გაუსის თეორემა

ვიცით, რომ დადებით ან უარყოფით ელექტრულ გარეშე ყოველთვის არსებობს სტატიკური ელექტრული ველი და ამ სტატიკურ ველში არსებობს ენერგიის ტუბის ან ფლაქსის მოძრაობა. სინამდვილეში, ეს ფლაქსი არის გამოსხივებული/წარმოქმნილი ელექტრული გარეშედან. ამ ფლაქსის მოძრაობის რაოდენობა დამოკიდებულია გარეშის რაოდენობაზე, რომელიც ის წარმოქმნის. ამ ურთიერთდამოკიდებულების განსაზღვრაში გამოიყენება გაუსის თეორემა. ეს თეორემა შეიძლება ჩათვალოს ერთ-ერთ ყველაზე ძლიერ და სასარგებლო თეორემად ელექტროტექნიკის სფეროში. ამ თეორემის საშუალებით შეგვიძლია გამოვთვალოთ ფლაქსის რაოდენობა, რომელიც გამოსხივებულია გარეშეს შემოსავლელ ზედაპირულ ფართობზე.

ეს თეორემა აცხადებს, რომ ნებისმიერი დახურული ზედაპირის შემოსავლელი ელექტრული ფლაქსის ჯამი, რომელიც გარეშეს შემოსავლელია, ტოლია ამ ზედაპირის შემოსავლელ დადებით გარეშეს ჯამს.
დავუშვათ, რომ გარეშეები Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn შემოსავლელია ზედაპირით, მაშინ თეორემა მათემატიკურად შეიძლება გამოვსახოთ ზედაპირული ინტეგრალის საშუალებით

სადაც D არის ფლაქსის სიმკვრივე კულონებში/მ²-ში და dS არის გარემის ვექტორი.

გაუსის თეორემის განმარტება

გაუსის თეორემის განმარტებისთვის უკეთ გავივლით მაგალითზე სწორი გაგებისთვის.
დავუშვათ, Q არის გარეშე სფეროს ცენტრში და ფლაქსი, რომელიც გარეშიდან წარმოქმნილია, ნორმალურია ზედაპირის მიმართ. ამ თეორემის თანახმად, ფლაქსის ჯამი, რომელიც გარეშიდან წარმოქმნილია, ტოლია Q კულონების და ეს მათემატიკურად ასევე შეიძლება დამტკიცდეს. მაგრამ რა თქმა უნდა, როცა გარეშე არ არის სფეროს ცენტრში, არამედ ცენტრიდან განსხვავებულ წერტილში (როგორც ნაჩვენებია ფიგურაზე).

ამ შემთხვევაში ფლაქსის ხაზები არ არის ნორმალური ზედაპირის მიმართ, ამიტომ ეს ფლაქსი იყოფა ორ კომპონენტად, რომლებიც ერთმანეთის შემთხვევაში შერეულია, ჰორიზონტალური კომპონენტი არის sinθ და ვერტიკალური კომპონენტი არის cosθ. როცა ამ კომპონენტების ჯამი აიღება ყველა გარეშისთვის, საბოლოო შედეგი ტოლია სისტემის სრულ გარეშეს რაოდენობას, რაც დამტკიცებს გაუსის თეორემას.

გაუსის თეორემის დამტკიცება

დავუშვათ, რომ გარეშე Q არის ჰომოგენურ იზოტროპულ სითხეში დანარჩენი ელექტრული გარეშების პერმიტივობით ε.

ელექტრული ველის სიმძლავრე ნებისმიერ წერტილზე დისტანცია r-ზე გარეშიდან არის

ფლაქსის სიმკვრივე არის შემდეგი,

ახლა ფიგურიდან ფლაქსი ზედაპირის dS-ზე

სადაც θ არის D და ნორმალური ზედაპირის შემდეგ კუთხე.
dScosθ არის dS-ის პროექცია რადიუს ვექტორის ნორმალურად. სტერადიანის განმარტებით

სადაც dΩ არის სტერადიანი, რომელსაც ელემენტარული ზედაპირი dS ქმნის Q-ს მიმართ. ასე რომ, ფლაქსის სრული დისპლაცია მთელ ზედაპირის მასში არის

ახლა, ვიცით, რომ ნებისმიერი დახურული ზედაპირის შემოსავლელი სტერადიანი არის 4π, ასე რომ, სრული ელექტრული ფლაქსი მთელ ზედაპირში არის

ეს არის გაუსის თეორემის ინტეგრალური ფორმა. ასე რომ, ეს თეორემა დამტკიცებულია.

დეკლარაცია: პირველადი სტატიის პატივისცემა, კარგი სტატიები უნდა გავზიაროთ, თუ ხელახალი არსებულია, გთხოვთ დაუკავშირდეთ წაშლის მიზნით.