Théorème de Gauss

Nous savons qu'il y a toujours un champ électrique statique autour d'une charge électrique positive ou négative et dans ce champ électrique statique, il y a un flux d'énergie tubulaire ou flux. En réalité, ce flux est émis/radié par la charge électrique. Maintenant, la quantité de ce flux dépend de la quantité de charge à partir de laquelle il est émis. Pour trouver cette relation, le théorème de Gauss a été introduit. Ce théorème peut être considéré comme l'un des plus puissants et des plus utiles en électricité. Nous pouvons déterminer la quantité de flux émis à travers la surface entourant la charge à partir de ce théorème.

Ce théorème stipule que le flux électrique total à travers toute surface fermée entourant une charge est égal à la charge nette positive contenue dans cette surface.
Supposons que les charges Q1, Q2_ _ _ _Qi, _ _ _ Qn soient encloses par une surface, alors le théorème peut être exprimé mathématiquement par une intégrale de surface comme

Où, D est la densité de flux en coulombs/m2 et dS est le vecteur dirigé vers l'extérieur.

Explication du théorème de Gauss

Pour expliquer le théorème de Gauss, il est préférable de passer par un exemple pour une meilleure compréhension.
Soit Q la charge au centre d'une sphère et le flux émis par la charge est normal à la surface. À présent, ce théorème stipule que le flux total émis par la charge sera égal à Q coulombs et cela peut être prouvé mathématiquement. Mais que se passe-t-il lorsque la charge n'est pas placée au centre mais à n'importe quel point autre que le centre (comme indiqué dans la figure).

À ce moment, les lignes de flux ne sont pas normales à la surface entourant la charge, alors ce flux est résolu en deux composantes perpendiculaires, la composante horizontale est la composante sinθ et la composante verticale est la composante cosθ. Lorsque la somme de ces composantes est prise pour toutes les charges, le résultat net est égal à la charge totale du système, ce qui prouve le théorème de Gauss.

Preuve du théorème de Gauss

Considérons une charge ponctuelle Q située dans un milieu homogène isotrope de permittivité ε.

L'intensité du champ électrique en tout point à une distance r de la charge est

La densité de flux est donnée par,

Maintenant, d'après la figure, le flux à travers la surface dS

Où, θ est l'angle entre D et la normale à dS.
Maintenant, dScosθ est la projection de dS normale au vecteur radial. Par définition de l'angle solide

Où, dΩ est l'angle solide sous-tendu par Q par la surface élémentaire dS. Ainsi, le déplacement total de flux à travers toute la surface est

Maintenant, nous savons que l'angle solide sous-tendu par toute surface fermée est 4π stéradians, donc le flux électrique total à travers toute la surface est

Ceci est la forme intégrale du théorème de Gauss. Et ainsi, ce théorème est prouvé.

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