Q, որը գտնվում է համասեռ իզոտրոպ միջավայրում էլեկտրական հաստատունության հետ էպսիլոնով:

Էլեկտրական դաշտի ինտենսիվությունը լարումից հեռացված r հեռավորության ցանկացած կետում է

Հոսքի խտությունը տրվում է որպես,

Այժմ նկարից հետևում է, որ մակերևույթի dS մասով հոսքը

Որտեղ, θ-ն D-ի և dS-ի նորմալի միջև անկյունն է:
Այժմ, dScosθ-ն նորմալ է շառավիղ վեկտորի նկատմամբ dS-ի պրոյեկցիան։ .Solid անկյան սահմանումը

Որտեղ, dΩ-ն էլեմենտային մակերևույթի dS-ով ստեղնված պինդ անկյունն է Q-ում։ Այսպիսով ամբողջ էլեկտրական հոսքի դիսպլացման համար ամբողջ մակերևույթով է

Այժմ մենք գիտենք, որ ցանկացած փակ մակերևույթով ստեղնված պինդ անկյունը 4π ստերադիաններ է, ուրեմն ամբողջ էլեկտրական հոսքը ամբողջ մակերևույթով է

Սա Գաուսի թեորեմի ինտեգրալ ձևն է։ Այսպիսով ապացուցված է այս թեորեմը։

Նշում։ Հետաքրքրալի և լավ հոդվածները արժե կիսվել, եթե կա իրավախախանդում խնդրում ենք հեռացնել։